האם מזל הוא עניין מתמטי?

אנו נוהגים לייחס משמעות מוגזמת לסיטואציות מסויימות. העובדה שכולנו עושים זאת היא עוד הוכחה שקשה לנו להבין אקראיות
X זמן קריאה משוער: 12 דקות

מאז ומעולםֿ, האקראיות בעולמנו מציבה שאלות קיומיות שמשותפות לנו ולאבותינו: האם אחזור בשלום משדה הקרב? האם אלד בן או בת? האם אמצא אהבה? מפתה להשיב בשפה של מיסטיקה, כוכבים ודעות-קדומות; מאתגר למצוא תשובה מתמטית, כלומר נוסחה או מספר מדויק. "ההסתברות היא מורה הדרך של החיים", אמר קיקרו, המדינאי והפילוסוף מימי רומא העתיקה. זו הייתה אמירה פורצת דרך, שכן בני תקופתו האמינו באלים קובעי גורל. קיקרו היה מי שהעניק את השם probabilis לתחום האקראיות.

ההיסטוריה של ההסתברות היא ההיסטוריה עצמה. כל תקופה הביאה עימה מוטיבציה אחרת ואתגרים חדשים למתמטיקאים שפיתחו את תורת ההסתברות כפי שהיא היום. במאה ה-17, המוטיבציה הייתה משחקי מזל. בהתאם לכך, מתמטיקאים כמו פסקל עסקו בהגדרות מדויקות של מרחבי מדגם והתפלגויות של משתנים אקראיים בדידים. במאה ה-18, המדע התעניין בתנועה של גופים שמימיים. הבנת התפלגויות של טעויות מדידה היוותה אתגר מרכזי. וכך התפתחה בצרפת הפיזיקה הניסויית, אשר איחדה פיזיקאים ומתמטיקאים. עד אז פיזיקאים התרכזו בניסויים ומתמטיקאים התרכזו בחישובים תיאורטיים על סמך חוקי המכאניקה של ניוטון. בפיזיקה הניסויית, המדענים גם תכננו וגם ניתחו את הניסויים. כל זה הוביל לחוקים השימושיים של ההסתברות, שנוסחו במאה ה-19: חוקי המספרים הגדולים, ומשפט הגבול המרכזי. אבל רק במאה ה-20, קולמוגורוב ניסח את ההגדרה של מרחב הסתברותי בצורה אקסיומטית פורמאלית, כיאה להגדרה מן המתמטיקה.

בקיצור נמרץ, הגישה המתמטית מתייחסת אל אי-ודאות כניסוי שבסופו תוצאה. בשפה זו, של ניסוי ותוצאות, ההגדרה של מרחב הסתברות מורכבת משלושה רכיבים:
1. מרחב מדגם – קבוצת כל התוצאות האפשריות של הניסוי.
2. מאורעות – אוסף כל תתי הקבוצות של מרחב המדגם.
3. פונקציית הסתברות – פונקצייה מתחום המאורעות למספר.

המתמטיקאי הרוסי, אנדריי קולמוגורב, קבע את האקסיומות שפונקציית ההסתברות חייבת לקיים. אקסיומה היא טענה שהמודל המתמטי מניח כנכונה, ללא הוכחה. אחת האקסיומות קובעת שהסתברות תקבל ערכים בין אפס ל-1. זוהי תכונה אקסיומטית שכולנו רגילים אליה.

חישובי הסתברות שגורים בשיח שלנו. אנחנו מצמידים מספרים למאורעות אקראיים מבלי לתת את הדעת לשיקול הדעת של התהליך הזה

לדוגמה, אפשר להתבונן בהטלת קובייה בעיניים מתמטיות באופן הבא:
מרחב המדגם הוא קבוצת התוצאות האפשריות בהטלת מטבע: 1,2,3,4,5,6. מאורע הוא כל תת קבוצה של שש האפשרויות הנ"ל. למשל מאורע של "תוצאה זוגית" או מאורע של "יצא 5". פונקציית ההסתברות תתאים למאורעות מספר שייצג את הסיכוי שהמאורע יקרה. ההסתברות ל"תוצאה זוגית" הוא חצי. ברור. ההסתברות למאורע "יצא 5" היא 1/6, ברור, כל ילד יודע את זה... אבל רגע, למה בעצם 1/6? ומה המשמעות האמיתית של המספר הזה?

מבחינה פיזיקאלית, אם נדע את הכוח שבו אנו מטילים את הקובייה, את הגובה שלה ואת הזווית, נוכל לחזות את התוצאה בהתאם למשוואות התנועה הניוטוניות. זה אפשרי, מבחינה תיאורטית בוודאי. האקראיות של הקוביה נעלמת מול ה omniscient observer (הצופה הכל-יודע) של לפלאס ---- אותו מכשיר אבסטרקטי שחוזה את העתיד כשמכניסים לו נתונים על ההווה.

אבל גם אם נתעלם מהאפשרות של מכשיר כזה, גם אם סתם נטיל קוביה, כדרכו של הילד המשחק, עדיין יש טעם לתהות על מהות הערך 1/6. שכן, הקובייה מוטלת פעם אחת ומתקבלת תוצאה אחת. או ש"יצא 5" או ש"לא יצא 5". מה ל 1/6 ולזה? התשובה הקופצת היא, שאם נטיל קובייה אלפי פעמים אז (בערך) 1/6 מהפעמים "יצא 5". האמונה הזאת היא המוטיבציה להתפלגות האחידה שמייחסת את הערך 1/6 לכל פאה של הקובייה. שימו לב, השתמשתי במילה אמונה. האם זאת מתמטיקה?

חישובי הסתברות שגורים בשיח שלנו. אנחנו מצמידים מספרים למאורעות אקראיים מבלי לתת את הדעת לשיקול הדעת של התהליך הזה. בדוגמת הקובייה, שיקול הדעת חבוי בהנחה שהקובייה תתנהג בעתיד כמו בעבר. מסקנה כזו, מהפרט אל הכלל, נקראת אינדוקציה. פילוסוף בולט שערער על תוקפן של מסקנות אינדוקטיביות הוא דייוויד יום. לטענתו, כל הצדקה לוגית של אינדוקציה משתמשת בעצמה באינדוקציה. כלומר תקפות השיטה מוכחת באמצעות אינדוקציה, ויש כאן טיעון מעגלי. עוד טען שמקור האינדוקציה הוא סובייקטיבי. הוא הביא כדוגמה את הכלל כי השמש תזרח תמיד. זהו כלל שמנוסח על סמך תצפיות, ולא מהווה אמירה על המציאות עצמה. פילוסוף בן זמננו, ניקולאס טאלב, מכנה את הטעויות האינדוקטיביות ״ברבורים שחורים״. רק במאה ה-18, כשהגיעו חוקרים אירופאים לאוסטרליה, הם גילו זן של ברבורים בצבע שחור. עד אז, התפיסה המערבית הייתה שברבורים הם לבנים. "ברבור שחור" הפך למושג שקשור להפרכה. ההפתעה מהתגלית מדגימה את הסכנה בהסקה מקבוצה אל הכלל. כמה ברבורים לבנים צריך לראות על מנת להסיק שכל הברבורים לבנים? אחד, עשרים, מליון? "ברבור שחור" הוא מאורע מפתיע ובעל השפעה אדירה שלכאורה לא ניתן לצפייה מראש. אלא שמבחינה היסטורית, יש לצפות שאירועים מסוג זה יקרו אחת לזמן מה. דוגמאות לאירועי ברבור שחור הם פיגועי 11 בספטמבר, מלחמת העולם הראשונה, תחילת השימוש באינטרנט והתמוטטויות בורסה שונות.

ראינו שמדע ההסתברות מסתמך על שיקול דעת. ישנן דוגמאות בהן שיקול הדעת מעורב במידה רבה יותר מאשר בדוגמה של הטלת קוביה. אקטוארים1, למשל, מחשבים עבורנו את ההסתברות שנחיה עד גיל שמונים על מנת לתמחר את ביטוחי הפנסיה שלנו. שלא כמו בדוגמת הקובייה, כאן לא ניתן לחזור על הניסוי, אפילו במישור התיאורטי. כל אדם חי פעם אחת, ולא אלפי פעמים. אי אפשר לשאול בכמה פעמים מתוך חייו המרובים הוא יחצה את גיל שמונים.

ומה בדבר חישובים של "ההסתברות שתפרוץ-אינתיפאדה" או "ההסתברות שיפגע בכדור הארץ מטאור"? הרי אין עולמות מקבילים שמולם אנו משווים את מצב הטבע ואת הזמן היחיד שבו אנו חיים. אם כך, יש מודל קפדני ומדוקדק להסתברות אבל השימוש בו מצריך הנחות, פילוסופיות אם תרצו. חשוב שנהיה מודעים להנחות שלנו. אנחנו מועדים לטעות, למרות ואולי בגלל החשיפה היומיומית שלנו לסוגיות הסתברותיות.

האינטואיציה שלנו פגומה

"כולם נגדי", אנחנו ממלמלים כשהרמזור מתחלף לאדום. בואו נבדוק את זה מדעית. נניח שלושה רמזורים בדרך לעבודה. כדי שנעצור ברמזור אדום, צריך ש"לא כל הרמזורים יהיו ירוקים", וזה שווה כמעט ל-90 אחוזים. אז למה כשזה קורה, אנחנו נעלבים וחושבים ש״המזל נגדנו״? הסבר אחד: אנחנו זוכרים מצבים שיש בהם שינוי התנהגותי. זמזמנו לעצמנו את השיר ברדיו, והופ - רמזור אדום. זה מעיר אותנו. זה גורם לנו להיות מודעים לסביבה: רמזור. פקק. שעון. הסבר אחר: אנחנו מעניקים חשיבות רבה יותר להפסדים מאשר לרווחים. יש לנו שנאת-סיכון, שהיא כנראה אלמנט הישרדותי. שנאת סיכונים היא תופעה המשותפת לכולנו, כבני אדם, והיא חלק מסדרה של כשלים לוגיים מן המחקרים של הפרופסורים הישראלים כהנמן טברסקי. כשלים אלו גורמים לנו לחשוב ולהתנהג בצורה לא רציונלית. בפרט, הם גורמים לנו להעריך הסתברויות באופן שגוי.

ומה בנוגע לאירועים חיוביים? חשבנו על חבר מהתיכון וכמה ימים אחר כך פגשנו אותו בקולנוע. אחרי שנים שלא ראינו אותו, פתאום הוא מופיע, מה הסיכוי שזה יקרה? גם כאן יש הסבר, שאפשר לנסח במשפט: קורים הרבה מאורעות. כיוון שקורים הרבה מאורעות, חלקם מעוררים השתאות. אחרת, זה היה מעורר השתאות רבה יותר. כשקורה "פלא הסתברותי", הדרך הנכונה להתייחס אליו היא ויה-נגטיבה (על דרך השלילה) ובהכללה. כלומר, לשאול--- מה ההסתברות שבמשך חיים שלמים אף פעם לא יקרה לי ה"פלא" שאני חושב על אדם כלשהו ואחר כך פוגש אותו במקום כלשהו?

אפקט בארנום

אסטרולוגיה

גלגל המזלות בפסיפס שהתגלה בבית הכנסת בבית אלפא. צילום: מקסים

כל אחד הוא מיוחד. ככה חינכו אותנו, וזה במובנים מסויימים נכון. הבעיה היא שאנחנו מגזימים בתחושת המיוחדות שלנו, ואנחנו פונים למזל כדי שיוכיח את זה. יש לנו חולשה לייחס משמעות מוגזמת לסיטואציות מסויימות. זה נקרא אפקט בארנום. אפקט בארנום נוסח בשנת 1949 על ידי איש בשם פורר. הוא קרא לו בארנום , על שם איש שבנה מוזיאון מתוך העיקרון שיהיה במוזיאון 'משהו בשביל כולם'. האפקט מנסח את הצורך של אנשים באישור עצמי דרך סיטואציות שקורות לכולם. דוגמה מצויינת היא תיאורים אסטרולוגיים. מקור השם אסטרולוגיה, הוא במשחק מזל ממצרים העתיקה שבו הטילו קוביות הקרויות אסטרולוגוס.

כיצד תעניקו הסתברויות לצבע המועדף עלי? אדום כחול ירוק או צהוב? בדרך כלל, מעניקים הסתברות זהה לכל תוצאה. לפלאס קרא לזה עקרון ההיגיון-הבלתי-מספק

 

האסטרולוגוס שויפו מעצמות של כבשים עבור משחקי מזל. עבור אנשים רבים, אסטרולוגיה היא לא רק משחק של מזל. מחקרים מראים שאנשים מאשרים בקלות תיאורים התנהגותיים בהורוסקופ, בצל הידיעה שהם שייכים למזל שלהם. איך בדקו? הסירו את שמות המזלות וסמליהם מתיאורי הפרופיל של המזלות. הראו את שנים-עשר הטקסטים השונים לנבדקים. בקשו מהנבדקים לבחור את התיאור שמתאים לאישיותם. כשהותירו את סמלי המזלות, הייתה נטייה חזקה של הנבדקים לבחור את המזל של עצמם. לעומת זאת, כשהסירו את סמלי המזלות, הייתה התפלגות אחידה בין המזלות.

התפלגות אחידה היא סוגייה בפני עצמה

האינטואיציה מצמידה התפלגות אחידה במקרה של תוצאות סימטריות, וגם במקרה של בורות. יש הבדל גדול בין שני המקרים. תוצאות סימטריות קיימות, למשל, בהטלת קוביה או מטבע הוגן. מצב של בורות הוא מצב של העדר ידע מוקדם לגבי היחס בין התוצאות השונות. כיצד תעניקו הסתברויות לצבע המועדף עלי? אדום כחול ירוק או צהוב? בדרך כלל, מעניקים הסתברות זהה לכל תוצאה. לפלאס קרא לזה עקרון ההיגיון-הבלתי-מספק. זוהי ברירת המחדל, ויש לה מתנגדים: הסובייקטיביסטים. סטטיסטיקאים מסוימים, כמו רונאלד ואן-מייסס או פישר, מתנגדים לכל מה שמריח כמו מסקנה מדבר שלא הוכח. לטענתם, במצב של בורות אסור להניח שום התפלגות. בפרט, התפלגות אחידה המחייבת ניסוי שידגים אותה.

רבים חושבים (בטעות) שהמילים אקראי ומקרי הן נרדפות. חושבים ששתיהן מתייחסות להתפלגות אחידה או להתרחשות שרירותית. הנכון הוא, שהמילה אקראי --- random באנגלית --- מתייחסת לכל מאורע לא-ודאי. בשפה שהגדרנו קודם, אקראיות מתארת ניסוי עם תוצאות מרובות אפשריות. גם כאשר יש לנו מידע מוקדם, אפריורי, לגבי הסיכויים השונים של כל תוצאה ותוצאה, זוהי אקראיות. העיקר שאף תוצאה אינה ודאית. לעומת זאת, המילה מקריות --- arbitrariness---- מתייחסת למקרה פרטי בתוך הספקטרום של האקראיות, שבו כל ההתרחשויות הגיוניות במידה שווה. כשאני קונה לעצמי ספר, זה אקראי, אבל זה לא מקרי כי זה מושפע מהטעם הספרותי שלי. כשאני שולפת כדור מתוך שק בעיניים עצומות, זאת מקריות. ומה בנוגע לדוגמה הבאה?:

אתם נכנסים לפאב. אנשים ישובים לאורך כל הבר. במרכז הבר, חמישה גברים יושבים זה לצד זה, ברצף. האם זה מקרי או בכוונת מכוון? בתחילת המאה ה-20, הפילוסוף הנס ריצ׳רדסון טען שלאנשים קשה להבחין בין סדרה מקרית לבין סדרה עם חוקיות. מקבץ רציף של גברים יוצר אצלנו רושם מוטעה של סידור מכוון, "זוהי חבורת גברים שהגיעו ביחד", אנחנו חושבים. למעשה, רצפים כאלה הם המאפיינים של ישיבה מקרית בבר, ולא פרישה מסודרת - בן, בת, למשל.

למעשה, ייצור תרחיש מקרי, מקרי באמת, הוא יותר קשה משנדמה לנו.
בתחילת המאה ה-20, לוטו מסוים בניו יורק החליט שהמספרים הזוכים יהיו חמש הספרות האחרונות של איזון האוצר בארצות הברית. איזון האוצר מחושב על ידי ההון שמחולק במספר האזרחים. לכאורה, מספר מקרי. הבעיה היא שספרות מסוימות שכיחות יותר מהאחרות בסופי מספרים ובתחילתם. קראתם נכון, ספרות מסוימות שכיחות יותר מהאחרות בסופי מספרים ובתחילתם. הספרות עצמן לא מתפלגות באחידות. זה בא לידי ביטוי בקבצי מידע גדולים, או במספרים שמביאים בחשבון הרבה רכיבים אקראיים.

מה מקרי? הרי אפילו התוצאה בהטלת מטבע אינה מקרית. נזדקק לאלף הטלות, ואולי נזדקק למיליארד. התרחשויות מקריות באמת קיימות רק ברמה האטומית

התופעה התגלתה על ידי אסטרונום בשם סימון ניוקומב בשנת 1881. ניוקומב הבחין בכך שחלק מדפי הלוגריתמים בספריה מלוכלים יותר מהאחרים. זה העיד על כך שמשתמשים בהם יותר. דפי הלוגריתמים למספרים שמתחילים ב-1, לדוגמה, התלכלכו יותר מדפים של מספרים שמתחילים ב-2 וכן הלאה. התופעה נקראת חוק-בנפורד, על שם מדען אחר שהבחין בה כשעבד מול מאגרי מידע גדולים במעבדת המחקר של ג'נרל אלקטריק. הוא הבחין בכך שמספרים שמתחילים בספרה 1 מהווים כ-30 אחוזים מהמידע, מספרים שמתחילים בספרה 2 מהווים 18 אחוזים, מה שמותיר רק 52 אחוזים לשבע האפשרויות הנותרות. חוק-בנפורד התייחס לספרות הראשונות. באופן דומה, מתמטיקאי אמריקאי בשם טד היל גילה ב-1955 את חוק הספרות האחרונות. החוק טוען שאין התפלגות אחידה בסופם של מספרים, והוא תקף לסוגים רבים של מאגרי מידע, במיוחד מידע פיננסי. החוק מסייע לזיהוי זיופים בנתונים. 

אז מה כן מקרי? הרי אפילו התוצאה בהטלת מטבע אינה מקרית. נזדקק לאלף הטלות, ואולי נזדקק למיליארד, אבל בסופו של דבר תתגלה העדפה (קלה) של אחת התוצאות, שנובעת מהבדל (זעיר ובלתי נראה) בין הצדדים. התרחשויות מקריות באמת קיימות רק ברמה האטומית. לפני התורה הקוונטית, פיזיקאים תארו עולם דטרמיניסטי, שבו לכל תהליך יש תוצאה אפשרית אחת. מכניקת הקוונטים טוענת שזה לא כך, אלה שלתהליכים בסיסיים בטבע ייתכנו כמה תוצאות אפשריות, ולכל היותר ניתן לקבוע את ההסתברות של כל תוצאה. אך איינשטיין עצמו לא קיבל את הרעיון הזה. הוא האמין שמכניקת הקוונטים היא רק צל של תיאוריה מדויקת יותר, שתבטל את האלמנטים ההסתברותיים. בהקשר הזה נאמר המשפט המפורסם: ״אלוהים לא משחק בקוביות״.

 הוכחות לקיום האל

רמון ליול רואה את ישו הצלוב חמש פעמים ומחליט להתמסר לנצרות. ציור מהמאה ה-14.

רמון ליול רואה את ישו הצלוב חמש פעמים ומחליט להתמסר לנצרות. ציור מהמאה ה-14.

בשביל להאמין שאלוהים לא משחק בקוביות, צריך להאמין באלוהים. יש שמחפשים הוכחות הסתברותיות. רמון ליול היה מיסיונר קטלוני שחי במאה ה-13. מטרתו הייתה להמיר את דתם של מוסלמים לנצרות. לשם כך הוא בנה מכונה עם שלושה לוחות מסתובבים. המכונה הרכיבה משפטים, באקראיות. על הלוח הראשון נרשמו ישויות אלוהיות: מלאכים, אלוהים, חסד, תקווה; על הלוח השני נרשמו יחסים-לוגיים: סתירה, הסכמה, שונות; ועל הלוח השלישי תכונות אלוהיות: טוב-לב, עוצמה, נצחיות, חכמה. ליול סובב את הלוחות. התוצאות האקראיות משלושת הלוחות הרכיבו משפט שמתאר יחס לוגי בין ישות אלוהית ותכונה אלוהית. איכשהו, המשפט שנוצר תמיד התאים לרעיונות המרכזיים של הנצרות. ליול ראה בזה הוכחה לצדקת הנצרות. הניסוי שלו בעל חשיבות היסטורית אחרת, כיוון שזהו הניסוי הראשון המתועד בקומבינטוריקה, אותו תחום במתמטיקה שעוסק במיקום, מנייה ובחירה של אלמנטים.

באמצע המאה ה-17, בלז פסקל התעניין בשאלה דומה: יש אלוהים? באותה תקופה הסתיימה ההתכתבות הפורייה שלו עם פייר דה פרמה בנושא משחקי מזל. מיד אחר כך פסקל זנח את המתמטיקה. מספרים שהוא חווה שעתיים של טראנס, שלאחריו הייתה לו אישיות חדשה - רוחנית. הוא מכר את רכושו ותרם את כספו, כינה את החברים שלו התקשרויות-נוראיות ואף התנתק מהם. גם את המתמטיקה הוא זנח והחליף את המשולשים וההסתברות בתהיות פילוסופיות. פסקל כתב מאמרים על החיים, על דת ועל אלוהים, אך רוח המתמטיקאי נותרה בו, וגם המאמרים הפילוסופיים שלו תרמו בעקיפין לתורת ההסתברות. מפורסמת במיוחד האנליזה שלו בעד ונגד הטענה שאלוהים קיים. האנליזה נקראת ההימור של פסקל (Pacal's wager), והיא מנוסחת כך:

אנו לא יודעים אם אלוהים קיים או לא קיים, אז כדאי להמר שאלוהים קיים ולפעול בהתאם. זאת משום שאם אנחנו טועים, התועלת היא שלילית בשל המאמץ הכרוך בחיים עם אמונה (קיום מצוות, מעשים טובים וכו׳). אבל אם אנחנו צודקים, צפוי לנו אושר נצחי ותועלת אינסופית; בסך הכל צפויה לנו תוחלת אינסופית.

מבחינה קונספטואלית, פסקל המציא כאן את מושג התוחלת. התוחלת היא מושג מרכזי בתורת ההסתברות שמהווה הרחבה למושג השגור: ממוצע. גישה אנליטית דומה, לניתוח עלות מול תועלת, מקובלת עד היום בתורת האופטימיזציה או בתורת המשחקים. אז ליתר ביטחון, ולמען התועלת האינסופית של כולנו, נסכם שהמזל הוא בהחלט עניין מתמטי, אבל הוא בטח גם עניין של אלוהים.

גייל גלבוע-פרידמן היא ד״ר למתמטיקה. היא בעלת תואר ראשון ושני מהטכניון ודוקטוראט מאוניברסיטת תל אביב. היא לימדה הסתברות באוניברסיטת תל אביב ותרגלה בקורסים מתמטיים בטכניון. בעבר גם עבדה כחוקרת במעבדת המחקר של IBM ובמרכז החדשנות של Citi. מאמריה פורסמו בכתבי עת מקצועיים והיא הציגה בכנסים בינלאומיים. היא פרסמה גם ספר ילדים ״כולם שונאים מתמטיקה״, בהוצאת ידיעות אחרונות.

מאמר זה התפרסם באלכסון ב על־ידי גייל גלבוע-פרידמן.


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

16 תגובות על האם מזל הוא עניין מתמטי?

02
משה אוריין

להלן תמצית האבסורד הסטטיסטי:
שאלה: מה הסיכוי לזכות בלוטו?
תשובה: פיפטי פיפטי, או שאזכה או לא! (כלומר 50%).
מסקנה: כדאי לי לקנות שני כרטיסים! מספיק ש- או זה יזכה או זה. כלומר יש לי שער לוגי של "או" (שער OR) ואז יש לחבר הסתברויות. 50% + 50% = 100%. לכן אני בטוח זוכה!!!
תובנה: ההסקה האווילית הזו, השגורה על מאות אלפים בארץ מדי שבוע רובם משכבות מצוקה, שאינם מודעים בכלל שכך הם חושבים, גורמת לרווחי העתק של מפעל הפיס.
מאידך גיסא, אולי זה לא יקר מדי עבור קניית האשליה???

03
אייל שי

הקוביות נקראות Astragalus על שם העצם שמהן הוכנו (עצם בקרסול). אין קשר ל-Astrologia (ביוונית : Astron = כוכב, Logia = תורה). קצת מביך שהקישור הזה נעשה כ"כ בטבעיות בכתבה רצינית.

05
יובל נ

בהגדרה של מרחב הסתברות כתבת: "מאורעות – אוסף כל תתי הקבוצות של מרחב המדגם". זה פשוט לא נכון. כל מי שלמד הסתברות באופן רציני (כלומר עם תורת המידה) אמור לדעת שבד"כ לא ניתן להגדיר מידת הסתברות על כל תתי הקבוצות, ויש צורך להגדיר סיגמא-אלגברה של מאורעות עליהם המידה חלה.

06
יהודה אלירז

מאמר ממצה ללא כניסה לרזולוציה מידי דווקאית שחוקרים מסוימים דבקים בה..
בהחלט מאמר שמגלה את חולשות ועוצמות הכלי הסטטיסטי שבכל מקרה הוא הרע במיעוטו.
פעם השתעשעתי בהמרה של ניתוחים הלכתיים לשפה סטטיסטית אבל זה כבר נושא אחר.

"הרי אין עולמות מקבילים שמולם אנו משווים את מצב הטבע ואת הזמן היחיד שבו אנו חיים. "

קצת יהיר לכתוב משפט קטגורי שכה: רצוי היה לסייג אותו במשהו כמו "ככל הידוע למדע כיום."

10
אלעד

לגבי ההימור של פסקל, נדמה לי שהוא טעה בגדול:

אם אין אלוהים - הרי שבזבזתי 100% מחיי הסופיים על ישיבה בבני ברק עד אור הבוקר.
אם יש אלוקים - אולי הוא יסלח לי על 1% מחטאי, ואסבול רק 99% מהנצח.

בכל מקרה בשני המקרים אין הבדל בין הסוף לאינסוף - כי חוויית הקיום האישי היא טוטאלית.

    11
    יהודה אלירז

    מאחר והמידע על קיומו או אי קיומו מגיע לבן אנוש לאחר פטירתו מן העולם הרי אין משמעות אפריורית לאותו הימור של פסקל..
    אדם מאמין או לא מאמין כתוצאה ממסביבה חברתית אליה נולד או מתכונות נפש מסוימות..
    אבל לא עושה ניתוח עלות תועלת על כדאיות החלופות השונות שכן התועלות או העלויות לא רלוונטיות לסרגל הזמן של חייו . סוג של ראיה רטרו..

12
אודי

פסקל הניח שאם אלוהים קיים, כל הסיפורים על גן העדן והחיים לאחר המוות נכונים. הוא התעלם מהאפשרות שאלוהות כלשהי קיימת, אבל יכולים להיות לה רצונות אחרים לגמרי.
אם שוקלים גם את האפשרות שאלוהים דווקא מעניש צדיקים, או שהוא מצדד באחת הדתות ומעניש את בני הדתות האחרות, הבחירה נעשית קשה הרבה יותר.

13
דני

פסקל כמובן טעה בהימורו, כפי שכותבים קודמי, ויוכיחו כל אלה שהאמינו באלהים ולא זכו לכלום. המאמר מעניין אך קצת מרפרף ולא ממוקד. אשמח אם הכותבת תבחר נושא אחד ממנו, ותרחיב.

15
רון האקראיון

מאמר שטחי, מלא שגיאות (כבר נימנו לעיל), כתוב גרוע (כדאי שאלכסון יחייב עריכה לשונית). לכן - חבל שקראתיו. ואם דר׳ גייל ״לימדה״ סטטיסטיקה - חבל על מי שלא בדק מה היא עושה בשיעורים.
אגב, לא מצאתי מיהם הפסיכולוגים כהנמן טברסקי (העתקתי מהמאמר).