המספר הגדול בעולם

מספר גרהאם, למשל, נמצא כל כך רחוק מעבר לתחום ההבנה האנושית שהדעת נתקלת בחומה אטומה בדרך אליו. אבל האם יש למספרים גדולים שימוש כלשהו?
X זמן קריאה משוער: 10 דקות

אפרים קישון סיפר פעם על מפגש עם ידידו הטוב ארבינקא למשחק ידידותי של פוקר יהודי. פוקר יהודי, מסביר ארבינקא, הוא משחק שמשחקים בלי קלפים, אלא בעזרת המח בלבד: כל אחד מהמשתתפים חושב על מספר, ומי שהמספר שלו גדול יותר – מנצח. אם היריב שלך מכריז על 32 כשכל מה שיש לך ביד זה 26, הפסדת, חבל. אלא אם כן אתה מכריז על "קונטרה" – מה שמכפיל את המספר שלך, ומאפשר לך לגרוף את הכסף. מה שיפה בפוקר יהודי, מסביר ארבינקא, זה שהכל בראש והכל יכול לקרות. עד שמישהו מכריז על פאגאט, מה שמעניק לו את הניצחון אוטומטית.

האבסורד, אם להרוס לקישון את הבדיחה בברוטליות, הוא שתמיד אפשר לחשוב על מספר גדול יותר. למה לומר "57" כשאפשר לומר "58"? למה להסתפק במספרים דו-ספרתיים? אם תשחקו פוקר יהודי מול ילד, הוא עשוי לשלוף קלף מנצח בדמות "מאה!" או "מיליון!" ולהיות בטוח שהוא בלתי מנוצח. בגיל מתקדם קצת יותר, הם יבינו את חוסר התוחלת שבמשחק, ואם יתבקשו לציין את המספר הגדול ביותר שהם מכירים, יכתבו "9999999999..." - ואז משחק-המוחות המתוחכם הופך לתחרות מי משאיר את האצבע על מקש ה-9 במקלדת יותר זמן.

פוקר יהודי הוא, כמובן, משחק טפשי באופן קיצוני. אבל לשאלות טפשיות לפעמים יש תשובות מעניינות. מובן מאליו ששום מספר טבעי הוא לא באמת "המספר הגדול בעולם": לכל מספר ניתן להוסיף אחד או להכריז על קונטרה. ובכל זאת, אי-שם, במחברת או במח כלשהו, חייב להתקיים המספר הגדול ביותר שמישהו הגה אי פעם. איזה מספר זה? כשמתמטיקאים משחקים בפוקר יהודי – בהנחה שאף אחד מהם לא מכריז על פאגאט - מי מנצח? והאם יש לשאלה הזאת משמעות בכלל?

רון אהרוני

פרופ' רון אהרוני

מבט על היקום מסביבנו מניב מיד שלל מספרים גדולים. מספר הכוכבים בגלקסיה שלנו הוא בין 100 ל-400 מיליארד. גילו של היקום הוא כ-432,329,886,000,000,000 שניות. בגרם אחד של פחמן יש 5x10^22, (חמש, ואחריו 22 אפסים) אטומים. מספר החלקיקים האלמנטריים ביקום הידוע מוערך בכ-80^10 – 1 ואחריו 80 אפסים. זה הרבה.

אבל לנצח את המספר הזה בפוקר יהודי? קלי קלות. אחד המספרים הגדולים-מאוד המוכרים ביותר הוא "גוגול" (גוגול, ולא גוגל, אגב; מנוע החיפוש נקרא על שם המספר, אבל מייסדיו אייתו את השם לא נכון). גוגול הוא שם לא רשמי שהמציאו אדוארד קסנר וג'יימס ניומן בספרם משנת 1940 עבור המספר ששמו הפורמלי הוא עשרה דואוטריגינטיליון, או בשפה פשוטה יותר: הספרה 1 ואחריה מאה אפסים.

גוגול, כאמור, הוא מספר גדול מכפי שיהיה שימושי. אין שום דבר ביקום שיש גוגול ממנו. או שיש? ‏"שאלתי את הבת שלי, כשהיא עוד הסכימה לדבר איתי על מתמטיקה, אם היא מכירה משהו שיש גוגול ‏ממנו ביקום. היא אמרה שבוודאי שכן – בכל שניה יש גוגול גוגוליות-שניה" - מספר רון אהרוני, פרופסור למתמטיקה בטכניון ומחבר הספר "מתמטיקה, שירה ויופי".

רוב האנשים יסכימו שגוגול, ומספר החלקיקים ביקום, הם מספרים גדולים מאוד. אבל מתמטיקאים העוסקים בקומבינטוריקה מסתכלים עליהם בזלזול: אלה מספרים קטנים מאוד. אהרוני: "קח בעיה פשוטה לחלוטין מהחיים: יש לך מאה אנשים, ואתה רוצה לספור את מספר הדרכים האפשריות להעמיד אותם בשורה. התשובה היא מאה עצרת – 100 כפול 99 כפול 98 כפול 97 וכו' - וכבר זה מספר גדול יותר מגוגול. וזה רק מאה איש; אם היינו מנסים לספור את הדרכים להעמיד בשורה את כל האנשים בעולם, היינו מקבלים מספר שמספר האטומים בעולם הוא ינוקא זערער זניח לעומתו".

חבטה יפה מצד אהרוני, אבל מתברר שקסלר וניומן הכינו מראש תשובה, עבור כל מי שגוגול לא מספיק גדול בשבילו. מיד אחרי גוגול הם הגדירו גם את בן-דודו גוגולפלקס: 1 ואחריו גוגול אפסים, או עשר בחזקת עשר בחזקת מאה. כבר כאן אנחנו נתקלים בבעיה שתחזור ביתר שאת בהמשך: אי אפשר לכתוב את זה. כאמור, היקום אינו מספיק כדי להכיל גוגול מכל דבר, כולל אפסים, לכן לא ניתן לכתוב את שמו המלא של גוגולפלקס.

ובכל זאת, אי-שם, במחברת או במוח כלשהו, חייב להתקיים המספר הגדול ביותר שמישהו הגה אי פעם

ועדיין המשחק רחוק מאוד מלהסתיים. ענף של הקומבינטוריקה שהביא דרך קבע למספרים גדולים במידה פנטסטית הוא תורת רמזי, העוסקת בשאלת הגודל ההכרחי של מבנים מתמטיים המבטיח שיתקיימו בהם תת-מבנים מסוימים. כך, למשל, נראית הבעיה שאותה פתר המתמטיקאי האמריקאי רונלד גרהאם בשנת 1977, ושהבטיחה לו מקום של כבוד בהיכל התהילה של הפוקר היהודי:

"בהינתן היפרקוביה ‏n‏-ממדית, מחברים את כל הקודקודים שלה כדי לקבל גרף ‏שלם בעל שתיים בחזקת n צמתים. עתה צובעים כל קשת בגרף בצבע אדום או שחור. מהו הערך המינימלי של n כך ‏שלכל צביעה אפשרית של הגרף בהכרח יהיה קיים תת-גרף שלם בעל 4 קודקודים באותו מישור שכולו צבוע באותו הצבע?‏"

החסם העליון לפתרון הבעיה הזאת נודע כ"מספר גרהאם", וזכה לפופולריות רבה לאחר שהוזכר על ידי מרטין גרדנר, בעל טור פופולרי ב"סיינטיפיק אמריקן". במשך זמן מה מספר גרהאם אפילו החזיק מקום בספר השיאים של גינס כמספר הגדול ביותר שהוזכר אי פעם בהוכחה מתמטית רצינית.

אין כל דרך פשוטה לכתוב את מספר גרהאם, או אפילו קיצור שלו. מכיוון שאת גוגולפלקס כבר השארנו הרחק מאחור, מובן מאליו שאין מקום ביקום כדי לכתוב את המספר במלואו. לא זו בלבד, אלא שגם את מספר הספרות שממנו הוא מורכב אין מקום לכתוב. אפילו לציין אותו בעזרת מגדל חזקות - מה שבמקרה של גוגלפלקס מסתיים בתשעה סימנים קצרים: 100^10^10 – אי אפשר: היקום אינו מספיק.

הדרך היחידה לקבל מושג – גם אם לא לעכל – את גודלו של המספר הוא להסביר את החישוב המוביל אליו, המתחיל בחץ של קנות'. החץ הזה הוא דרך לקצר מגדלי חזקה אדירים. 3‏↑‏3 הוא 3 בחזקת 3 – מה שנותן את התוצאה השפויה והקלה להבנה, 27. כל חץ נוסף שמפריד בין המספרים מאריך את התהליך בשלב: 3‏↑‏‏↑‏3 הוא מגדל חזקות בגובה 3‏‏↑‏3 שלבים, כלומר 3 בחזקת (3 בחזקת 3), מה שנותן לנו כ-7.6 טריליון. 3‏↑‏‏↑‏‏↑‏3 הוא מגדל חזקות שבו 3‏‏↑‏‏‏↑‏3 שלבים, כלומר 3 בחזקת 3 בחזקת 3 בחזקת 3.... 7.6 טריליון פעמים. 3‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏3 הוא מגדל חזקות שגבהו 3‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏3 שלבים. אין דרך לבטא את גודלו של המספר הזה או אפילו להתחיל לעכל את סדר הגודל שלו. ניתן רק לומר שעצם המחשבה על השוואה לזוטות כגון גוגולפלקס מעוררת גיחוך.

ועדיין, ‏ 3‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏3 ‏ הוא לא מספר גרהאם. הוא רק הצעד הראשון בדרך אליו. נקרא ל-3‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏3 g1, ונבנה מספר חדש, g2: הדרך לכתוב אותו בקיצור תהיה 3‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏...‏‏↑‏‏‏↑‏‏‏↑‏3 – עם g1 חצים המפרידים בין השלישיות. ועדיין לא הגענו. g3 הוא, כמובן, שרשרת של 3‏‏↑‏‏‏↑‏...‏‏↑‏‏‏↑‏3 כשמספר החצים הוא ‏g2‎‏, וכך הלאה והלאה. מספר גרהאם שווה ל-g64.

אין כל דרך לבטא בשפה אנושית, או להכיל במח אנושי, את גודלו של המספר הזה. למח האנושי לא קל להכיל אפילו מושגים כגון "מיליון", כפי שמוכיחה, לדברי אהרוני, העובדה שאנשים ממלאים לוטו. "העובדה שאנשים לא מסוגלים לתפוס מספרים גדולים היא הסיבה העיקרית לכך שהם מהמרים במפעלי הימורים של המדינה", דברי אהרוני. "אילו היו מבינים מהי משמעותו האמיתית של המושג 'אחד למיליון' לא היו עושים זאת".

מספר גרהאם, אם כן, נמצא כל כך רחוק מעבר לתחום ההבנה האנושית שהדעת נתקלת בחומה אטומה בדרך אליו. הבינה האנושית לא נועדה, מטבע הדברים, להכיל מספרים הגדולים כל כך מכל מה שניתן למצוא ביקום הממשי, והדרך היחידה שבה אפשר לתפוס אותו במישרין היא "הרבה". ובכל זאת, ידוע לנו פרט אחד ממשי וקל להבנה בנוגע אליו: הספרה האחרונה של מספר גרהאם היא 7. ייתכן שמדובר בפרט המידע חסר-המשמעות ביותר בהיסטוריה. הנה אנחנו עומדים בפני דבר עצום כל כך, הרבה מעבר לכל הבנתנו, ואנחנו חושבים שאנחנו יודעים עליו משהו משום שמצוי בידינו פריט המידע הכי פחות משמעותי האפשרי בנוגע אליו. כאילו היינו עומדים למרגלותיו של הר בגובהה של מערכת השמש השרוי בחשכה מוחלטת, ומאמינים שאנחנו יודעים עליו משהו בזכות פנס שלאורו ניתן להבחין בכמה גרגרי אבק שלמרגלות ההר.

כאילו היינו עומדים למרגלותיו של הר בגובהה של מערכת השמש, ומאמינים שאנחנו יודעים עליו משהו בזכות פנס

מספר גרהאם הוא הסלבריטי של הקומבינטוריקה. יש לו "מעריצים" רבים, והוא הפך למושג מוכר יחסית בקרב חובבים-מרחוק של המדעים. מי שלא מתלהבים ממספר גרהאם בכלל הם המתמטיקאים עצמם. לגביהם, מלבד הפרסום שלו זכה המספר, אין בו שום ייחוד – וגם ההישג המפוקפק שלו כמספר הגדול ביותר שבו נעשה שימוש בהוכחה רצינית כבר מזמן אינו עדכני.

נוגה אלון

פרופ' נוגה אלון

פרופ' נוגה אלון, זוכה פרס ישראל בחקר המתמטיקה, מתייחס למספר גרהאם – ולמשחק הפוקר היהודי בכלל – בביטול מסוים: "במאמרים רבים מופיעים מספרים גדולים הרבה יותר, כולל מאמרים שכתבתי בעצמי". הוא אומר. "המרדף הזה אחרי 'המספר הגדול ביותר' הוא טפשי בדיוק כמו משחק הפוקר היהודי. הרי לכל מספר אפשר לכתוב מספר הרבה יותר גדול ממנו – נגיד, 2 בחזקת המספר הזה – ובדרך כלל אפשר יהיה למצוא שאלה קומבינטורית לפחות חצי טבעית שזאת תהיה ההערכה לתשובה עבורה".

אבל האם יש באמת שימוש למספרים גדולים כאלה? על פי בקשתי נוגה נותן דוגמה לשאלה כזאת הלקוחה "מהחיים" - ואפילו אינה מכילה קוביות בעלות מספר מימדים דמיוני. "נניח שאנחנו עורכים מסד נתונים שבו בסיום כל שנה נרשם סכום הכסף המדויק, המעוגל לשקלים ‏שלמים, של כל אחד משבעה מיליון האזרחים במדינה. נניח גם שהכסף בבעלותו של כל אחד מהם יכול ‏לעלות או לרדת לאורך השנה באופן אקראי. לאף אדם אין בשנה הראשונה יותר מ-נאמר-30 מיליארד ש"ח, והעושר של אדם בכל שנה לא יכול להיות יותר מפי 100 מזה של האדם העשיר ביותר בשנה הקודמת. אם נחכה מספיק זמן, נגיע בהכרח אל שנה מסוימת ואל שנה נוספת אחריה שבה לכל אחד ‏ואחד מהאזרחים במדינה יהיה לא פחות כסף משהיה לו בשנה שבה התחלנו. כמה שנים נצטרך לחכות ‏כדי שנוכל לדעת בוודאות שזה כבר קרה?‏".

התשובה, לדברי נוגה, היא מספר גדול הרבה יותר ממספר גרהאם, ואפילו ממספר גרהאם ‏בחזקת עצמו.‏

נוגה מוסיף שעצם העיסוק במספרים הוא כמעט חסר משמעות: מתמטיקאים יתעניינו יותר בפונקציות יותר מאשר במספרים עצמם. הקומבינטוריקה מציעה פונקציות רבות הגדלות במהירות מטורפת. אחת הדוגמאות לכך היא פונקצית ‏TREE‏ שניסח גו'זף קרוסקל. זה ‏מתחיל פשוט: ‏TREE(1)‎‏ שווה ל-‏‏1. ‏TREE(2)‎‏ ‏הוא 3. פשוט וקל. ‏TREE(3)‎‏, לעומת זאת, הוא מספר מפלצתי כל כך שמספר גרהאם ‏לא מגרד את שורשי שורשי קרסוליו. כמובן, מהרגע שהפונקציה, הכלי, בידינו, האפשרות להגות מספרים ברמות גבוהות יותר ויותר של טירוף הופכת לקלה – בדיוק כפי שנוכל להוסיף לכל מספר קיים 1, נוכל גם למקם אותו בין סוגרי ה-TREE. אם ‏TREE(3)‎ הוא מספר שלבדו יכול להביס גם את שחקני הפוקר היהודי הטובים ביותר, מה נקבל אם נמקם בפונקציה את המספר 1000? את מספר גרהאם? את ‏TREE(3)‎?

מרטין גרדנר עצמו – זה שהביא את מספר גרהאם לידיעת הציבור - ערך פעם מעין ניסוי: הוא ביקש מקוראי המגזין לכתוב לו ולציין את המספר הגדול ביותר שעליו הם יכולים לחשוב, והבטיח למי שיציע את המספר הגדול ביותר מיליון דולר – חלקי אותו מספר. הוא קיבל תשובות המורכבות מתהליכים על גבי תהליכים שנתנו מספרים גדולים במיוחד. לפרס, כמובן, לא היתה משמעות, כיוון שהזוכה היה צריך לקבל חלקיק זערורי עד אפסיות של סנט; אלא שהתברר שגם למצוא זוכה לא היה אפשר. כאשר אנחנו עוסקים במספרים שאי אפשר לכתוב במישרין אלא רק לתאר את התהליכים המובילים אליהם – ומכיוון שלא קיים שום מחשב המסוגל לבצע את התהליכים האלה – קשה מאוד, או אולי אפילו בלתי אפשרי, להשוות ביניהם, ולהחליט האם מספר גדול מאוד מאוד א' הוא גדול יותר ממספר גדול מאוד מאוד ב'.

וכך משחק הפוקר היהודי מסתיים בתוצאה מאכזבת: אם מגיעים מספיק גבוה, אין דרך לדעת מי ניצח.

אבל האם יש באמת שימוש למספרים גדולים כאלה?

במציאות, כל ניסיון לשחק בפוקר יהודי נגמר תמיד באותה הצורה: מגיע איזה חוכמולוג וצועק "אינסוף! ניצחתי!".

לאותו חוכמולוג ניתן לענות שהוא לא ניצח. ראשית, נכון אמנם שאי אפשר לתת קונטרה לאינסוף ולא להוסיף לו 1 – אבל הסיבה לכך היא שאינסוף אינו מספר, אלא מושג. ושנית, אפילו אם נקבל את האינסוף בתור מהלך חוקי בפוקר יהודי – המשחק לא יסתיים, כיוון שכבר הוכח מזמן שלמעשה יש סוגים רבים ושונים של אינסוף, ואינסופים מסוימים הם בעלי עוצמה גדולה יותר – כלומר: גדולים יותר - מאחרים. הפוקר היהודי הופך כאן למשחק פילוסופי להפליא: כדי לקבל את עשרת הגרושים ארבינקא יצטרך להוכיח, למשל, שאינסוף המספרים הלא-רציונליים הוא גדול יותר מאינסוף המספרים הטבעיים.

האם לעיסוק במספרים גדולים כל כך – גדולים הרבה יותר מכל דבר שקיים ביקום – יכול להיות שימוש מעשי כלשהו? למעשה, כן. נוגה אלון: "מספר החלקיקים ביקום כל כך קטן שמשתמשים במספרים גדולים יותר ממנו כבר היום – להצפנה של כרטיסי אשראי, למשל. צופן RSA, שיטת ההצפנה הנפוצה והיעילה כיום, עושה שימוש במספרים בני מאה ספרות ויותר – ובמקרים בהם נדרשת הצפנה קשה יותר, הסטנדרט הוא להשתמש באלף ספרות בינאריות".

ובאשר לאינסופים השונים? רון אהרוני טוען שכאן מדובר ב"ספורט" מתמטי, שלא יכול להיות לו שימוש מעשי כלשהו. "‏אולי חברי המתמטיקאים, שמקדישים לנושא את חייהם, יהרגו אותי משום שהעזתי לומר את זה – אבל לדעתי, לאינסופים אין שום ‏שימוש. מתמטיקאים מאוד אוהבים לעסוק בזה משום שזה נושא כל כך יפה. זה עולם מקסים של רעיונות נורא נורא גדולים".

פאגאט.

מאמר זה התפרסם באלכסון ב


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

18 תגובות על המספר הגדול בעולם

02
ינאי דוידוף

המאמר מעניין, אך ברצוני להתמקד דווקא בסיפא: "לאינסופים אין שום שימוש... זה נושא כל כך יפה". אינני מתמטיקאי, אך אני מכיר את ההבחנה בין מתמטיקה שימושית למתמטיקה טהורה. רבים ניסו להגדיר את ההבדלים ביניהן, החל מהמתמטיקאי היווני אפולוניוס במאה השלישית לפנה"ס ועד לברטראנד ראסל במאה ה-20. ברוב המקרים ההבחנה איננה חד משמעית. חלקים מן המתמטיקה השימושית עושים שימוש בכלים שנחשבים שייכים למתמטיקה הטהורה, ואילו חלקים מן המתמטיקה הטהורה שואבים את נושאי המחקר שלהם מתופעות טבעיות.
מובן לחלוטין למה לעסוק במחקר מתמטי שימושי: תוצאות המחקרים משמשות לבניית מודלים להבנת תופעות פיסיקליות, כלכליות, ביולוגיות ועוד.
אין ספק שכפעולה פילוסופיה (אהבת החוכמה) יש הצדקה גם למתמטיקה הטהורה. ולמרות שלא קראתי את ספרו של פרופ' אהרוני, אני משוכנע שיש במתמטיקה שירה ויופי. בנוסף, העוסקים בתחום ללא ספק נהנים מעיסוקם. אולם כאשר אילוצים כלכליים מחייבים אוניברסיטאות לקצץ בסגלים שלהם (והן עושות זאת בעיקר במדעי הרוח) - האם ראוי להמשיך ולגייס מתמטיקאים טהורים?
חבר סגל באוניברסיטה מלמד בין 6 ל-8 שעות שבועיות ואת יתר הזמן מבלה במחקר. לפיכך, הוראה אינה יכולה להיות סיבת ההעסקה של המתמטיקאים הטהורים - שהרי היה אפשר להעסיק אנשים ייעודיים להוראה, שכל אחד ילמד כ-30 שעות שבועיות ולפיכך יחליף 5 תקנים.
ולגבי שירה ויופי - וודאי שאלו צריכות להיות מתוקצבות, אבל רוב מוחלט מהאנשים שזוכים ליהנות מהשירה והיופי שבמתמטיקה הטהורה הם המתמטיקאים עצמם ורק לעיתים רחוקות מאד הן מונגשות לקורא ההדיוט (כמו בספרו של פרופ' אהרוני או במאמר זה). האם לא ראוי שיותר משאבים יופנו כלפי סופרים, משוררים, אמנים פלסטיים או מוסיקאים, ששירתם ויופיים נגישים ליותר אנשים? הרי העוסקים בתחומים אלו נאלצים לרוב לעבוד במקביל לעיסוקם העיקרי בעבודה נוספות, שכן הם לא מסוגלים להתפרנס מן התחום היקר לליבם. מדוע שמתמטיקאים טהורים, שרוצים לדור תחת כנפי השכינה של התבונה לשם התבונה לא יחלקו גם הם בגורל של עבודה צדדית לצד עיסוק ראשי?
או לחילופין - אולי יוטלו על כל מתמטיקאי טהור 8 שעות שבועיות של הנגשת היופי שבמתמטיקה לציבור הרחב?
למען הסר ספק אין כאן ביקורת אישית כלפי פרופ' אהרוני או פרופ' אלון - שאני אפילו אינני יודע האם הם מתמטיקאים שימושיים או טהורים.

04
אב"ג בן ימיני איטר ימינו

מאמר מהנה.
גם אהבתי את התגובה של ינון ובקשר לכפפה שנזרקה, אין לי בשום פנים ואופן את הידע במתמטיקה טהורה (או: "מתמטיקה-לא-בהכרח-שימושית" [מאגיד]) אבל מסקירה של הערך באנגלית, משימת התרגום נראית לי לא כ"כ מסובכת.
אולי ארים את הכפפה...

08
Matoy

כשהייתי קטן היה שלב בו הייתי מוטרד מהמספרים ושאלתי את אמא שלי מהו המספר הכי גדול בעולם. רציתי שם. התודעה שלנו לא ממש סימפטית למושגים כמו אינסוף. כשאמא שלי לא ידעה לאיזה מספר הכי גדול יש שם, היא נתנה את המספר הכי גדול שיכלה לחשוב עליו.. נניח מילארד. "אבל מה קורה אחריו?", שאלתי. "אחריו יש מילארד ואחת". זה איכשהו הניח את דעתי. למספרים בתור מספרים, באמת לא נראה שיש חשיבות מתמטית. גם אין מספר שמהווה את כמות החישובים הגדולה ביותר שנדרשת לבעיה ספציפית. תמיד נוכל להרכיב בעיה חדשה, שמורכבת מפתירת אותה בעיה רק פעמיים (וכו'..).

10
מנור

אהבתי. מזה שנים שאני מחפש אחר מאמרו של אייזיק אסימוב בנושא מספרים גדולים. מאמרו של פישלר הוא יותר מנחמה פורתא ותחליף לאסימוב האגדי. מנור

12
אב"ג בן ימיני איטר ימינו

עודד אני אמנם לא מסכים עם האמירה שלאינסופים אין שום שימוש אבל הכוונה להבנתי הייתה ב"אינסופים גדולים" בעוד גיאומטריה פרקטלית עוסקת באינסופים קטנים. חוץ מזה שההגדרה של מה שימושי היא מאוד שנויה במחלוקת. ה"שימוש" של הדוגמה שנתת היא לפי מה שאני יודע מוגבלת לתאוריית (תורת?) הכאוס בלבד. שהיא בפני עצמה לא כ"כ "שימושית".

14
יצחק מנור

אורי יקר
חיממת את לבי, שנים של חיפוש לא מעט אובססיבי הגיעו לסיום.
אין ספק שאתענג על כל מלה במאמרו של אסימוב.
תודה גדולה.

    15
    שאול בלאו

    גיליתי גם תרגום למאמר זה ( למתקשים באנגלית ).
    קיים ספר בשם "אופוס 200" - אוסף מאמרים של אסימוב.
    הספר תורגם לעברית אבל אזל מזמן מהחנויות.
    מצאתי אותו במדפי המד"ב של הספרייה העירונית בגבעתיים.
    יתכן שאפשר להשיג גם בחנויות ספרים משומשים, ואם לא, אפשר לחפש אצר איתמר.

16
יצחק מנור

קיומו של ״אופוס 200״ הכולל אוסף מאמרי אסימוב
בתחום מספרים יוצר אנרגיות חדשות ומלהיבות
משימת חיפוש הספר נכנסה לרשימת
1001 משימות לביצוע טרם מותי
ובמקור 1001 to do list before i die