בתפקיד המשנה: המתמטיקה

הקולנוע והספרות מלאים בסיפורים דרמטיים על המתמטיקאים הגדולים שתגליותיהם שינו את העולם. על הקשר הסבוך בין חירות יצירתית, אמת היסטורית והמתמטיקה עצמה
X זמן קריאה משוער: 36 דקות

"נפלאות התבונה" ו"משחק החיקוי" הם שני סרטים מצליחים שבמרכזם עומדת דמויותיהם של מתמטיקאים גאונים, שתרמו תרומה משמעותית לעולם המדע במאה העשרים ושלסיפור החיים שלהם יש ממד דרמטי (ולמעשה טרגי) לא מבוטל. ג'ון נאש היה מחשובי החוקרים בתורת המשחקים, וסבל ממחלת נפש קשה שדרדרה אותו למעמקים אפלים. הוא הצליח להתאושש, לפחות באופן חלקי, בעזרת סיפור האהבה הגדול שליווה את מהלך חייו. (ימים ספורים לפני כתיבתן של שורות אלה נהרגו נאש בן ה-87 ואשתו אלישיה בתאונת דרכים טיפשית ומיותרת). אלן טיורינג נחשב לאחד מאבותיו של המחשב המודרני, הן בצד התיאורטי והן בצד המעשי. הוא היה הדמות המרכזית בפיצוח קוד האניגמה של חיל הים הגרמני במלחמת העולם השניה, ולזכותו עומדת הצלתם של עשרות אלפי קורבנות פוטנציאלים וקיצור משמעותי של מהלך המלחמה כולה. טיורינג היה הומו בתקופה שבה הדבר נחשב לעבירה פלילית באנגליה, ונאלץ לקבל טיפולים הורמונליים ל"דיכוי היצר" בתקופה שלאחר המלחמה, כאשר איש לא ידע על תרומתו הבטחונית החשובה שנשמרה כסוד מסווג ביותר. מדוכדך ומושפל מתופעות הלוואי של התרופות שקיבל, הוא החליט ככל הנראה לשים קץ לחייו בגיל 42, לאחר קריירה מבריקה.

שני התסריטאים ביססו את עלילות סרטיהם על ביוגרפיות שפורסמו כספרים היסטוריים, ונכתבו לאחר מחקר מעמיק ומדוקדק ולפי כללים אקדמיים מקובלים. שתי העלילות נצמדות במידה רבה למהלך הספרים, אך גם לא מהססות לסטות במקומות מסוימים כאשר הדבר משרת (לדעתו של התסריטאי) שיקולים של אפקט דרמטי. דמות המתמטיקאי המוצגת בשני הסרטים מטפחת באופן ניכר תפיסות מקובלות וסטריאוטיפיות (שלעתים, יש להודות, יש בהן גם גרעין של אמת – אך לא תמיד כך). במקרה של נאש מדובר באדם שאושפז בכפייה ובשלב מסוים כמעט הטביע את התינוק שלו, ואילו במקרה של טיורינג אנו פוגשים אדם שניתן להגדירו כשייך לספקטרום האוטיסטי. שני הסרטים תורמים ללא ספק להעמקתו של דימוי מקובל למדי המזהה בין כישרון מתמטי לבין סוג כלשהו של לקות חברתית. סרטים כאלה מעוררים תמיד שאלות של נאמנות הייצוג למקור. יש הרוטנים על כל פרט שבו סטה התסריטאי מן "הסיפור האמיתי", ויש מי שחושב שמכיוון שמדובר "בסך הכול בסרט די טוב", אין לסטיות האלה כל חשיבות ולא צריך להתרגש מהן.

שאלת הגבולות של החירות היצירתית המוקנית לכל יוצר (מחזאי, תסריטאי, סופר) ביחס לדמויות ולאירועים היסטוריים שעליהם הוא מבסס את הנרטיב שלו, ושאלת הקשר בין הדימוי הציבורי שהוא מטפח ביחס למושאי הסיפור שלו לבין "האמת ההיסטורית", אלה שאלות כלליות ומעניינות, שלא נוגעות – כמובן – רק לסיפורים העוסקים במתמטיקאים או במדענים בכלל. למשל, בזמן שהוצג באקרנים הסרט על טיורינג, יצא גם סרט אחר הקשור באירועים היסטוריים הרי משמעות - "סלמה". הדמויות המרכזיות שם הם מרטין לות'ר קינג והנשיא לינדון ב. ג'ונסון. בשל הרגישות הציבורית המתלווה לנושא, שאלות של חופש יצירתי מקבלות משמעות חריפה הרבה יותר במקרה של סרט כמו ״סלמה״; פוטציאל הנפיצות גבוה יותר מכיוון שמדובר בסרטים הוליוודיים שקובעים תודעה ציבורית באופן עמוק ונרחב יותר מכל ספר מלומד שנכתב על הנושא. אפשר לחשוב על סרטים נוספים מהסוג הזה, כמו "הפסיון של ישו" של מל גיבסון, או "הנפילה" על ימיו האחרונים של היטלר.

דווקא הנייטרליות התמטית היחסית של סרטים, מחזות או ספרים העוסקים במתמטיקאים (אקרא לכל אלה כאן "מתמטיקה מסופרת") מאפשרת, לדעתי, לחשוב על הסוגיות הללו במידה רצויה של ריחוק. הדבר המעניין הוא שבמקרה של המתמטיקאים, לא מדובר רק על הקשר בין שני קטבים (אמת היסטורית מול דימוי ציבורי שמקורו בסרט, במחזה או בספר) אלא במשולש, שהצלע השלישית שלו הוא המתמטיקה עצמה, כלומר התוכן הרעיוני של התיאוריות שבהן עסקו הדמויות. במאמר הזה אדון ביחסים המורכבים בין שלושת הקודקודים הללו, ותקוותי היא שהדיון יאיר, ולו באופן חלקי, את הסוגיות הכלליות יותר המתעוררות כאן.

דוגמה תחילה: Partition

ג. ה. הארדי

ג. ה. הארדי

כדרך להבהיר את הסוגיות שעל הפרק, אתחיל בדוגמה של מחזה מ-2003, שאינו מוכר מאוד במקומותינו, בשם "חלוקה" (Partition) מאת איירה האופטמן (Ira Hauptman). למחזה יש רקע היסטורי ומתמטי המעוגן במציאות, והמתח הדרמטי של העלילה נשען בנוחות על הבסיס המציאותי הזה. המחזה בוחן את מערכת היחסים בין המתמטיקאים ג. ה. הארדי (Hardy) וסריניוואסה רמנוג'אן (Ramanujan), אשר עבדו בסוג של שיתוף פעולה נדיר מאוד באוניברסיטת קיימברידג' בתחילת המאה העשרים. רמנוג'אן גדל בכפר קטן ומרוחק בהודו ומגיל צעיר החל לפתח רעיונות מתמטיים יוצאי דופן בעומקם ובמקוריותם. שמעו הגיע עד להארדי, מהבולטים שבמתמטיקאים בתקופתו, והוא דאג להביאו לאנגליה כדי ששם יוכלו לעבוד ביחד.

סריניוואסה רמנוג'אן

סריניוואסה רמנוג'אן

אף על פי שאהבתם העמוקה למתמטיקה בכלל ולתורת המספרים בפרט קשרה ביניהם בסוג של קשר עמוק ומיוחד, קשה להעלות בדעתנו שני אנשים שונים יותר משני אלה, מבחינת רקע תרבותי, אמונות דתיות, יחסם לבני אדם בכלל, ואף גישתם למתמטיקה. סגנונו המתמטי של רמאנוג'ן היה אסוציאטיבי ומלא השראה; הוא נסחף אחרי רעיונות גדולים והקדיש תשומת לב פחותה לפרטים הקטנים. מבחינת הארדי, לעומת זאת, מבלי לאבד את התמונה הגדולה, ההוכחה המתמטית הדקדקנית והדגש על כל פרט קטן היו מהות המתמטיקה, ולכן הוא ניסה – ללא הצלחה יתרה – להנחיל את התפיסה הזו לרמנוג'אן.

סגנונו המתמטי של רמאנוג'ן היה אסוציאטיבי ומלא השראה; הוא נסחף אחרי רעיונות גדולים והקדיש תשומת לב פחותה לפרטים הקטנים. מבחינת הארדי, ההוכחה המתמטית הדקדקנית והדגש על כל פרט קטן היו מהות המתמטיקה

לצד הארדי ורמנוג'אן יש במחזה שלוש דמויות נוספות: בילינגטון, מרצה בדיוני ללימודים קלאסיים מטריניטי קולג' וידידו של הארדי; האלה נאמגירי (שהייתה האלה שרמנוג'אן סגד לה בהודו במציאות); ופייר דה פרמה (Fermat). פרמה, כידוע, היה מתמטיקאי צרפתי בן המאה ה-17, אשר עסק אף הוא בתורת המספרים. הוא הוריש למסורת המתמטית מספר רב של חידות ובעיות לפתרון, שהמפורסמת מביניהן היא זו הנושאת את השם "המשפט האחרון של פרמה". התואר "אחרון" נצמד למשפט עם הזמן, מאחר שאיש לא הצליח להוכיח אותו לאורך כמעט 350 שנה. בעת שקרא ספר מאת המתמטיקאי היווני דיאופנטוס (Diophantus) עלה בדעתו של פרמה הרעיון הבא: אם ניקח חזקה שלמה n גדולה מ-2, הרי שלעולם לא נמצא שלושה מספרים שלמים x, y , z המקיימים את התבנית הבאה:

פרמה

 

הוא רשם את ההערה הזו בשולי הספר ואף הוסיף שיש לו הוכחה נהדרת לאמיתות הדבר, אלא שהשוליים צרים מלהכילה. מתמטיקאים רבים ניסו למצוא את ההוכחה לאורך הדורות, אך ללא הצלחה. רק ב-1995 הושלמה הוכחתו ע"י אנדרו ווילס (Wiles). ובכן, במחזה של האופטמן, נאמגירי מופיעה בלילה כדי להשפיע על היבטים יומיומיים שונים בחייו של רמנוג'אן. היא גם מספקת לו שוב ושוב רעיונות ותובנות מתמטיים. למעשה, היא ממש כותבת באצבעה כמה מהמשוואות המרתקות ביותר של רמנוג'אן על לשונו. נאמגירי גם נגלית בפני פרמה, ואף מייעצת לו על הדרך האפשרית להוכחת משפטו, שעדיין עמד אז כהשערה לא מוכחת. בשלב מסוים הוא מתוודה בפניה שהוא כבר לא זוכר את ההוכחה המקורית למשפט שלו (אגב: היום מקובל לחשוב שאין שום סיכוי שההוכחה שפרמה חשב אז שיש בידו הייתה אמנם נכונה). ואז, בהתבסס על רמז שנותנת לו נאמגירי, רמנוג'אן מציע להארדי דרך אפשרית להוכיח את המשפט האחרון של פרמה, ולצופה מתברר שמדובר בדרך הקרובה מאוד לזו שבה ינקוט אנדרו ויילס כמה עשורים מאוחר יותר.

סוגיית המתח שבין אמת היסטורית לחירות היצירה עולה כאן בצורה מעניינת בביקורת שכתב חוקר תורת המספרים המוביל מברקליי, קן ריבט (Ribet), בכתב העת Notices of the American Mathematical Society:

מתמטיקאים מקצועיים שצפו במחזה חשו אי-נוחות לאור התפקידים המרכזיים שניתנו לפרמה ולמשפט האחרון שלו, מכיוון שרמנוג'אן והארדי האמיתיים לא עסקו בבעיה הספציפית הזו. באופן אישי נדהמתי מהטענה האנכרוניסטית המרומזת, לפיה רמנוג'אן היה קרוב למצוא למשפט האחרון של פרמה הוכחה המתבססת על ייצוגי גלואה, על תבניות מודולריות, מערכות אוילר וחבורות סלמר.
כדי ליהנות מהמחזה, על הצופה להשתחרר מהזיהוי המרומז בין הארדי ורמנוג'אן ההיסטוריים לדמויות שעל הבמה. צופי תיאטרון שאינם מתקשים לצפות בדיון בין אלה הינדית למתמטיקאי בן המאה ה-17 יכולים להשלים עם עיוות היסטורי שמאפשר לקהל להתחבר לבעיה מתמטית ידועה. ברגע שהצלחתי להפריד בין הארדי ורמנוג'אן האמיתיים לבין בני-דמותם שעל הבמה, לא נותרו לי עוד דברים רעים לומר על המחזה.

המפתח לקבלת המחזה ע"י הצופה, אם כן, הוא בהפנמת מהותן של הדמויות שעל הבמה כנפרדות מהדמויות ההיסטוריות. זוהי הערה חשובה שאליה נחזור בהמשך. אבל חשוב בשלב הזה לשים לב לכך שהנוכחות הבימתית של אלה הינדית, המדברת (באנגלית) עם מתמטיקאי צרפתי מהמאה ה-17 על בעיה סתומה, ואז מעבירה (באנגלית) את הידע שנרכש לרמנוג'אן אינה מציבה בעיה מיוחדת בפני צופה כמו ריבט. קל לו להבין שמדובר כאן בדמויות בדיוניות. האנכרוניזם המתמטי-היסטורי שבעלילה, דהיינו, עיסוקם של השניים בבעיה שלא עסקו בה במציאות, קשה הרבה יותר לעיכול מבחינתו. אבל המבחן האולטימטיבי, שככל הנראה לא היה עובר את הרף של ריבט כצופה, היה אילו החירות היצירתית של האופטמן הייתה מובילה אותו לכלול במחזה לא רק אי-דיוקים היסטוריים, אלא גם כאלה שהם מתמטיים טהורים.

למשל, אילו הייתה נאמגירי רומזת שהדרך להוכחה תלויה בשיטה שלא מופיעה כלל בפתרון של ויילס, או שידוע לכול שמבחינה טכנית-מתמטית היא אינה יכולה להוביל בסופו של דבר לפתרון. או אילו נמאגירי הייתה מנסחת משפט מתמטי בדרך לא נכונה. כאן הייתה צריכה להיבחן באמת נכונותו של הקורא להתמסר לחירות היצירתית של המחזאי, ואני מרשה לעצמי לנחש שבמקרה היפותטי שכזה, ריבט, או כל מתמיטקאי אחר במקומו, לא היה מוכן להפריד בין הרעיון המתמטי שעל הבמה (ההצעה הלא נכונה של נאמגירי) לבין הרעיון המתמטי שבמציאות (איך מוכיחים באמת את המשפט). במקרה כזה איירה האופטמן היה מואשם בבורות מתמטית, והביקורת על המחזה הייתה קטלנית. ספק רב אם הסלחנות של המתמטיקאי ריבט לאנכרוניזם ההיסטורי משיקולים של חירות יצירתית הייתה מתרחבת בקלות עד כדי סלחנות דומה לאי-דיוק מתמטי, אפילו אילו הדבר היה משרת היטב את העלילה.

מתמטיקה, שירה וחירות היצירה

אפנה עתה לפרספקטיבה רחבה מעט יותר שבמסגרתה כדאי לקיים את הדיון. אפתח בציטוט מפורסם שהוא חיוני לדעתי לכל דיון על החירות הדרמטית ועל הקשר בין היסטוריה לבין נרטיב ספרותי:

"אין זה מתפקידו של המשורר לומר את מה שקרה, אלא את מה שעשוי לקרות, מה שאפשר שיקרה בהתאם להסתברות או להכרח. היסטוריון ומשורר אינם נבדלים זה מזה בניסוח דבריהם (בלשון שקולה או בלשון פרוזה), שהרי כתבי הרודוטוס, גם לו נוסחו בלשון שקולה, לא היה נגרע דבר מהיותם סוג של כתבי היסטוריה, במשקל או שלא במשקל. אבל הם נבדלים זה מזה בכך שההיסטוריון מספר על מה שקרה, ואילו המשורר על מה שעשוי לקרות. לכן אומנות השירה פילוסופית יותר ונעלה יותר מההיסטוריה. שכן השירה מספרת יותר על הכללי, ואילו ההיסטוריה על הפרטי. תחומו של הכללי הוא סוג הדברים שמישהו מסוים עשוי לומר או לעשות בהתאם להסתברות או להכרח. לכך מכוונת השירה בהענקת שמות לדמויות. הפרטי הוא מה שעשה אלקיביאדס או מה שעשו לו".1

אלה השורות הפותחות את הפרק התשיעי של "פואטיקה" של אריסטו. כשאריסטו כתב את השורות האלה הוא חשב ללא ספק על שאלות רחבות הרבה יותר מאלה המעסיקות אותנו כאן, אבל כוחן יפה גם לענייננו. הדגשתי בייחוד שני ביטויים מהפסקה הזו, כיוון שהם יהוו את הקו המרכזי לטיעון שלי: "מה שקרה", ו"מה שעשוי לקרות". בואו נראה, אם כן, איך אפשר להחיל את הרעיונות האלה לדיון על המשולש הכולל את המתמטיקה, ההיסטוריה של המתמטיקה, והמתמטיקה המסופרת.

בדומה לשירה, גם המתמטיקה עוסקת בכללי. בדומה לשירה, המתמטיקה מנסה לחשוף את התנהגותה של ישות אוניברסלית כזו או אחרת מעצם היותה מה שהיא. גם השירה וגם המתמטיקה מנסות להסביר מה ישויות אוניברסליות מגלמות

התובנה הראשונה שניתן לגזור מן הניתוח של אריסטו נוגעת דווקא לדמיון בין שירה לבין מתמטיקה. בדומה לשירה, גם המתמטיקה עוסקת בכללי. בדומה לשירה, המתמטיקה מנסה לחשוף את התנהגותה של ישות אוניברסלית כזו או אחרת מעצם היותה מה שהיא. גם השירה וגם המתמטיקה מנסות להסביר מה ישויות אוניברסליות מגלמות, או – כפי שכתב אריסטו – לומר מה "עשוי לקרות" לגביהן "בהתאם להסתברות או להכרח". להיסטוריה, לעומתן, יש משימה זוהרת פחות – לתאר מה קרה בפועל, ולא מה היה עשוי לקרות. רק הפרטים הספציפיים והפרטיקולריים כפי שהם אכן התרחשו מעניינים את ההיסטוריה, לא האפשרויות שלא מומשו. ובעוד שרעיונות אוניברסליים וסכימות פילוסופיות או הכללות סוציולוגיות עשויים להציע כיווני חקירה אפשריים עבור ההיסטוריון, הם אינם יכולים להוות תחליף לראיות ההיסטוריות שמחובתו המקצועית להציג כחלק מחקירתו.

מה ניתן לומר, בהקשר הזה על "מתמטיקה מסופרת"? מובן מאליו שהיא שייכת לתחום השירה, לפי הגדרתו של אריסטו, ולכן, כשבוחנים את השאלה מנקודת מבט של האוניברסלי מול הפרטיקולרי, היא עומדת בשורה אחת עם המתמטיקה, בעוד ששתיהן עומדות מול ההיסטוריה של המתמטיקה. אכן, כמו כל הפרוזה הנרטיבית, "מתמטיקה מסופרת" עשויה לכלול דמויות שכמותן התקיימו במציאות ומצבים היסטוריים אמיתיים כחלק מהעלילה; כבר ראינו זאת בדוגמה של המחזה "Partition". באופן אידיאלי, על פי תפיסתו של אריסטו, אלה מופיעים שם כארכיטיפים המייצגים אדם או מצב אוניברסלי. רק כאשר קן ריבט מבין את הנקודה הזאת, הוא מרגיש בנוח עם מה שקורה על הבמה. באותו האופן, "אלן טיורינג" של "משחק החיקוי" אינו אלן טיורינג ההיסטורי, אף על פי שנסיבות חייו קרובות לאלה המתוארות בסרט. ההיסטוריון יטען שאין לנו סימוכים היסטוריים לכך שאלן טיורינג האיש התנהג אי-פעם בדרך הכמו-אוטיסטית המיוחסת לו בסרט, אבל אם ננקוט בקו של אריסטו, אין כל סיבה שנתייחס להערה היסטורית שכזו בעת שאנחנו צופים בסרט. השאלה החשובה היא מה הסבירות או העניין הדרמטיים של הדמות.

ההיסטוריון יטען שאין לנו סימוכים היסטוריים לכך שאלן טיורינג האיש התנהג אי-פעם בדרך הכמו-אוטיסטית המיוחסת לו בסרט, אבל אם ננקוט בקו של אריסטו, אין כל סיבה שנתייחס להערה היסטורית שכזו בעת שאנחנו צופים בסרט

באופן כללי, ייתכן שבמאים וסופרים ינסו להישאר קרובים ככל האפשר למה שהם מחשיבים לאמת ההיסטורית (והמתמטית), אבל הז'אנר לא מחייב זאת. אבל ההבחנה האריסטוטלית הנ"ל גם מעמידה אותנו בפני מצב מוזר לכאורה. באופן אינטואיטיבי, טבעי יותר לקשר את שתי הפעילויות הנרטיביות (היסטוריה וספרות) זו לזו, במקום להציבן זו מול זו. וזה נראה מוזר אף יותר אם מביאים בחשבון שביסודה של הבחנתו של אריסטו מובלעת תפיסה קלאסית שראתה בהיסטוריה סוגה ספרותית (שנחשבה לנחותה למדי). תפיסה זו של ההיסטוריה כסיפור עלילתי נותרה מושרשת במשך מאות שנים לאחר מכן, והיא ניכרת אפילו בהיסטוריוגרפיה של המאה ה-19.

היסטוריונים פוזיטיביסטים כמו לאופולד פון רנקה (1795-1886; Ranke) – שהוביל את המאמץ להפיכת ההיסטוריה לדיסציפלינה המבוססות על עקרונות מדעיים של אובייקטיביות וראיות אמפיריות (Wissenschaft) – המשיכו לשים דגש על אופייה הסיפורי. ושוב במאה העשרים יש המדגישים את האופי הנרטיבי של ההיסטוריה ("מה שהיה יכול להיות") כסותר את יכולתה לעסוק בשאלות של אמת ("מה שהיה"). ואולם, המתמטיקה המסופרת וההיסטוריה של המתמטיקה יעמדו זו לצד זו אל מול המתמטיקה כאשר נבחר לבחון את הקשר המשולש דווקא מנקודת המבט של סוג השפה המופיעה בדרך כלל בטקסטים המייצגים את כל אחת משלוש הדיסציפלינות. השתיים הראשונות משתמשות בשפה דיסקורסיבית וטבעית, בעוד שהמתמטיקה מוצגת דרך שפה פורמלית.

האמת היא שבצורתם המקובלת, טקסטים מתמטיים לעולם אינם פורמליים לחלוטין. ברור שהם מכילים נוסחאות ואף טיעונים שלמים המוצגים אך ורק בסמלים. אך מלבד במקרים קיצוניים ביותר, חלקים משמעותיים מכל טקסט מתמטי ומכל טיעון מטמטי שמופיע במאמר או בספר מוצגים בשפה טבעית. לעומת זאת, הטקסטים האלה לעולם אינם דיסקורסיביים לחלוטין. הם תמיד מכילים, בלבם, טיעון פורמלי, פורמלי למחצה, או לכל הפחות, כזה שניתן לייצוג פורמלי. טקסטים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה ובמתמטיקה מסופרת, לעומת זאת, עשויים להכיל חלקים פורמליים, פורמליים למחצה, או ניתנים-להצגה-פורמלית, אבל תמיד יהיה להם בסיס דיסקורסיבי. טיעון או תיאור היסטורי, גם אם מושאו הוא מתמטי פרופר, יצטרך להיות מוצג בשפה דיסקורסיבית. הדבר נכון, כמובן, גם בנוגע למחזה או לסרט על נושא מתמטי. בספקטרום שהולך מפורמליות טהורה לדיסקורסיביות טהורה, אם כן, טקסטים מתמטיים יהיו קרובים יותר לקצה הפורמלי, בעוד שטקסטים היסטוריים וספרותיים על מתמטיקה יהיו קרובים יותר לקצה הדיסקורסיבי.

נקודת מבט שלישית לניתוח הקשר המשולש הזה היא בחינת הקהל שאליו פונים הטקסטים השונים. כאן ההיסטוריה של המתמטיקה יכולה לעמוד לצד המתמטיקה, מחד, או לצד המתמטיקה המסופרת מאידך, תלוי במקרה. היא עשויה לפנות לקהל רחב או לקהל ממוקד ומקצועי יותר. השיח המתמטי פונה בדרך כלל לקהל קוראים בעל התמחות מתמטית מובהקת, בעוד שמתמטיקה מסופרת פונה לרוב לקהל קוראים רחב יותר. בהיסטוריה של המתמטיקה, שני המצבים קיימים.

שלוש נקודות המבט שהצגתי מספקות לנו רמזים לבחינת הקשר המשולש. אבל, לדעתי, הגישה החשובה והיעילה ביותר לבחינת הקשר הזה היא ניתוח הגישות הבסיסיות הנדרשות מהקוראים של כל אחד מסוגי הטקסטים האלה. טענתי היא שהמתמטיקה המסופרת דורשת מהקוראים להשעות את הספק, בעוד שהמתמטיקה וההיסטוריה של המתמטיקה דורשות מהקוראים קריאה ביקורתית. זו נקודה חשובה לא רק למקרה של המתמטיקה, אבל במקרה של המתמטיקה ניתן לבחון אותה ביתר דיוק.

השעיית הספק

"השעיית הספק" היא נדבך יסודי שבלעדיו לא יכול להתקיים המעשה הפואטי או הספרותי. ללא נכונות בסיסית מצד הקורא לקבל באופן א-פריורי את כללי המשחק והמגבלות שמגדיר הסופר, אין כל אפשרות לקיים תקשורת פואטית. מן הקורא נדרשת הנכונות להישמע להיגיון שאימץ לו הכותב, לוותר על הדרישה לריאליזם קפדני וקוהרנטי, וללכת בעקבות הסופר לכל מקום שאליו הוא לוקח את העלילה והדמויות. הדבר נכון בה במידה לשירה, לנרטיב ספרותי, לתיאטרון, לקולנוע ולטלוויזיה. אבל הנדיבות הזו מצד הקורא מוענקת לסופר על תנאי, כנקודת פתיחה, ואין לקבלה כמובנת מאליה. מחובתו של הסופר להמשיך ולפתח את העלילה בצורה שתשמר את הנכונות הבסיסית של הקורא להשעיית הספק. המונח "השעיית הספק" (suspension of disbelief) והתפיסה המעמידה אותו בבסיס האמון הפואטי, נוסחו לראשונה באופן מפורש על-ידי המשורר האנגלי הרומנטי סמואל טיילור קולרידג' ב-1817. הוא אמר:

מתוך הרעיון הזה נולדה התוכנית ל'בלדות ליריות", שבמסגרתה הוסכם שעליי להפנות את מאמציי לאנשים ולדמויות על-טבעיים, או לכל הפחות רומנטיים, כדי לחלץ מתוך טבענו הפנימי עניין אנושי ומראית עין של אמת אשר יאפשרו לי לרכוש בעבור אותם צללים של הדמיון את הנכונות להשעיית הספק הרגעית, המייצרת אמון פואטי.

אבל על אף הצליל הרומנטי של הדברים הללו, מעניין לציין שדווקא למדע היה תפקיד משמעותי בעיצוב האופק האינטלקטואלי ותפיסותיו הבסיסיות של קולרידג'. מדובר במשורר המהווה המחשה מעניינת מאוד לאינטראקציה בין שירה למדע במעבר למאה ה-19. דוגמה בולטת לכך אפשר למצוא בשיר מ-1791 בשם "בעיה מתמטית", שבו עוסק קולרידג' בשאלה הנוגעת ישירות לקשר בין מתמטיקה לספרות, או במקרה הזה, בין מתמטיקה לשירה. ההקדמה לשיר היא מכתב שנשלח לאחיו, הכומר ג'ורג' קולרידג', שאותו אצטט כאן במלואו:

לעתים קרובות אני מופתע מכך שהמתמטיקה, תמצית האמת, רכשה לה מעריצים כה מעטים וכה לאים. דיונים תכופים וחקירות דקדקניות הצליחו סוף-סוף להבהיר את הסיבה לכך, דהיינו שהיא מסוגלת להזין את התבונה, אך היא מרעיבה את הדמיון; בעוד שהתבונה מתענגת [במתמטיקה] בגן העדן הראוי לה, הדמיון משוטט בעייפות במדבר צחיח. תפקידה של היצירה הנוכחית היא לסייע לתבונה על-ידי גירוי הדמיון. ייתכן שהביצוע יעורר התנגדות. ייתכן שיאשימו אותי בחירויות אמנותיות בלתי מוצדקות בנוגע למשקל החריזה ... אבל החירויות הללו תואמות את הדיוק של השיח המתמטי ואת הנועזות של פינדארוס.

קולרידג' חשב שבעזרת המוזות ובסיוע הדמיון יהיה אפשר להציל את המתמטיקה ממה שהוא ראה כבידודה וכלֵאוּתה. כל מי שמצוי בעשייה המתמטית מזווית כלשהי יתקשה לקבל את התיאור של קולרידג' לגביה.

אגדה אורבנית ידועה מספרת שכאשר דיוויד הילברט (Hilbert), מחשובי המתמטקאים בתחילת המאה ה-20, שמע שאחד מתלמידיו מתכוון לנטוש את עיסוקו במתמטיקה לטובת השירה, הוא אמר: "עדיף ככה. אין לו מספיק דמיון כדי להיות מתמטיקאי"

אגדה אורבנית ידועה מספרת שכאשר דיוויד הילברט (Hilbert), מחשובי המתמטקאים בתחילת המאה ה-20, שמע שאחד מתלמידיו מתכוון לנטוש את עיסוקו במתמטיקה לטובת השירה, הוא אמר: "עדיף ככה. אין לו מספיק דמיון כדי להיות מתמטיקאי". כך או כך, וגם בלי להסכים לדבריו של קולרידג', ניתן לראות איך הם שופכים אור על הקשר המשולש שבמוקד ענייננו כאן.

בואו ניזכר לרגע שגישתו הבסיסית של הקורא מול הטקסט היא מאפיין שמאחד בין המתמטיקה להיסטוריה של המתמטיקה, בדרישתן המשותפת לקריאה ביקורתית של הטקסטים. גישה זו מציבה את השתיים מול המתמטיקה המסופרת הדורשת את השעיית הספק. אכן, קיים הבדל יסודי באופן שבו אנו ניגשים לטקסט מדעי או היסטורי מחד גיסא, לבין האופן שבו אנו ניגשים לטקסט ספרותי או פואטי מאידך גיסא. החוזה הבסיסי בין המחבר לקורא במקרה הראשון הוא: "אל תאמינו למילה שאני אומר. בדקו בעצמכם והיו כמה שיותר ספקנים. זה המבחן שאני חייב לעבור". בטקסט מדעי, טעות טכנית או עובדתית היא בלתי קבילה. טעויות עובדתיות אינן קבילות גם בטקסטים היסטוריים, ובה בעת, אפשר להעביר ביקורת על כל פרשנות שההיסטוריון בוחר להציג. אך גישה זו כלל אינה מתאימה לקריאה בטקסט ספרותי או בשירה. כאן החוזה הבסיסי שונה מאוד. אומר הכותב לקורא:

הענק לי השעיה זמנית של הספק. אני אנחה אותך בבטחה לאורך הטקסט ואתה תיהנה מהמסע.

סטיות מהעובדות ההיסטוריות או המדעיות הן קבילות לחלוטין בטקסט נרטיבי; לעתים הן הופכות לכוח המניע אותו. לעתים, ביצירה ספרותית, יש לסטיות האלה השלכות מסוימות כשהן נובעות מטעות, והשלכות אחרות כשהן נובעות ממהלך מכוון של הסופר. אך בכל מקרה, הסטיות הן קבילות, שלא כמו בטקסטים מדעיים או היסטוריים.

אמנם אפשר לטעון שניתן לקרוא טקסט מדעי לשם ההנאה האסתטית, ויתרה מזו, הגיוני בהחלט שבקריאה ראשונה של טקסט מתמטי נהיה מוכנים להשעות את הספק ולקבל את טיעוניו של המחבר ממש עד לסיום הקריאה, כדי לראות לאן הוא מוביל אותנו וכיצד הוא עושה זאת, ואפילו כדי לחוות הנאה אסתטית. אבל זו רק אפשרות. הקריאה הביקורתית, לעומת זאת, הכרחית: לא קראנו טקסט מדעי או היסטורי קריאה אמיתית עד שלא קראנו אותו בעין ביקורתית. וההפך הוא הנכון בטקסט ספרותי. אפשר לקרוא אותו בעין ביקורתית, אם כי בדרך כלל לא נעשה זאת בקריאה הראשונה ובתחילת הדרך. ייתכן שנביא לקריאה את ארגז הכלים של מבקר הספרות, או של חוקר הסמיוטיקה, או של ההיסטוריון, אבל, שוב, אלה רק אפשרויות. החוויה הספרותית או הפואטית מוגדרת בראש ובראשונה בהקשר של הקריאה המושתתת על השעיית הספק.

וגם לגבי טקסטים העוסקים בהיסטוריה של המתמטיקה, כמו בטקסטים מתמטיים, ברור שהחוזה הבסיסי הוא חוזה של קריאה ביקורתית. אלא שבמקרה הזה, כמו בכל כתיבה היסטורית, יקפידו ההיסטוריונים בדרך כלל על סגנון יפה, קולח, ברור וקריא. בעיקרון, אף אחד לא רוצה להבריח את קוראיו, והטיעון שעיון בַאמת כשלעצמה צריך להיות סיבה מספקת כדי להחזיק את הקורא עד סוף הטקסט לא ממש מחזיק מים. לכן, על אף הקרבה בהיבט הזה, סגנון הוא מרכיב חשוב ביותר בכתיבה ההיסטורית, ואולי פחות מזה בכתיבה המתמטית (אף על פי שחשוב לציין שסוגיית הסגנון בכתיבה המתמטית היא סוגייה מעניינת הרבה יותר ממה שהקורא הרגיל יכול להעלות על הדעת). הבעיה האמיתית בכתיבה ההיסטורית מתעוררת כאשר שיקולים של סגנון ושל התחבבות על הקוראים הפוטנציאלים גוברים על הצורך בכתיבה שקולה ומשבשים את שיקול הדעת של המחבר. על כך ארצה להרחיב עכשיו.

דרמטיזציה של תולדות המתמטיקה

"הדרמה של האקסיומטיקה" הוא ביטוי נחמד וקולע שטבע הסופר והמתמטיקאי הצרפתי דני גדג'. הביטוי נועד לתאר את העובדה שכאשר נתונה תיאוריה מתמטית שמוגדרת דרך אקסיומות, משפטים שניתן להוכיח בתוך התורה הזו בעצם קיימים שם מראש, והדרך הספציפית שבה גוזרים את התוצאה מן האקסיומות כמוה כמהלך בלתי נמנע, כמו זו המאפיינת דרמה ספרותית (ועוד יותר מזה את הטרגדיה). אפשר לתהות לגבי הפרטים המדויקים של הדרך המובילה מהאקסיומות למשפט (כלומר, פרטי העלילה), אך אי אפשר להימנע מסיומו האפשרי היחיד של הסיפור. אבל בעוד שההשוואה לדרמה או לטרגדיה משמשת כמטפורה ששופכת אור על הבנת מעמדם של משפטים מתמטיים מול האקסיומות, ייחוס של אופי דרמטי מדי להיסטוריה של המתמטיקה גורם לעיוות בהבנת המציאות. ואכן, דרמטיזציית יתר של תולדות המתמטיקה מצויה בשפע בספרים שמטרתם פופולריזציה של המדע, כולל בטובים שבהם, ההופכים את מהלך ההיסטוריה של המתמטיקה לדרמה שסופה הבלתי-נמנע ידוע מראש. כדי להסביר את הנקודה הזאת ואת הבעייתיות הכרוכה בה, נחזור למשפט האחרון של פרמה.

דרמטיזציית יתר של תולדות המתמטיקה מצויה בשפע בספרים שמטרתם פופולריזציה של המדע, כולל בטובים שבהם, ההופכים את מהלך ההיסטוריה של המתמטיקה לדרמה שסופה הבלתי-נמנע ידוע מראש

ספרו של סיימון סינג על המשפט של פרמה הוא אחד המצליחים ביותר בז'אנר הזה בשנים האחרונות. אין להכחיש שסינג תרם תרומה של ממש להיכרות של קהלים רבים עם עיסוקם של המתמטיקאים, וגם לאופן שבו אותו ציבור רחב תופס את המתמטיקה בכלל. לשם כתיבת הספר היה עליו להשקיע מאמצים גדולים באיסוף ובעיבוד כמויות גדולות של חומר מתמטי רלוונטי, ולהציג אותו בצורה פחות או יותר מובנת לקהלים רחבים. זו ללא ספק משימה קשה וראויה לשבח, ובכדי להשלימה נעזר סינג במבנה דרמטי מרחיק לכת שיתמוך בנרטיב. המבנה הדרמטי נועד במיוחד לכך שימשיך לרתק את הקוראים לכל אורכו. אלא שכתופעת לוואי לגישה הזו אנו מוצאים מספר טעויות עובדתיות לגבי ההיסטוריה של המתמטיקה ומעבר לכך, וחשוב הרבה יותר, טעויות מהותיות יותר בנוגע למהותו ולדרך התפתחותו של הידע המתמטי.

הדרמטיזציה המופרזת ניכרת עוד לפני שמתחילים לקרוא את תוכן הספר, כיוון שהמוציאים לאור (לפחות במהדורות מסוימות) מבהירים שמדובר ב"מסע אֶפי לפתירת החידה המתמטית הגדולה בעולם". ההצהרה הזו זוכה לאישוש מצדו של סר רוג'ר פנרוז, מתמטיקאי דגול ורב פעלים. הוא מצוטט כך: "תיאור מצוין של אחד האירועים הדרמטיים והמרכזים ביותר של המאה". לא פחות מזה. על חלקה הפנימי של הכריכה במהדורה האנגלית כתוב גם:
"המשפט האחרון של פרמה הפך לגביע הקדוש של המתמטיקה. חיים שלמים וצבעוניים הוקדשו ואף הוקרבו כדי להוכיחו. לאונרד אוילר (Euler), המתמטיקאי הדגול ביותר של המאה ה-18, הודה בתבוסה. סופי ז'רמן (Germain) אימצה לה זהות של גבר כדי לבצע מחקר בתחום אסור לנשים, וביצעה את פריצת הדרך החשובה ביותר במאה ה-19. אווריסט גלואה (Galois) שרבט את תוצאות המחקר שלו עד לשעות הקטנות של הלילה לפני שיצא לדו-קרב ב-1832. יוטקה טניאמה (Taniyama), שתובנותיו יובילו בסופו של דבר לפתרון החידה, שלח יד בנפשו ב-1958. לעומת זאת, פאול וולפסקהל (Wolfskehl), תעשיין גרמני ידוע, טען שפרמה הציל אותו מהתאבדות והציע פרס גדול לאדם הראשון שיוכיח את המשפט".

חיים ש"הוקרבו" בניסיון לפתור חידה מתמטית סתומה – זה בהחלט סיפור ראוי לתשומת לב. אבל כשבוחנים זאת לעומק, מגלים שכל שורה בתיאור הזה הוא הפרזה דרמטית לכל הפחות, ואולי גרוע מזה. הדרמטיזציה הזו שולטת ברוב הספר. ההקדמה, למשל, נפתחת בפסקה הבאה:

משפט האחרון של פרמה קשור להיסטוריה של המתמטיקה קשר בל-יינתק, ונוגע בכל הנושאים המרכזיים של תורת המספרים... משפט פרמה נמצא בלבה של סאגה מרתקת של אומץ, תכסיסנות, ערמומיות וטרגדיה, סאגה הכוללת את כל הגיבורים הגדולים של המתמטיקה.2

גם כאן הדרמטיזציה וההגזמה מכתיבות את הטון, וכמעט כל קביעה איננה נכונה. לא רק שפרקים מעניינים רבים בתולדות המתמטיקה מגויסים לטובת הדרמה, גם כשהקשר שלהם למשפט האחרון של פרמה מזערי (המקרה של גלואה, למשל), אלא שהתפתחויות מתמטיות רבות, חשובות ומעניינות ביותר, שעמדו בלב הניסיון להוכיח את ההשערה של פרמה, נעדרות לחלוטין מהעלילה רק מפני שבשורה התחתונה הן לא הפכו לחלק מהצד המנצח. יתרה מזו, ישנה התעלמות שיטתית מהאינדיקציות הרבות לכך שלאורך ההיסטוריה כמה מגדולי תורת המספרים לא התעניינו בכלל בבעיה, או לכל היותר הקדישו לה מאמץ מועט. והיו כאלה שאפילו קבעו באופן מפורש ביותר שמדובר בקוריוז ולא בתצואה מתמטית בעלת חשיבות כלשהי בפני עצמה. בתוך הסיפור הרחב של המשפט האחרון של פרמה, הפרק העוסק בוויילס הוא ככל הנראה הקרוב ביותר לדרמה אישית אמיתית. עם זאת, הצד המנצח, לפי ספר זה, כולל את כל מי שהיה קשור גם בצורה משיקית בלבד להתפתחויות שהובילו להוכחה של ויילס (או שלא היה קשור בכלל, כמו גלואה). הדרמטיזציה הזו, שמגיעה לשיאה בהרצאה שויילס נשא בקיימברידג' ב-1993, ושבה הודיע בפני קהל מופתע של עמיתים שהוא עומד להציג את ההוכחה למשפט פרמה, מופיעה כבר בשורה הפותחת את הפרק הראשון. סינג כותב: "הייתה זו ההרצאה החשובה ביותר במתמטיקה במאה הנוכחית. מאתיים מתמטיקאים ישבו מרותקים. רק רבע מהם הבינו באופן מלא את אוסף הסמלים היווניים והנוסחאות האלגבריות שכיסה בצפיפות את הלוח".3

"רק רבע מהם"? בכל הרצאה רגילה במתמטיקה בדרך כלל מניין המבינים הוא נמוך מכך בהרבה, וככל שההרצאה מתקדמת נשארים פחות ופחות שבאמת מבינים. בדיחה ידועה בין מתמטיקאים מסבירה שבכל הרצאה שבה מישהו מציג תוצאה חדשה מספר המאזינים שאיכשהו מבינים במה מדובר הולך ופוחת עם כל שורה חדשה; לקראת הסוף יש אולי רק מאזין אחד שמבין מה קורה, ובסופה, אפילו הדובר כבר לא מבין את עצמו.

פרופסור אנדרו ויילס, שהוכיח את המשפט האחרון של פרמה.

פרופסור אנדרו ויילס, שהוכיח את המשפט האחרון של פרמה.

בשורה התחתונה, ספרו של סניג לא רק זונח את התמונה ההיסטורית המאוזנת לטובת ייצוג דרמטי של ניסיונות ההוכחה, אלא שהחשיבות האמיתית של ההישג המרשים של ויילס לא עוברת לקורא (ואולי אין שום דרך שהוא יעבור לקורא בספר מהסוג הזה, מכיוון שמדובר בהוכחה מורכבת באמת, הדורשת ידע נרחב בנושאים שלא רבים המתמטיקאים שמצויים בהם בעבודתם הרגילה). כאשר וויילס ניגש לעבודה שבה השקיע יותר משמונה שנים מחייו, היה כבר ברור שמשפט פרמה ינבע כתוצאה הכרחית אם תוכח השערה אחרת, המוכרת בשם "השערת טניאמה-שימורה" (Taniyanma-Shimura) על שם שני המתמטיקאים שניסחו אותה. רוב המתמטיקאים הקרובים לתחום חשבו שהוכחת ההשערה הזו היא משימה קשה עד מאוד ושאין טעם להשקיע בה זמן ומאמץ. ויילס, לעומת זאת, חשב שהמאמץ מוצדק גם בשל החשיבות של ההשערה עצמה וגם בשל התוספת המבורכת שתתקבל כערך מוסף, דהיינו הוכחת משפט פרמה.

סינג בכל זאת מזכיר בספרו כי "בעוד שעיתונאי המדע שיבחו את ויילס על שהוכיח את המשפט האחרון של פרמה, רק מעטים התייחסו להוכחת משפט טניאמה-שימורה" או ציינו שהיא "קשורה קשר בל-יינתק" למשפט האחרון של פרמה. סינג מציין גם שקן ריבט (שאותו כבר הזכרתי לעיל) הרגיש ש"הוכחת משפט טניאמה-שימורה שינתה את פני המתמטיקה". אבל כל זה מסתכם בתיאור קצר המופיע בשלב מאוחר מדי בספר, וחסרה הצהרה ברורה לגבי מערכת היחסים הנכונה בין טניאמה-שימורה למשפט האחרון של פרמה. לא קשה למצוא הצהרות כאלה, וסינג היה צריך רק לצטט אותן. הנה לדוגמה, דברים שאמר בארי מזור ב-1991, זמן לא רב לפני שהתוצאות של ויילס התפרסמו לראשונה:

"המשפט האחרון של פרמה תמיד היה אהוב על מתמטיקאים חובבים, ולאורך הזמן התברר שהם אוהבים אותו בצדק: למרות היעדר הפתרון, המשפט העניק השראה למספר רב של מתמטיקאים דגולים. אף על פי שלאמת המנוסחת בו אין אף לא יישום ישיר אחד, יש לה תרומה עקיפה ומעניינת לתורת המספרים; האמת הזו נובעת מכמה מההשערות החיוניות והמרכזיות ביותר בתחום. יש כמובן השערות נוספות, אך המשפט האחרון של פרמה מציב בפני ההשערות האלה 'מבחן' מעניין במיוחד".

לכן, לאחר קרוב ל-350 שנות היסטוריה, ורגע לפני האופוריה הגדולה שהתלוותה להישג הכביר של ויילס, סיכם מזור את מעמדו ההיסטורי של המשפט האחרון של פרמה בצורה תמציתית, שמייצגת נאמנה את חשיבותו העקיפה ללא הפרזות (אף על שאפילו הטענה שלפיה "מספר רב של מתמטיקאים דגולים" שאבו השראה מהמשפט היא טענה שניתן לחלוק עליה). החשיבות של משפט טניאמה-שימורה אינה נובעת מכך שאפשר להוכיח באמצעותו את המשפט האחרון של פרמה, אלא להיפך: המשפט האחרון של פרמה נראה לפתע חשוב יותר מאי פעם לתורת המספרים רק בגלל מה שהוא עושה למשפט טניאמה-שימורה (כלומר מספק לו השלכה המעצימה את חשיבותו היסודית). אבל הרי טענה כזו הייתה מבטלת את רוב האפקט הדרמטי בספרו של סינג.

הספר של סינג הוא דוגמה עדכנית למלכודות הטמונות בדרמטיזציה מופרזת של תולדות המתמטיקה. הדבר שחשוב לציין הוא שגם מדענים מאמצים להם את הדימוי הדרמטי של תולדות המדע, ושעד לאחרונה גם ההיסטוריוגרפיה המדעית האקדמית המקובלת נקטה גישה זו

הספר של סינג הוא דוגמה עדכנית למלכודות הטמונות בדרמטיזציה מופרזת של תולדות המתמטיקה. קל מדי להצדיק אותו בטענה שזה ספר פופולרי שעושה את שלו (ואת זה הוא באמת עושה), ושהדרמטיזציה משרתת את מטרת הספר – הצגת עולם המתמטיקה, על דמויותיו ורעיונותיו, בפני קהל רחב. בין שאתם מסכימים לטענה הזו בנוגע לספרו של סינג ובין שלא, הדבר שחשוב לציין הוא שגם מדענים מאמצים להם את הדימוי הדרמטי של תולדות המדע, ושעד לאחרונה גם ההיסטוריוגרפיה המדעית האקדמית המקובלת נקטה גישה זו. וזו נקודה חשובה מאוד בנוגע להבנתנו את המדע בכלל. אכן, כפי שציין יהודה אלקנה כבר לפני יותר מ-30 שנה, הגישה הדרמטית למהותו של המדע נבעה ממסורת שהשתרשה זה מכבר בתרבות המערבית, אשר מזהה "את הגורל בטרגדיה היוונית עם הסדר הטבעי", וכך רואה "התרחשויות ואירועים טבעיים כבלתי נמנעים". השקפה זו, טען אלקנה, הורחבה בהמשך כך שתכסה לא רק אירועים בטבע, אלא גם את הצטברות הידע האנושי לגבי העולם. הוא כתב:

"נולדה וצמחה לה תפיסה ... לפיה לא רק שיש מציאות אחת בעלת חוקים נצחיים, אלא שאנחנו בני האדם צועדים בדרך הבטוחה, לפחות באופן הדרגתי, לגילוי כל מה שאפשר על אודות המציאות: טבע אחד, אמת אחת על אודות הטבע. המדע, תהילתה המרכזית של התרבות המערבית מאז המהפכה המדעית, הינו התגלות מתמשכת ובלתי נמנעת של ידע; מה שאנו יודעים היה עלינו לדעת – אם לא כאן, אז שם; אם לא עכשיו, אז בפעם אחרת; אם לא בזכות אדם אחד, אז בזכות אחר".

אלקנה מפנה את תשומת הלב למקרה המעניין של אלפרד נורת' וייטהד (Whitehead), שזיהה מפורשות את רוחו של המדע המודרני עם הטרגדיה היוונית, וייחס לגורל תפקיד מרכזי בהתפתחות הידע שלנו לגבי הטבע. "העניין הרב שאנו מגלים במקרים הֶרואיים מסוימים ורואים בהם דוגמה ואישור לתפקיד שממלא הגורל" – אומר וייטהד – "נחשף מחדש בתקופתנו כריכוז של עניין בניסויים מכריעים". הניסוי המכריע שעליו חשב וייטהד, ושבעזרתו המחיש את תפיסותיו, היה מסע ליקוי החמה המפורסם של ארתור אדינגטון (Eddington) ב-1919; המסע נועד למדוד את הסטת קרני האור על-ידי שדה הכבידה של השמש, ועל-ידי כך לשמש ניסוי מכריע שיאשש את תיאוריית הכבידה החדשה של איינשטיין. וייטהד תיאר את ההכרזה של האסטרונום המלכותי בפגישה משותפת של החברה המלכותית של לונדון והחברה האסטרונומית המלכותית ב-6 בנובמבר 1919, והתיאור שלו מנוסח במונחים שמעצימים במופגן את האופי התיאטרלי של המחזה. הוא כתב:

העניין והמתח שמילאו את האוויר כאילו נלקחו מטרגדיה יוונית: אנחנו המקהלה השרה על אודות צו הגורל, המתגלה במהלך התרחשות בעלת חשיבות עליונה. גם להעמדה עצמה הייתה איכות דרמטית: כללי הטקס המסורתיים, וברקע תמונתו של ניוטון המזכירה לנו שההכללות המדעיות הגדולות ביותר יזכו כעת לתיקון, לראשונה מזה מאתיים שנה.

אין לזלזל בחשיבות ההיסטורית האדירה של האירוע הזה, אך יש גם מקום למנה הגונה של ספקנות שפויה. אפשר לתהות אם הנוכחים באמת חלקו עם וייטהד את התחושה הדרמטית שעליה דיווח שש שנים לאחר מכן. וגם אם כן, ייתכן שהסיבות הסובייקטיביות לתחושה הזו היו משמעותיות יותר מאשר הסיבות האובייקטיביות האפשריות. ראשית, הממצאים של אדינגטון לא ממש הוסתרו מהם עד שהאסטרונום המלכותי הופיע על הבמה כנביא, פתח מעטפה חתומה והכריז ש"המנצח הוא...". בנוסף, התוצאות לא היו חד משמעיות, והסתבר שהשפעתם האישית הרבה של אדינגטון והאסטרונום המלכותי, סר פרנק דייסון (Dyson), תרמה בצורה משמעותית להתקבלות המהירה והנרחבת של התוצאות כאישור לתיאוריה של איינשטיין. לדוגמה, הפיזיקאי הידוע ג. ג. תומסון, שנכח בפגישה, הודה במפורש כי אינו מסוגל לשפוט את התוצאות בלי בדיקות נוספות, והעיד על נכונותו לסמוך על שיקול דעתם של עמיתיו הבכירים. הוא אמר:

קשה לקהל לשקול את מלוא משמעותם של הנתונים שהוצגו בפנינו, אבל האסטרונום המלכותי ופרופסור אדינגטון בחנו את החומר בעיון, והם רואים בו ראיה ניצחת לערכה הרחב יותר של סטיית קרן האור.

תערובת מורכבת של נסיבות חברתיות, מוסדיות, פוליטיות ותרבותיות (כולן אנושיות ולגיטימיות לחלוטין) מהוות את הרקע לפרק המעניין הזה בתולדות המדע במאה ה-20. חשוב לא להתעלם מהן, כאשר אנחנו בוחנים את הסוגיות המדעיות הטהורות מרחיקות הלכת הקשורות באירוע החשוב הזה, אם ברצוננו להבין לאשורו את התהליך המהיר והסוחף שבו התקבלה התיאוריה החדשה של איינשטיין על בסיס התצפיות האסטרונומיות של 1919.
אפשר לשער אילו תרחישים עשויים היו להתממש אילולא התקבלו תוצאות הניסוי במהירות רבה כל כך (בהשפעתם של אדינגטון ודייסון, ומסיבות רבות אחרות שהובילו אותם בכיוון הזה), או אם התוצאות היו נוטות דווקא לכיוון התיאוריה של ניוטון. אלה אינם תרחישים דמיוניים, וכאמור, הם היו עשויים להתממש בנסיבות אחרות. חשוב לזכור, בהקשר זה, שברגע שמדידות המשלחת (שאישרו את התיאוריה של איינשטיין ובה בעת הפריכו את זו של ניוטון) התפרסמו בעיתונים בריטיים (ולאחר מכן גם בגרמניים), זכה איינשטיין לתהילת עולם מידית. הוא הפך לאייקון תרבותי שגילם במשך עשרות שנים את האידיאל של המדען כקדוש חילוני העובד בבדידות מוחלטת. אירועי 1919 השפיעו רבות על תולדות הפיזיקה במאה ה-20 ועל האופן שבו הציבורים רחבים התייחסו אל המדע בכלל. לכן עצם האפשרות שהיה עשוי להתקיים תרחיש היסטורי חלופי הוא מרתק. קו מחשבה זה מביא אותי להעלות נקודה שנייה, הקשורה לטיעוניו של אלקנה.

את הביקורת של אלקנה לגבי הקשר בין הדרמה היוונית לאופן הצגתה של ההיסטוריה של המדע אין לראות כמתקפה על האובייקטיביות של המדע. הביקורת שלו תומכת במודל חלופי להיסטוריוגרפיה של המדע, המבוסס על תפיסה תיאטרלית שונה – זו של "התיאטרון האֶפי"

את הביקורת של אלקנה לגבי הקשר בין הדרמה היוונית לאופן הצגתה של ההיסטוריה של המדע אין לראות כמתקפה על האובייקטיביות של המדע. הביקורת שלו תומכת במודל חלופי להיסטוריוגרפיה של המדע, המבוסס על תפיסה תיאטרלית שונה – זו של "התיאטרון האֶפי". המודל שאלקנה חושב עליו נשען על תפיסה שפיתחו ברטולט ברכט וולטר בנימין, והוא מנוגד לחלוטין לתפיסה הרואה במדע טרגדיה יוונית. מבחינת העלילה, גישת "המדע כתיאטרון אֶפי" אומרת ש"דברים יכולים לקרות כך, אבל הם יכולים גם לקרות בצורה אחרת לגמרי" (ולטר בנימין). לעומת זאת, גישת "המדע כטרגדיה יוונית" אומרת שאנו יודעים מה יקרה, ושהדרמה קיימת בדיוק מכיוון שאנו יודעים זאת; מבחינת דמויות, הגישה האפית אומרת שהרגשות, הרעיונות וההתנהגות של בני האדם נובעים ממצבים חברתיים ספציפיים, בעוד שגישת הטרגדיה היוונית אומרת שהם נובעים מתהליך התגלות בלתי נמנע של המהות האנושית; לבסוף, הגישה האפית עוסקת בהתנהגות שאנשים אימצו לעצמם במצבים היסטוריים מסוימים, בעוד שגישת הטרגדיה היוונית עוסקת באלמנטים אוניברסליים של המצב האנושי והגורל (מה שמזכיר לנו באופן ישיר את דבריו של אריסטו שהובאו לעיל).

אלקנה מגדיר את המודל הזה של תולדות המדע כ"בלתי דרמטי" ומאפיין אותו כך:

"התיאטרון האפי, בכדי להעביר את מסריו, נמנע במכוון מעובדות היסטוריות שהקהל מודע להן, כדי לא לאפשר לו לשקוע בהלך הרוח הטראגי שבו נתקף הצופה שיודע מה עתיד להתרחש. החיים הם בלתי צפויים, ואירועים יכולים להתרחש באינספור צורות, ולכן החיים אינם סנסציוניים. ומה שנכון לאירועים היסטוריים בלתי נמנעים, נכון גם למצבים פסיכולוגיים בלתי נמנעים, וגם מהם יש להימנע. בקיצור, התיאטרון האפי מציג גישה משוחררת, בלתי סנסציונית ומהורהרת לגבי אירועים בלתי צפויים. אנסח זאת כך: השאלה ההיסטורית אינה 'אילו תנאים הכרחיים נדרשו להתרחשותו של אירוע מסוים?', אלא 'מה היו התנאים ההכרחיים לאופן שבו התרחשו הדברים, על אף שהם היו עשויים להתרחש אחרת?'".

המקרה של אדינגטון וליקוי החמה מספק לנו דוגמה נפלאה לדברים שהתרחשו בצורה מסוימת, אבל היו עשויים להתרחש בצורה שונה לחלוטין. אני חושב שאפשר לומר (גם אם אסתכן בהכללה רחבה מדי) שחלק גדול מהמחקר המעניין בנושא ההיסטוריה של המדע במהלך 25 השנה האחרונות קרוב הרבה יותר לגישת "התיאטרון האפי" מאשר לגישת "הטרגדיה היוונית". יהיה מעניין לראות כיצד תשפיע ההתפתחות החשובה הזו על הנרטיב הספרותי של המדע (והמתמטיקה בפרט) ועל הספרות הפופולרית בנושאים אלה.

האם המתמטיקה המסופרת מסוגלת להשפיע על המציאות המתמטית?

בדיונים על הקשר בין הקורא לבין הטקסט תמיד כדאי להיות קשובים לרעיונות המחכימים של אומברטו אקו. קריאה בטקסטים בדיוניים ממלאה, לשיטתו, תפקיד חשוב מאוד בהווייתנו, מכיוון שטקסטים כאלה מחלצים אותנו מצרות האופקים המטפיזית המאפיינת את נקודת המבט שלנו, ומציעים במקומה אשליה של סדר בעולם שאת מבנהו הכללי איננו מסוגלים לתפוס ולתאר. מכיוון שאנו יודעים שעולמות בדיוניים נוצרים על-ידי "ישות מחברת", אנו יודעים שטמון בהם "מסר". עצם הביטחון בקיומו של מסר הוא הדבר שמאפשר לנו מלכתחילה לפענח אותו, או לכל הפחות לחשוב שאנו מפענחים אותו. זה מסביר מדוע אנו מרגישים בנוח בעולמות בדיוניים. העולם האמיתי, לעומתם, לא מציע לנו ביטחון כזה. "מאז ראשית הזמן – כותב אקו – תוהים בני האדם אם יש מסר, ואם כן, האם אפשר להבינו". כסיכום לדיון הנוכחי שלנו, אנחנו יכולים לשאול את עצמנו האם הטיעון של אקו תקף למתמטיקה שבמציאות ולזו שבנרטיב. אנו יודעים שגם כשנרטיבים ספרותיים (וכאן אני כולל מחזות וסרטי קולנוע) עוסקים בנושאים מתמטיים, הם נוצרים על-ידי "ישות מחברת". אבל מה לגבי המתמטיקה עצמה? מה אנחנו יכולים לומר על "העולם האמיתי" שעל בסיסו בונים מחברי המתמטיקה המסופרת את העולמות הבדיוניים שלהם? אפשר לשאול מלכתחילה אם "העולם האמיתי" הזה אכן אמיתי, או שמא גם הוא בדיוני. אפשר לשאול אם אכן קיימת "ישות מחברת" שאחראית ל"עולם האמיתי" של המתמטיקה. אך אי אפשר להכחיש שהנחמה שמלווה את חוויותינו בעולמות בדיוניים, לפי אקו, נוכחת בצורה יוצאת דופן גם במפגשינו עם המתמטיקה.

זאת נקודה רגישה, מכיוון שרוב בני התרבות מתקשים להשתלט על עולם המתמטיקה מבחינה טכנית, ואפילו מתייחסים בעוינות לעצם קיומה. אבל עבור כל מי שמסוגל להשתלט על הצדדים הטכניים של המתמטיקה (ואפילו ליהנות מהם – קשה להאמין) הרי שעולם הרעיונות הזה מהווה את הדוגמה הטובה ביותר לעולם בדיוני (או דמוי-בדיוני) שבו הוודאות של המסר הבסיסי מורגשת היטב, ההתקדמות בלתי פוסקת, וכל צעד תורם לחידוד המסר.
עוד תופעה אינטר-טקסטואלית מרתקת שאליה מפנה אקו את הזרקור, היא הנדידה של דמויות מיצירה בדיונית אחת למשנתה או אפילו אל תוך המציאות.

במצבים מהסוג הזה, אומר אקו, הדמויות "מקבלות אזרחות בעולם האמיתי ומשחררות את עצמן מהסיפור שברא אותן". הדגומאות האהובות על אקו בהקשר הזה הן כיפה אדומה, שרלוק הולמס, יוליסס או ד'ארטנין, אשר הפכו "אמיתיים בדמיון הקולקטיבי משום שלאורך מאות בשנים השקענו בהם השקעה רגשית". כשחושבים על המתמטיקה במונחים אלה, מתגלה הסבר מקורי למדי לגישה האפלטונית היסודית שטבועה במוחו של המתמטיקאי הטיפוסי. יהיו נטיותיהם הפילוסופיות אשר יהיו, מתמטיקאים טיפוסיים מתייחסים לאובייקטים שהם חוקרים כחלק ממציאות חיצונית שאפשר להכיר בצורה אובייקטיבית. בהמשך לתזה של אקו, אפשר לראות ישויות מתמטיות (כגון חבורות, פונקציות, מרחבים טופולוגיים, אלגוריתמים וכו') כישויות בדיוניות שנוצרות במסגרת טקסט מסוים ומתחילות לנדוד לעוד ועוד טקסטים חדשים עד שהן נמצאות בכל מקום וזוכות למעמד אוטונומי כישויות "אמיתיות". נראה שפועל כאן מנגנון הדומה למנגנון שחל על דמויות ספרותיות שמשתחררות בשלב כלשהו מהטקסטים שבהם הופיעו לראשונה.

לבסוף, אם הספרות מרתקת אותנו כל כך, שואל אקו, האם לא ייתכן "שאנו מפרשים את החיים כבדיון, ושבתהליך פירוש המציאות אנו משלבים בה אלמנטים בדיוניים?" אין צורך להרחיב כאן ולספר כיצד מאז המאה ה-17 המדע מפרש עבורנו את המציאות בעזרת רעיונות מתמטיים, ובהקשר זה, לפחות, אפשר לראות את הרעיונות המתמטיים האלה כישויות בדיוניות. אבל הדוגמה הספציפית שאקו מציג מובילה אותנו דווקא בכיוון אחר. אקו מראה בפירוט כיצד "הפרוטוקולים של זקני ציון" נולדו מתוך מקורות בדיוניים לחלוטין, וכיצד עצם קיומו של הטקסט נתפס על-ידי קוראיו בסוף המאה ה-19 כאישור למסר שהוא מעביר. ההתפתחויות ההיסטוריות האמיתיות הקשורות בהפצת הטקסט הזה ובהשפעותיו ידועות למדי. זו דוגמה בולטת מאוד לספרות שחודרת לחיים האמיתיים ומייצרת השלכות היסטוריות אדירות. האם אפשר לדמיין מצב דומה בתחום המתמטיקה? קשה להעלות על הדעת דוגמאות רבות מהסוג הזה, אבל ישנה לפחות אחת שממנה אי אפשר להתעלם: אנדרו ויילס והמשפט האחרון של פרמה.

העניין הרב של אנדרו ויילס במשפט האחרון של פרמה החל ככל הנראה בילדותו, כשקרא את "The Last Problem" מאת אריק טמפל בל (1962). ספר זה, כמו גם "גדולי המתמטיקה" (1937) – ספרו האחר, האגדי, של בל – מהווים דוגמאות מצוינות ליצירות העוסקות בתולדות המתמטיקה וכתובות באותו סגנון דרמטי מופרז שהזכרתי לעיל; אפשר לתארם כסדרה של אגדות חסרות בסיס עובדתי ממשי על אודות גיבורים מתמטיים. הגישה הזו, שהיסטוריונים רציניים אוהבים לשנוא, ריתקה – ועודה מרתקת – קוראים צעירים רבים. חלק מהקוראים הצעירים האלה הפכו להיות חוקרי מתמטיקה, וכך קרה גם עם אנדרו ויילס. לוּ היה הילד הקטן בעל החוש המתמטי קורא תיאור מתון ובלתי מסעיר מהסוג ששיבחתי לעיל – על כל המעלות ההיסטוריוגרפיות והמחקריות שאני מוצא בו – לא סביר שהמשפט האחרון של פרמה היה מסעיר כך את דמיונו. בתחילת הקריירה המתמטית שלו ויילס לא עסק באופן רציני במחקר שקשור למשפט האחרון של פרמה, והתבלט בתחומים האחרים שחקר. אבל ב-1986, כשהתפתחויות מסוימות רמזו כי הוכחת אפשרית למשפט האחרון של פרמה הפכה למשימה מתמטית שיהיה אפשר להתמודד איתה על-ידי הוכחה של השערה אחרת, מאתגרת להפליא אך מוגדרת היטב, הוא החליט לשוב לאהבתו הישנה ולהתמסר לה. רק המוטיבציה הישירה והטעונה-רגשית שלו להוכיח את המשפט האחרון של פרמה נתנה לוויילס די מרץ לצאת למסע הקשה שהוכתר בסופו של דבר כהצלחה סנסציונית שמונה שנים לאחר מכן. אם כך, התיאור של בל, שהיה בדיוני במהותו (למרות שכן היה קשור לאירועים היסטוריים אמיתיים, ומבחינתו אף היה "היסטוריה" במיטבה), השפיע על המתמטיקה בעולם האמיתי וחולל בה שינוי משמעותי בעזרת ויילס.

ובכל זאת, אני רוצה לטעון כי הדרך האולטימטיבית שבה תוכל הספרות להשפיע על המתמטיקה בעולם האמיתי תהיה רומן העוסק בסוגיות מתמטיות, שבמסגרתו יעלה רעיון מתמטי כלשהו, כמו דרך מסוימת לפתור בעיה ידועה, אשר יוביל בסופו של דבר לפתרון הבעיה בעולם האמיתי. איני מכיר שום דוגמה כזו מההיסטוריה, וקשה לי להאמין שהיא יכולה להתרחש. כנראה שגם במובן זה, המנגנונים שמפקחים על הקשר בין "מציאות" ל"פרוזה נרטיבית" הם שונים בכל הקשור למתמטיקה.

מאמר זה התפרסם באלכסון ב


תגובות פייסבוק

2 תגובות על בתפקיד המשנה: המתמטיקה

01
קובי

נהדר. אני רק תוהה האם האנקדוטה על ויילס הילד, שזרע העיסוק בפרמה הושרש בו אפרופו קריאת הסיפור של בל, אינו בעצמו נרטיב דרמטי בעל מפוקפקות היסטורית.
לגבי המשפט המסכם, אני לא משוכנע ש"הדרך האולטימטיבית" שבה עשויה הספרות להשפיע על המתמטיקה היא באמצעות "רעיון מתמטי" (קצת גס וישיר מדי) אלא אולי ברעיון תמטי. וכך נוכל אולי לשרטט קו מיצירה העוסקת בגבולות, דטרמיניזם וסחרור פרדוקסלי כמו "אלף לילה ולילה" ישירות אל משפט אי השלמות של גדל.

02
יוס ואחיו

נו, ומה עם מסקנות? אולי המוח האנושי מחפש אחר המופלא, והופך כל סיפור, עם קצת ריחוק ודרמה, לסוג של מיתוס מקומי?

המדע אומר לנו שיש סיבה לכל דבר, ועל כן יש סיבות לאופן הזה שבו אנחנו מעדיפים לתאר את האירועים של העבר - כי הם זכירים יותר כך... וכמובן מרתקים.

כך שיש הגיון בתיאור הזה, שאין לו קשר לחירות פואטית (גם היא אגב נגזרת של מסירת מידע), אלא לאבולוציה האנושית, ולמדע עצמו.

כי יש רק דבר אחד אמיתי בעולם, והוא המדע. אבל הפילוזופיה לא תכיר בכך לעולם.