הקוד המתמטי של מוצרט

יצירתו האחרונה של מוצרט, חליל הקסם, בישרה על תחילתו של סדר מוזיקלי חדש באירופה. היא גם טמנה בחובה מבנים מתמטיים המעידים על נאמנותו לאחת התנועות המהפכניות ביבשת
X זמן קריאה משוער: 7 דקות

חליל הקסם הוא ביטוי השיא למשיכתו העמוקה של מוצרט למספרים ומבנים מתמטיים, ולקשר שלהם למוזיקה. מוצרט התאהב במספרים כבר בגיל צעיר מאוד. יוהן אנדראס שכטנר, חצוצרן החצר וחבר של משפחת מוצרט, כתב על תאבונו יוצא הדופן של וולפגנג הצעיר לסְפָרוֹת: "כשהוא עורך חישובים, השולחן, הכיסא, הקירות ואפילו הרצפה מכוסים במספרים כתובים בגיר."

כאדם בוגר, האובססיה של מוצרט למספרים לא דעכה. הוא נהג לפזר מספרים במכתבים שכתב לקרובים וחברים. במכתב לאחותו הוא חתם כ"ידיד של בית המספרים." במכתב אחר לאשתו קונסטנצה הוא רושם את רצף המספרים המוזר הזה: 1095060437082. לפי פענוח אחד של הרצף הזה יש לחבר את המספרים 10+9+50+60+43+70+82 ולקבל 324, שהוא 18 בריבוע. מבחינת מוצרט, רעיון המספר בריבוע מביע את קשר האהבה בין המלחין לאשתו. אחרי מותו של מוצרט סיפרה קונסטנצה לביוגרף על "אהבתו לאריתמטיקה ואלגברה", שעליה מעידים כמה וכמה ספרים על מתמטיקה שנמצאו בספרייתו.

שבע שנים לפני שהשלים את כתיבת האופרה חליל הקסם, התקבל מוצרט למסדר עם אובססיה לטקסים מספריים וגיאומטריים: הבונים החופשיים

מוצרט אהב לתבל את המוזיקה שלו ברצפים מתמטיים. האופרה נישואי פיגארו נפתחת במספרים 5, 10, 20, 30, 36, 43 שאותם שר פיגארו כשהוא מודד את החדר שיחלוק עם סוזאנה לאחר נישואיהם. בחירה מסקרנת של מספרים. אבל כשמחברים אותם מקבלים 144, או 12 בריבוע. כמו במכתב לאשתו, המספר בריבוע הוא ייצוג מספרי של האיחוד הממשמש ובא של פיגרו לכלתו סוזאנה.

מעלליו המיניים של דון ג'ובאני מגולמים ברצף המספרים 640, 231, 100, 91, 1003 המופיעים באריית ה"קטלוג" המפורסמת ששר לפּורלו, משרתו של דון ג'ובאני. 640 באיטליה, 231 בגרמניה, 100 בצרפת, 91 בתורכיה ו-1,003 בספרד. בהתחשב באובססיה של מוצרט למתמטיקה נראה שאולי מסתתר במספרים האלה רצף אחר, אבל נכון לעכשיו עדיין לא גיליתי אותו.

אך מבין כל האופרות של מוצרט, דווקא יצירתו האחרונה, חליל הקסם, עמוסה יותר מכול בסימבוליזם מתמטי ודימויים מספריים. שבע שנים לפני שהשלים את כתיבת האופרה התקבל מוצרט למסדר עם אובססיה לטקסים מספריים וגיאומטריים: הבונים החופשיים.

מפגש של הבונים החופשיים בווינה, 1789. פרשנים סבורים שהאיש שיושב על ספסל בפינה הימנית הקדמית של החדר הוא מוצרט. ציור: Ignaz Unterberger

מפגש של הבונים החופשיים בווינה, 1789. פרשנים סבורים שהאיש שיושב על ספסל בפינה הימנית הקדמית של החדר הוא מוצרט. ציור: Ignaz Unterberger

בניגוד לדימוי המודרני של הבונים החופשיים כמועדון למען הממסד, במאה השמונה עשרה היה המסדר חדור אידיאלים של תנועת ההשכלה ושל השינויים המהפכניים שהתחוללו באירופה. הוא נחשב לאיום כה גדול על הרשויות עד שהקיסרית מריה תזרה החרימה אותו. למעשה, רבים טענו שמלכת הלילה מבוססת על הקיסרית, ושהמקדש של זרסטרו הוא בעצם גרסה מוסווית קלות של מסדר הבונים החופשיים.

בחליל הקסם, מוצרט מכריז על נאמנותו למשימתם של הבונים החופשיים. הוא עושה זאת בעזרת השימוש במספר בעל חשיבות אדירה לבונים: שלוש. כחבר טרי היה מוצרט מקיש קצב המורכב משלושה תווים על דלת הלשכה כדי שיאפשרו לו להיכנס. שוב ושוב באופרה אנו שומעים את אותו מקצב, אקורד החוזר שלוש פעמים, כשלעתים קרובות יחידת המקצב הזו עצמה חוזרת שלוש פעמים. כפי שאמר גתה, חברו למסדר, "הקהל ייהנה מהמחזה: ובה בעת, החברים יזהו ללא ספק את חשיבותו הרמה."

מעטה של מסתורין אופף את חשיבות המספר שלוש בעיני הבונים החופשיים. יש מי שמציין את האמונה הפיתגורית לפיה שלוש היה המספר הזכרי הראשון. אבל ההסבר המעניין ביותר לחשיבות המספר שלוש קשור לעניין של הבונים בגיאומטריה. אחד הטקסים של המסדר מתקשר למשפט ה-47 של אוקלידס, העוסק במשולש ישר הזווית - אחד הכלים החשובים ביותר לכל בונה. חשיבותו של המספר שלוש, אם כן, עשויה להיות קשורה לחשיבותו של המשולש לבונה.

שלושת האקורדים שמתבלים את הפרטיטורה אינם השימוש היחיד שנעשה במספר שלוש כדי לציין מגמות הקשורות למסדר. דברים רבים מגיעים בשלשות. בתחילת האופרה מצילות שלוש הגברות את טמינו. שלוש רוחות של ילדים מובילות אותו למקדש של זרסטרו. כשהוא מגיע לשם הוא מוצא שלושה מקדשים, המוקדשים ל"טבע," "היגיון," ו"חוכמה." שלושתם אידיאלים של הבונים החופשיים. מוצרט כתב לעתים קרובות במי במול מז'ור, סולם עם שלושה במולים, כשעסק בנושאים הקשורים לבונים החופשיים. שלשות בכל פינה, ואיתן נולדת הרמוניה בשלושה חלקים. אקורדים המבוססים על התו השלישי והשישי בסולם ממלאים תפקיד יוצא דופן בבחירת ההרמוניה.

אם שלוש הוא הלייטמוטיב לתמות הבונים החופשיים שבלב האופרה, אז המספר שתיים מסמל חברה ששינוי מתחולל בה. בניגוד לייחוס הזכרי של המספר שלוש, המספר שתיים נחשב בתרבויות רבות למספר נקבי

אם שלוש הוא הלייטמוטיב לתמות הבונים החופשיים שבלב האופרה, אז המספר שתיים מסמל חברה ששינוי מתחולל בה. בניגוד לייחוס הזכרי של המספר שלוש, המספר שתיים נחשב בתרבויות רבות למספר נקבי. האופרה מלאה בזוגות משמעותיים: טמינו ופמינה, פפגנו ופגגנה. לא כל הזוגות האלה חיוביים. מלכת הלילה נמצאת בעימות עם זרסטרו. הירח והשמש. כדור הארץ והאוויר. האש והמים. הגלוקנשפיל והחליל.

אחד הזוגות המרכזיים באופרה הוא תוהו וסדר, שביניהם שורר מתח הקשור למעבר מהמשטר הישן, המבוסס על שלטון של מלכים ומלכות, לסדר שוויוני חדש, מאמונות תפלות דתיות לנאורות רציונליסטית. זהו מוצרט הכותב ברגע מכריע בהיסטוריה, מבחינה פוליטית ומוזיקלית. היצירה בוצעה לראשונה בווינה ב-1791, שנתיים לאחר שהמהפכה שטפה את רחובות פריז. באותו זמן היה לבונים החופשיים תפקיד חשוב בשינוי. אחת מאמרות המסדר היא Ordo ab Chao – סדר מתוך תוהו.

אבל זו גם הצהרה למהפכה מוזיקלית. האוברטורה היא מיקרוקוסמוס של השינוי הזה. הפתיחה כוללת מקצבים חריגים וצלילים מערערים שנפתרים בסופו של דבר למשהו יציב יותר. המוזיקה של מלכת הלילה מלאה בקולורטורה. היא מקושטת, בארוקית. אבל המוזיקה במקדשו של זרסטרו והמוזיקה המלווה את המבחנים שעוברים טמינו ופמינה דלה הרבה יותר ובעלת הרמוניה מורכבת יותר, על אף הקו המוזיקלי הפשוט. מוצרט פורש את חזונו לסדר מוזיקלי חדש.

השימוש המשמעותי ביותר שעושה מוצרט במתמטיקה בחליל הקסם, חבוי בתוך הסמל המתמטי שמייצג את מסדר הבונים החופשיים. את סמל זה אפשר לראות חרוט במדרכה שמחוץ ל"לשכה הגדולה" (Grand Lodge) שבקובנט גארדן: הכוכב המחומש, או הפנטגרמה. המספר חמש הוא היתוך של שתיים ושלוש, הנקבה והזכר, אחת התמות העומדות בלב האופרה. הצלחתו העתידית של המסדר של זרסטרו תלויה באיחוד של גבר ואישה. יש לשים לב שבחליל הקסם, הדואט והטריו מפנים את מקומם לא לקוורטט, אלא לקווינטט. הפתיחה של האופרה היא למעשה מקצב המורכב מחמישה אקורדים, לא מהשלושה של האקורד החוזר.

אבל חמש אינו המספר שחבוי בפנטגרמה שבה משתמש מוצרט באופן מעניין, אלא מספר אחר: יחס הזהב. בין רבים מהקווים שבפנטגרמה מתקיים היחס המתמטי המיוחד הזה, הנחשב באמנות ובאדריכלות ליחס האסתטי ביותר.
היחס בין שני קווים באורך A ו-B הוא יחס הזהב אם כאשר מחלקים את אורך A באורך B הקטן יותר, הדבר שווה ערך לחלוקת A+B ב-A. למלבן בפרופורציות האלה יש תכונה ייחודית: אם נחתוך מתוכו ריבוע שצלעותיו באורך B, אז המלבן החדש יהיה גם הוא באותה פרופורציה בדיוק. אדריכלים רבים, מהיוונים העתיקים ועד לה קורבוזיה, השתמשו ביחס הזהב כשתכננו מבנים.

וזו הסיבה שהפנטגרמה חשובה כל כך לבונים החופשיים. היא כמו סרגל משולש הכולל את היחס המתמטי הזה. הדבר יוצא הדופן הוא שמלחינים רבים נמשכו ליחס הזה כדבר המסמן רגע חשוב בהתפתחותה המוזיקלית של יצירה. דביסי השתמש בו במכוון בלחניו כדי לסמן את שיאה של יצירה. אך למרבה התדהמה ישנן גם ראיות לכך שמוצרט עושה את אותו דבר בחליל הקסם.
אם מביטים באוברטורה וסופרים את מספר התיבות מתחילת האלגרו הראשון ועד לנקודה שבה נשמעים האקורדים החוזרים המכריזים על שינוי, מקבלים 81 תיבות. עכשיו ספרו מאותה נקודה ועד לסיום. 130 תיבות. חלקו 130 ב-81, והתוצאה קרובה מאוד ל-130+81 חלקי 130. עם מספר התיבות הזה, אי אפשר להתקרב יותר ליחס הזהב. האם מוצרט נמשך כאן אינטואיטיבית לקונספט המתמטי החשוב הזה, או שמא הוא תכנן זאת במכוון?

ישנו רצף מספרים חשוב הקשור ליחס הזהב. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... זו סדרת פיבונאצ'י. כל מספר מתקבל על-ידי חיבור שני המספרים הקודמים בסדרה. ועם כל צעד, היחס בין מספר לקודמו הולך ומתקרב ליחס הזהב. מעניין לגלות שגם מוצרט משחק עם המספרים האלה. הוא מחלק את האופרה לשמונה קטעים מוזיקליים במערכה הראשונה ול-13 בשנייה, מה שנותן 21, שלושה מספרי פיבונאצ'י. צירוף מקרים, או שמא הוא מיישם רעיונות מתמטיים שככל הנראה נתקל בהם במהלך שבע השנים שבילה במסדר הבונים החופשיים?

יש לזכור שמוצרט היה רחוק רק כמה חודשים ממותו כשהלחין את חליל הקסם. הוא פורש את חזונו לכיוון מוזיקלי חדש. חליל הקסם מבשר שינוי שיוביל בסופו של דבר, עשרות שנים לאחר מכן, לאופרות של וגנר. הרעיון של לייטמוטיב כדרך לגרום למוזיקה לספר סיפור, קיים כבר בחליל הקסם. לא זו בלבד שהאופרה האחרונה של מוצרט שואבת השראה מהשינויים הפוליטיים המתחוללים באירופה, אלא שהיא מבשרת גם את תחילתו של סדר מוזיקלי חדש שיסחף את עולם המוזיקה במאה התשע עשרה.

מרכוס דו סוטוי הוא מתמטיקאי וראש הקתדרה להבנה ציבורית של המדע באוניברסיטת אוקספורד. המאמר פורסם באנגלית במגזין של האופרה הבריטית  English National Opera

מחשבה זו התפרסמה באלכסון ב על־ידי מרכוס דו סוטוי, ENO.


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

8 תגובות על הקוד המתמטי של מוצרט

04
אברום רותם

מעניין ומרתק, אך גם לא צריך להיסחף ולמצוא כל מיני יחסים ומספרים רצויים, כי אין לזה סוף (עיין ערכים בגימטריה... :-) ), כמו למשל "חלקו 130 ב-81, והתוצאה קרובה מאוד ל-130+81 חלקי 130...." או "...שלושה מספרי פיבונאצ'י. צירוף מקרים, או שמא הוא מיישם רעיונות מתמטיים....".
אבל בגדול בהחלט מעניין

05
יורם הורוביץ

קראתי את אחת הביוגרפיות על מוצארט וראיתי את הסרט של מילוש פורמן שגם הוא מבוסס בודאי על כמה ביוגרפיות. על פי הן ההערכה העצמית של מוצארט בסוף חייו הייתה מאוד נמוכה והוא לא היה היה בטוח שזו יצירה טובה.

06
שי אלוני

המאמר עצמו יפה ומעניין, אבל איכשהו, הקישוריות למתמטיקה ביצירה לא מספיק חזקה בעיניי. אם היה ככ עסוק במתמטיקה, ומוכשר בה במידה סבירה, ניתן היה להנח שהיה שותל רמזים רבים יותר ממספרים רגילים המסתמכים במספר שהוא חזקה ריבועית. אולי ריבועים המסתכמים לריבונות, שלישית וכיוב. גם העיסוק בזוגות ושלשות- אני מניח שניתן למצוא אי אלו אמנים ויצירות שיש בנם זוגות של דמויות, או תופעות של שלוש, מבלי לקשר למתמטיקה. הרמוניה טבעית אולי גוררת שימוש בזוגות ושלשות (בצבא יש שלשות, וקשה להניח שמדובר במחווה נסתרת לאלגברה).

07
ג'ורג' דנטון

בנוגע לבחירת המספרים בסצנת הפתיחה של 'פיגרו':
ראוי לזכור כי כותב הלברית היה דה-פונטה. במחזה המקורי של בומרשה (La Folle Journée, ou Le Mariage de Figaro) אומד פיגרו את מידת אורכו ורחבו של החדר 26x19, ניתן לשער כי שיתוף הפעולה בין דה-פונטה ומוצרט בכתיבת 'האיטלקיות' היה הדוק ועדיין, ככל הידוע לי, אין איזו הפניה לכך שהשינוי המספרי היה בייחוד של מוצרט.

08
עכבר היזהר

בתור חובב מושבע של מוזיקה קלאסית, אני מצד אחד מאוד מעריך את כותב המאמר ומצד שני חושב שזה קשקוש מוחלט. הנסיון לחבר את המספרים האלה באופן ידני כל כך הוא דמגוגי ופתטי, כמו "הצופן התנכ"י" והגימטראות. הנח ליצירה פלא זו להיות יצירת מופת בזכות מה שהיא, ולא בגלל כל מיני רמזים נסתרים שהומצאו ונתפרו לה בכח.