אני חושב משמע אני טועה

מרילין ווס סוואנט (Marilyn vos Savant) החזיקה בתואר האישה החכמה ביותר בעולם במשך שלוש שנים רצופות. ציון האיי־קיו שלה הרקיע לשחקים וטיפס לרמה של 228 נקודות. האמת היא שהציון ניתן לה בהיותה ילדה במבחני האיי־קיו המיועדים לילדים והוא שקול ל־185 במבחן של מבוגרים. זה לא הורס את המסיבה — הציון עדיין מופלג. אגב, אם נאמין לשמועות, לאלברט איינשטיין היתה מנת משכל של 160 נקודות "בלבד".

גברת ווס סוואנט הייתה בעלת טור בשם "Ask Marilyn" בכתב העת Parade . הטור הביא לה פרסום רב — בשיאו קראו אותו יותר מ-30 מיליון איש ואישה. במסגרת הטור מרילין פתרה חידות (לוגיות, מתמטיות , מילוליות...) והשיבה על שאלות במגוון רחב של נושאים. בספטמבר 1990 התחוללה שערורייה סביב אחת התשובות של מרילין. אלפי מכתבי תגובה הגיעו למערכת. כולם חשבו שהפעם מרילין החכמה טועה. הנה, סוף־סוף, הגאונית הוכנעה. היו קוראים שהקניטו אותה על זה שהיא אישה ולכן היא לא אמורה להתעסק במתמטיקה. אז מה בדיוק קרה באותו הטור המפורסם? ומה הייתה השאלה?

מכונית או עז

בשעשועון טלוויזיה, המשתתף עומד מול שלוש דלתות — אחת מהן מסתירה מכונית ומאחורי השתיים האחרות נמצאת עז. המנחה יודע איפה העזים ואיפה הפרס, אבל הוא לא מגלה את זה, כמובן. המשתתף בוחר דלת. כיוון שבחירתו מקרית, ברור לנו כי הסיכוי שהוא יזכה במכונית שווה לשליש. בשלב הזה, המנחה ניגש לאחת משתי הדלתות האחרות, פותח אותה וחושף עז. כרגע יש לנו שתי דלתות סגורות. אחת מהן מסתירה עז. ואז, כדי להעלות את המתח, המנחה שואל את המשתתף: "האם תרצה להחליף את הדלת שבחרת?" המשתתף מביט בדלת אחת, מביט בדלת השנייה, מתלבט, מזיע, מביט בקהל, ולבסוף באצבע רועדת הוא מורה על אחת הדלתות... וכשהדלת נפתחת הוא רואה... מכונית... או עז.
מֶהההה הבעייה? השאלה ששלחו למרילין היתה: מה כדאי למשתתף לעשות? לדבוק בבחירה המקורית או להחליף אותה? האם הסיכוי לזכייה גדל או קטן כשהמשתתף משנה את דעתו? או אולי זה בכלל לא משנה?

הבעיה של אברי גלעד

אם השאלה מוכרת לכם, זה משום שצפיתם בשעשועון הטלוויזיה "עשינו עסק" שהנחה אברי גלעד בשנות התשעים. היתה זו גרסה ישראלית לשעשועון טלוויזיה אמריקאי בעל אותו השם. השעשועון הפופולרי הוקרן בארצות הברית במשך עשרות שנים. למנחה האמריקאי קראו מונטי הול, והחידה מכונה על שמו Monty Hall Problem . אם לתרגם לעברית, אנחנו נקרא לזה הבעיה־של־אברי־גלעד. הבעיה־של־אברי־גלעד נראית פשוטה, וכמדומה כל אחד יכול להמליץ למשתתף מה כדאי לו לעשות... אז מה הייתם ממליצים? מרילין המליצה להחליף את הדלת. קוראים רבים טענו בכעס, שאין הבדל. מאחורי דלת אחת יש עז, מאחורי השנייה מכונית, זה "פיפטי־פיפטי", מי לא מבין? מה יש בכלל להבין? מרילין קיבלה קרוב ל־10,000 מכתבים (מתוכם כ-1,000 היו מבעלי תואר Ph.D) שטענו בתוקף שהיא טועה. הדבר המדהים הוא שחלק מבעלי תואר Ph.D הזועמים היו דוקטורים למתמטיקה (והם טעו). הם בזו למרילין על חוסר היכולת שלה להבין שאלה אלמנטרית בחשבון. הם כתבו למערכת מכתבים בנוסח, "כמה מתמטיקאים את צריכה כדי לשנות את דעתך?" או, "אם כל כך הרבה מדענים טועים, המדינה בצרות." והיו קוראים יצירתיים וחצופים במיוחד שכתבו לה, "את בעצמך עז."

חשוב להבין ולזכור, שהעובדה כי קיימות שתי אפשרויות בלבד אינה מחייבת שהאפשרויות האלה יהיו שוות סיכוי: או שירד מחר שלג באילת או שלא ירד, אך הסיכויים של שני המאורעות אינם שווים ולכן אינם חצי־ חצי

איור מאת ובאדיבות דני קרמן

מרילין נשארה איתנה בדעתה: כדאי להחליף את הבחירה של הדלת, כי זה מגדיל את הסיכוי לזכות במכונית. על מנת לשכנע את הקוראים הזועמים, היא קראה לעזרתם של ילדים ברחבי המדינה וביקשה מהם לערוך ניסוי. להכין 3 פתקים עם המילים "עז" "עז" ו"מכונית", ולדמות את המשחק. ילד אחד יהיה השחקן שבוחר פתק ויכול לזכות במכונית. ילד אחר יהיה המנחה שיודע מה כתוב על הפתקים וחושף פתק שכתוב עליו "עז" אחרי הבחירה הראשונה של השחקן. מרילין ביקשה מהילדים להשוות בין שתי האסטרטגיות: חזרו על הניסוי מאתיים פעם כשהשחקן מחליף את הבחירה הראשונה; חזרו על הניסוי מאתיים פעם כשהשחקן דבק בבחירה הראשונה; וְסִפְרוּ כמה פעמים זכיתם במכונית בכל אחת מהשיטות.

עטיפת הספר

מהר מאוד הגיעו מכתבים מרחבי ארצות הברית. כיתות רבות אירגנו את הניסוי במהלך שיעורי המתמטיקה. הם גילו שמרילין צודקת. מספר הזכיות גבוה יותר כשמחליפים את הדלת. האם זה עזר? לא ממש. אפילו הסימולציה כשלה בניסיונה להנחיל את התורה; אנשים פשוט סירבו להאמין ששווה להחליף את ההימור. "אם יש שתי דלתות אפשריות, לא ייתכן שהסיכויים אינם חצי־חצי" — התעקשו קוראיה של מרילין. אפילו ה"ניו יורק טיימס" פירסם מאמר ראשי שתמך בעמדתה (שהיא, כמובן, גם עמדת הכותבים של ספר זה, ומיד אחרי הסבר משכנע, זו תהיה גם העמדה שלכם) אך עדיין אנשים רבים סברו — וסבורים — שבכל פעם שיש שתי אפשרויות, הסיכויים הם חצי־ חצי. אולי זה פשוט בגנים שלנו.

חשוב להבין ולזכור, שהעובדה כי קיימות שתי אפשרויות בלבד אינה מחייבת שהאפשרויות האלה יהיו שוות סיכוי: או שירד מחר שלג באילת או שלא ירד, אך הסיכויים של שני המאורעות אינם שווים ולכן אינם חצי־ חצי; כאשר אני זורק לסל מאמצע המגרש, ישנן שתי אפשרויות בלבד — או שאקלע או שלא, ועדיין לא הייתי מהמר שהסיכוי הוא חצי־חצי — שתי האפשרויות האלה אינן שוות סיכוי; חולה נכנס לניתוח להוצאת שקדים — או שישרוד או שימות — אנו רוצים לקוות שהסיכויים אינם חצי־חצי. כך גם עם הדלתות, רק באופן גלוי פחות. שתי אפשרויות אינן מחייבות סיכויים שווים לכל אפשרות!

"אם יש סיכוי של חמישים אחוז שדבר-מה ישתבש, אזי הוא ישתבש בתשעה מקרים מתוך עשרה".

Paul Harvey שדרן ב- ABC Radio Networks

הנה הסבר מילולי: מדוע כדאי לשנות את ההחלטה?

אמנם בנקודה הזאת שהמנחה פותח דלת ומראה כי מאחוריה נמצאת עז כמעט כולם חושבים שהסיכוי של המתמודד עלה לחצי — הרי נותרו רק שתי דלתות! אבל לא. הסיכויים של המתמודד היו שליש ונשארו שליש, וזאת כי הבחירה הראשונה התבצעה מול שלוש דלתות. היתרון של הדלת האחרת טמון בכך שהיא נבחרת באופן מושכל: נדגיש, למנחה אסור לחשוף את הפרס. בנקודה הזאת, המנחה מוסיף אינפורמציה. לכן כשמציעים למשתתף להחליף את ההימור, העצה המתמטית היא — תחליף! הבעיה־של־אברי־גלעד, כמו שאנחנו קראנו לה, היא בעיה פשוטה ומשעשעת, שהפתרון שלה נוגד את האינטואיציה של רובנו. אפילו המתמטיקאי הגדול פאול ארדש (Erdős Pál) הודה שנזקק לסימולציה כדי להשתכנע שהסיכויים אינם זהים עבור שתי הדלתות . ומה אם המנחה מציע להחליף את ההימור רק לפעמים? או־אז מתעוררת השאלה — למה מציעים לי להחליף? לכך אין לי עצה, כי כאן נכנסים שיקולים פסיכולוגיים שמתערבבים עם המתמטיקה ומכשילים את החישובים הטהורים.

המאמר מבוסס על פרק מספרם של ד״ר גייל גלבוע פרידמן וד״ר חיים שפירא ״אני חושב משמע אני טועה״ שרואה אור בימים אלה בהוצאת כנרת זמורה ביתן.