מזל בהזמנה

דברים בלתי סבירים מתחוללים כל הזמן: מזכיות גדולות בלוטו ועד אסונות כמו טביעת הטיטניק. אבל איך נוכל לחולל אותם לפי רצוננו?
X זמן קריאה משוער: 10 דקות

סטטיסטיקאים אומרים לנו שהסיכוי לזכות בלוטו קטן להפליא – בלוטו הבריטי, לדוגמה, הסיכוי של כל כרטיס הוא בערך אחד ל-14 מיליון. זאת בערך אותה הסתברות שהטלת מטבע תסתיים 24 פעם ברצף ב"עץ", והיא נמוכה הרבה יותר מההסתברות שמטאוריט יהרוג אתכם. אף-על-פי-כן, מדי שבוע אנשים זוכים בלוטו ומספקים לעיתונים שטף בלתי פוסק של חומר לכתבות צבע. מה קורה פה? איך ייתכן שאירוע בעל סיכוי מזערי כל כך  מתרחש שוב ושוב?

ההסבר, כמובן, פשוט. הסיכוי שהכרטיס שלכם יזכה הוא אכן קטן. אבל אינכם היחידים שמשתתפים בהגרלה. למעשה, אנשים רבים קונים כרטיס לוטו מדי שבוע, ולפעמים יותר מכרטיס אחד, כך שהרבה מאוד כרטיסים נרכשים. ואמנם לכל כרטיס לבדו יש סיכוי קטן ביתר לזכות, אבל אם נצרף את כל הסיכויים המזעריים האלה יחד נקבל תוצאה גבוהה. בהנחה שמספיק אנשים קונים כרטיסי לוטו מדי שבוע, תמיד יהיה צפוי שמישהו יזכה.

ההבחנה הזאת – בין הסיכוי שאני אזכה בלוטו לבין הסיכוי שאדם כלשהו יזכה, יהיה מי שיהיה – היא ביטוי לחוק המספרים הגדולים באמת. אם מספיק אנשים קונים כרטיסי לוטו, ההסתברות שמישהו יזכה גדלה באופן משמעותי. למעשה היא גדלה עד כדי כך שמישהו זוכה כמעט מדי שבוע.

החוק הזה הוא חלק מהעיקרון שכיניתי בשם "עיקרון האי-סבירות", שלפיו מאורעות בלתי סבירים הם למעשה נפוצים למדי, על אף סיכויי התרחשותם הנמוכים. על פי עיקרון זה,  עלינו להניח כי יתרחשו בפועל אירועים שניתן להגדיר כבלתי סבירים בעליל – כמו זכייה של מישהו בלוטו. עיקרון האי-סבירות כולל חמישה מרכיבים, וחוק המספרים הגדולים באמת הוא רק אחד מהם.

שינויים קלים עשויים להפוך אירועים בלתי סבירים בעליל לאירועים כמעט ודאיים

הרשו לי להציג לפניכם את שותפיו – לא לפשע, אלא ל... טוב, אתם כבר תראו.

קוביות משחק

קוביות משחק מסוגים שונים. תצלום: ג'יימס באו

"חוק ההכרחי" קובע שאיזושהי תוצאה חייבת להתרחש – אחד מ-14 מיליון טורי הניחושים, הכוללים כל אחד 6 ספרות מתוך 49 אפשריות, ייבחר בהכרח כשכדורי הלוטו יוגרלו. כלומר, אם תקנו את כל השילובים האפשריים, הרי לבטח יהיה ברשותכם כרטיס זוכה. זה נשמע מובן מאליו, ובכל זאת יש מי שמצא איך לעשות כסף מהחוק הזה.

"חוק הברירה" קובע, ביסודו, שניבוי הוא קשה, אבל ניבוי בדיעבד הוא קל. קל להביט לאחור ולזהות את השרשרת הסיבתית שהובילה באופן בלתי נמנע לאסון. לא קל כל כך לבחור בין ריבוי של שרשראות אפשריות המובילות אל העתיד.

"חוק הקרוב-מספיק" קובע שאפשר להגדיל משמעותית את הסיכויים להתרחשותו של צירוף מקרים אם מרחיבים את ההגדרה של צירוף מקרים. יכול להיות שתופתעו לפגוש חבר ותיק בעיר זרה, אבל אולי תופתעו כמעט באותה מידה לפגוש חבר של חבר, אף על פי שיש הרבה יותר "חברים של חברים" מאשר "חברים".

לבסוף הגענו ל"חוק מנוף ההסתברות", שעל פיו שינויים קלים עשויים להפוך אירועים בלתי סבירים בעליל לאירועים כמעט ודאיים. כך מתרחשים משברים כלכליים, כך מתקבלות תוצאות חיוביות בניסויים של תפישה על-חושית, כך קורה שאנשים נפגעים שוב ושוב מברקים, וכו'.

קחו לדוגמה את מקרה הטיטניק. אוניית הדגל של חברת "וייט סטאר ליין" נבנתה עם שכבה כפולה של פלדה, כדי להקטין משמעותית את הסיכוי לחדירת מים ולהצפה. יתרה מזאת, האונייה חולקה לשישה עשר מדורים שהופרדו על-ידי מחיצות בעלות דלתות חסינות מים המופעלות בשליטה מרחוק. כדי שהאנייה תטבע היו צריכים מספר מדורים להתמלא מים במקביל. ההסתברות שמדור אחד יוצף הייתה קטנה מאוד, וההסתברות שמספר מדורים יוצפו הייתה, לבטח, קטנה הרבה יותר.

מסיבות אלה הניחו רבים שאין שום סיכוי שהאונייה תטבע. על פניו, הטיעון הזה נראה משכנע: הרי לפי אותו רעיון, ההסתברות שתזכו בלוטו היא מזערית, ואילו ההסתברות שתזכו בלוטו יותר מפעם אחת מזערית הרבה יותר. אם תקנו כרטיס אחד ללוטו הבריטי, הסיכויים שלכם לזכות הם בערך אחד ל-14 מיליון. אם תקנו שני כרטיסים שבוע אחר שבוע, הסיכוי שלכם לזכות בשתי ההגרלות הוא בערך 1 ל-2×1014, או פחות או יותר אותו סיכוי כמו להטיל מטבע ולקבל "עץ" 48 פעמים ברצף. במילים אחרות, אל תטפחו תקוות.

אף-על-פי-כן שקעה הטיטניק. למה? קודם כול, אין שום בעיה בחישובי זכייה בלוטו. אם תזכו בלוטו בשבוע נתון בסיכוי של 1 ל-14 מיליון לכרטיס, הסיכוי שלכם לזכות בשבוע הבא יהיה זהה. סטטיסטיקאים יאמרו ששני האירועים האלה "בלתי תלויים", כלומר מספרי הלוטו אינם זוכרים מי זכה בעבר: התוצאה של הגרלה נתונה אינה משפיעה על התוצאה של ההגרלה הבאה. מכאן שההסתברות שתזכו בלוטו בשני השבועות היא למעשה שתי הסתברויות שונות שהוכפלו זו בזו: אותו סיכוי של 1 ל-2×1014.

טיטניק, בלפסט

ה"טיטניק" יוצאת מבלפסט למבחנים בים, אפריל 1912. תצלום: רוברט ג'ון וולץ', ויקיפדיה

אבל העיקרון הזה אינו חל על מקרה הטיטניק. אם מדור אחד ניזוק ומוצף, איך זה משפיע על ההסתברות שהמדור הסמוך לו יינזק גם הוא? ברור שהתשובה תלויה בטיב הנזק שנגרם. בהפלגת הבכורה שלה שטה הטיטניק במים מלאים בקרחונים. בהנחה שאחד הקרחונים פוגע בצדה של הספינה וחודר את שכבת הפלדה הכפולה, האם אין סיכוי טוב שהוא יפגע גם במדורים הסמוכים?

במקרים רבים אחרים לא ברור כל כך אילו הנחות אינן נכונות – ואפילו טעויות קלות בלבד בהנחות היסוד שלנו עלולות להוביל להשלכות כבירות

קרחונים עשויים להיות גדולים מאוד – ובייחוד החלק שלהם המסתתר מתחת לפני המים – והספינה הייתה עתידה לשייט ביניהם. משמעות הדבר היא ששני האירועים – נזק לאחד המדורים ונזק למדור נוסף – אינם בלתי תלויים. וזה, כמובן, בדיוק מה שקרה. הקרחון לא חדר למדור אחד בלבד וזהו. הוא חתך את צדה של הספינה במספר נקודות וגרם להצפתם של שישה מדורים.

אנו מגלים כאן שאופן החשיבה המתאים למקרה של הטיטניק שונה מאופן החשיבה המתאים למקרה של הלוטו. עלינו לערוך התאמות במודל שלנו ולא להיאחז בהנחה הנוקשה שהאירועים המדוברים (הצפה של מדורים שונים) הם בלתי תלויים. התוצאה היא שמקרה שנראה לבעלי הספינה ולנוסעיה בלתי סביר בעליל, הופך לסביר ביותר.

בחרתי בדוגמה של הטיטניק כי היא ברורה ופשוטה: קל לנו להבין למה ההנחה שאין קשר בין שני אירועים אינה מוצדקת במקרה הזה. אבל במקרים רבים אחרים לא ברור כל כך אילו הנחות אינן נכונות – ואפילו טעויות קלות בלבד בהנחות היסוד שלנו עלולות להוביל להשלכות כבירות, בייחוד כשלתמונה נכנסים נדבכים נוספים של עיקרון האי-סבירות, כמו חוק המספרים הגדולים באמת. אנו חיים בעולם מורכב, ולעתים תכופות רכיביה השונים של מערכת נתונה מסובכים ברשת של קשרים הדדיים שקשה להפריד ביניהם. כשמנסים לרדת לעומקו של מקרה, מקובל להניח, כצעד ראשון, שהאירועים המדוברים אינם תלויים זה בזה. אבל ההנחה הזאת עלולה להוביל לטעויות חישוב גדולות. הסוציולוגי צ'רלס פֶּרוֹאוּ (Perrow) מאוניברסיטת ייל פיתח תיאוריה שלמה שאותה הוא מכנה "תאונות נורמליות", ולפיה עלינו להניח תמיד כי במערכות מורכבות יש אינטראקציות מורכבות שאינן גלויות לנו. וזוהי מחשבה מפחידה.

חשוב לציין ש"מנוף ההסתברות" אינו מוביל להשלכות שליליות בלבד. ראו לדוגמה את המקרה של ג'ואן גינתר (Ginther), טקסנית בשנות השישים לחייה שהרוויחה כעשרים מיליון דולר בארבע זכיות שונות בלוטו: 5.4 מיליון דולר ב-1993 (בכרטיס שאביה קנה, ולא היא עצמה); 2 מיליון דולר ב-2006; 3 מיליון דולר ב-2008; ו-10 מיליון דולר ב-2010. הזכייה הראשונה הייתה בהגרלה הסטנדרטית שבה בוחרים שישה מספרים, אבל שלוש הזכיות האחרות היו בכרטיסי גירוד.

כל אחד מהחוקים המרכיבים את עיקרון האי-סבירות עשוי להגדיל את הסיכויים לזכות בלוטו – וכפועל יוצא את הסיכויים לזכות יותר מפעם אחת. קנייה של יותר מכרטיס אחד, למשל, עשויה "להפעיל" את חוק המספרים הגדולים באמת. לפי הדיווחים, גינתר קנתה כשלושת אלפים כרטיסי גירוד מדי שנה, כלומר היא הוציאה עליהם בסך הכול בסביבות מיליון דולר. מספר גדול של כרטיסים – פירושו סיכוי גדול לזכות. אבל אין בכך כדי להסביר ארבע זכיות שונות, ולכן עלינו לפנות למנוף ההסתברות.

סוג ההגרלה הנפוץ ביותר בעולם הלוטו ידוע בשם הגרלת r/s, שנקראת כך כי כל כרטיס כולל r מספרים הנבחרים מרשימה של s אפשרויות. אלה הגרלות פשוטות ומובנות לכול. הגרלות של כרטיסי גירוד, לעומת זאת, הן מורכבות יותר – והמורכבוּת הזאת מאפשרת למנוף להיכנס לתמונה.

נניח שמפיקי ההגרלות בטקסס שלחו את כל שלושה מיליון כרטיסי הגירוד בבת אחת. משמעות הדבר שכל הכרטיסים הזוכים עשויים להירכש במהירות, ולכן לא יהיה למשתתפים תמריץ לקנות את הכרטיסים הנותרים. מובן שתרחיש זה ירושש את מפיקי ההגרלות. לכן במקום לפזר את כספי הפרס באקראי בין הכרטיסים תוך כדי ההדפסה וההפצה, המפיקים מנסים להבטיח חלוקה שווה יחסית.

למעשה, שלושה מיליון הכרטיסים מופצים בשש "פעימות" של חצי מיליון כרטיסים כל אחת, וכל פעימה כוללת שישית מכספי הפרס. הפעימה השנייה מופצת רק לאחר שרוב הכרטיסים מהפעימה הראשונה נרכשו, וזאת כדי לעודד את הציבור להמשיך לרכוש כרטיסים. ניתוח של נתונים מההגרלה בטקסס מלמד שהאלגוריתם שומר לפחות חלק מהפרסים הגדולים לפעימות המאוחרות, במטרה לשמר את העניין בהגרלה. אם זה אכן המצב, משמעות הדבר היא שההסתברות לזכייה באחד הפרסים הגדולים אינה שווה בכל כרטיס שתקנו, וכך נוצרת פרצה שמנוף ההסתברות יכול לנצל.

כרטיסי גירוד, הגרלה

כרטיסי גירוד לקראת חג המולד, קנדה. תצלום: מורגן

הזמן שבו ימכרו הכרטיסים הנושאים את הפרסים הגדולים ימכרו הוא רק חצי מהעניין. כדי להגדיל את יעילותנו עלינו לדעת גם איפה הם ימכרו, כדי שנוכל לקנות את הכרטיסים במקומות הנכונים. גינתר קנתה שלושה מהכרטיסים הזוכים שלה בעיירה קטנה בשם בישופּ בטקסס, שם נולדה, לא רחוק מהגבול עם מקסיקו. אף על פי שהיא עברה ללאס וגאס, היא חזרה מדי פעם לבישופ וקנתה כמות גדולה של כרטיסים בבת אחת: כאילו היא פיצחה את אלגוריתם הניתוב שחברת ההפצה השתמשה בו בחלוקת הכרטיסים (מן הראוי לציין שלגינתר יש דוקטורט במתמטיקה מאוניברסיטת סטנפורד, ושבמשך שנים אחדות היא עבדה כמרצה בקולג' בקליפורניה).

סיפורה של ג'ואן גינתר מציג לפנינו את אחת מהדרכים שבה מנוף ההסתברויות מסוגל לפרוץ את ביצוריו הבלתי-חדירים, כביכול, של המקרה. אבל זאת אינה הדרך היחידה. למען האמת, גם בחלק מהגרלות ה-r/s הסטנדרטיות יש מבנים סמויים שיכולים לשמש כנקודות ציר למנוף ההסתברות.

ברור לכול שמטרתן של הגרלות לוטו היא להניב רווחים עבור האנשים או הארגונים שמפיקים אותן. לכן המנגנון הבסיסי שלהן מחזיר למשתתפים רק חלק מסוים מתוך סך כול הכסף ששולם עבור הכרטיסים. כלומר, הרווח הצפוי למשתתף קבוע בלוטו הוא פחות מדולר אחד על כל דולר שהוא משקיע. בממוצע, השחקנים אמורים לצפות להפסיד כסף. ובכל זאת הגרלות לוטו נערכות שבוע אחר שבוע, ואם איש אינו זוכה בקופה בשבוע נתון, לרוב היא "עוברת" לשבוע הבא. אם תקנו כרטיסי לוטו רק אם הצטברה קופה יפה (לאחר שבשבועות הקודמים לא היו זוכים), תוכלו להגדיל את סכום הזכייה הצפוי ליותר מדולר אחד על כל דולר שהשקעתם: כלומר תוכלו לצפות, בממוצע, להרוויח כסף.

כל זה טוב ויפה, אבל הסכום שאתם צפויים להרוויח בטווח הארוך אם תמשיכו להשתתף באופן קבוע, והסיכוי שתזכו בטווח הקצר, הם שני דברים שונים לגמרי. יהיה זה בלתי מציאותי לנקוט גישה המתבססת על צפי של אלפי שנים. מה עוד אפשר לעשות?

אפשר ללכת בדרכן של מספר קבוצות במסצ'וסטס. הגרלת Cash WinFall במסצ'וסטס הייתה הגרלה של 6/46, כלומר בכל כרטיס נדרשו המשתתפים לבחור שישה מספרים בין 1 ל-46, וההגרלות נערכו פעמיים בשבוע. הסכום הראשוני בקופה היה חצי מיליון דולר, אבל היו גם פרסים נוספים של 4,000 דולר, 150 דולר וחמישה דולרים, על ניחוש נכון של חמישה מספרים, ארבעה ושלושה, בהתאמה. כפי שאמרתי, רוב הגרלות הלוטו מצרפות את הקופות שאף אחד לא זכה בהן לכספי הזכייה בהגרלה הבאה. אבל בהגרלה במסצ'וסטס הוחלט שאם איש לא זכה בקופה והסכום בה עולה על שני מיליון דולר, כספי הפרס יחולקו בין הפרסים המשניים: כלומר אי-זכייה בפרס הגדול הגדילה את סכומי הכסף של הפרסים הקטנים.

קבוצות משתתפים אחדות הבינו שאם כספי הזכייה המחולקים בין הפרסים המשניים יעלו על סכום מסוים, אז הסכום שהן יהיו צפויות לזכות בו מהפרסים המשניים המצטברים, יעלה על הסכום שהן יצטרכו לשלם תמורת כרטיסים. כך קרה שמספר קבוצות קנו כרטיסים רק כשהתנאים היו לטובתן והרוויחו סכומי כסף גדולים. למען האמת, הן הרוויחו כל כך הרבה שהגרלת Cash Winfall נסגרה בתחילת 2012.

זאת הבעיה במנוף ההסתברות: לפעמים הוא מסוגל להזיז יבשות, ולפעמים הוא נשבר לנו ביד. ולפי חוק הברירה, כאשר המנוף נשבר, קשה למצוא מנוף חדש. זכרו שעיקרון האי-סבירות בסך הכול אומר לנו שאירועים בלתי סבירים הם בעצם נפוצים למדי. האם נוכל לחולל אותם לפי רצוננו? טוב, זה כבר עניין אחר לחלוטין.

 

אם הגעת עד לכאן....

...יש לנו בקשה קטנה. קוראים רבים נהנים מהתכנים האיכותיים ש'אלכסון' מציע ללא כל תמורה. כחלק מתפיסת עולמנו החלטנו לוותר על הכנסה מפרסומות וממקורות אחרים כדי לא להפריע את חווית הקריאה. הפקת כתב העת ברמה כזאת כרוכה בהשקעה רבה של עבודה וכסף: עריכה, תרגום ורכישת זכויות פרסום בחו'ל. אם הערכים והרעיונות ש'אלכסון' מקדם קרובים לליבך ואם יש בך הערכה לעבודתנו אנו מבקשים את תמיכתך כדי להבטיח את הקיימות ארוכת הטווח של כתב העת.

לתמוך באלכסון

דייוויד האנד (Hand) הוא פרופסור אמריטוס למתמטיקה באימפריאל קולג' בלונדון, ויועץ מדעי ראשי לחברת Winton Capital Management. ספרו האחרון הוא The Improbability Principle (משנת 2014).

AEON Magazine. Published on Alaxon by special permission. For more articles by AEON, follow us on Twitter.

תורגם במיוחד לאלכסון על ידי תומר בן אהרון

תמונה ראשית: כוס זכוכית על קצה שולחן. תצלום: Jan Stromme, אימג'בנק / גטי ישראל

מאמר זה התפרסם באלכסון ב על־ידי דייוויד האנד, AEON.


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

6 תגובות על מזל בהזמנה

01
איתמר

מרתק!
חשבתי שאני לא כל כך אוהב מתמטיקה, אך המאמר הזה הפתיע אותי לטובה. הלוואי והיו מלמדים בצורה מעניינת שכזו שיעורי מתמטיקה בבית הספר...

02
ארז רז

אם תקנו כרטיס אחד ללוטו הבריטי, הסיכויים שלכם לזכות הם בערך אחד ל-14 מיליון. אם תקנו שני כרטיסים שבוע אחר שבוע, הסיכוי שלכם לזכות בשתי ההגרלות הוא בערך 1 ל-10 בחזקת 28 -> סיכוי קטן בהרבה מזה שמצוין בכתבה.

03
יובל

"אם תקנו כרטיסי לוטו רק אם הצטברה קופה יפה (לאחר שבשבועות הקודמים לא היו זוכים), תוכלו להגדיל את סכום הזכייה הצפוי ליותר מדולר אחד על כל דולר שהשקעתם: כלומר תוכלו לצפות, בממוצע, להרוויח כסף."
אבל כשמצטברת קופה יפה גם הרבה יותר אנשים קונים כרטיסים כך שבסבירות גבוהה הפרסים יתחלקו בין יותר אנשים, לא?

04
ד.

כתבה שגויה במידה כזו שאתה תוהה אם הכותב באמת לא יודע מה שהוא אומר או שיש לו כוונה להטעות ולשדל אנשים לקנות כרטיסי הגרלה שיגרמו להם הפסד.

קורא/ת יקר/ה: הדרך העיקרית להרוויח בהגרלת לוטו היא לארגן אותה.
הדרך המשנית להרוויח בהגרלת לוטו היא לעבוד עבור מארגן ההגרלה.
מספר האנשים הקונים בעקשנות כרטיסי לוטו מעיד על כך שחוסר הבנת המציאות הוא תהליך המגביר את עצמו: מי שאינו מבין את המציאות גם אינו מבין שאינו מבין ולכן הוא צועד לכל מלכודת בשירה וריקודים.

    05
    מיה דו

    משונה שככה ראית. אני קראתי את אותה כתבה וראיתי בדיוק שהיאאומרת מי מרוויח ומי לא, ולמה זה ממש לא רעיון טוב לקנות לוטו, אם מבינים מה מסתתר מאחורי זה. בכלל, נראה לי שהגרלות זה לא יותר ממס על העניים בחברה, לא?

06
קובי

נראה לי שהגרלות זה לא יותר ממס על העניים בחברה, לא?
האמת היא שלא. עדיין כמו שהוסבר היטב בכתבה, ארועים בלתי סבירים קורים באופן תדיר. ולכן למרות שהסיכוי הוא קטן ביותר הוא עדיין קיים. ולכן השאלה היחידה היא האם אתה.את מוכנה להשקיע וכמה בלקנות תקווה ? אני מידי פעם מוכן להשקיע סכום מסוים בחלום, גם אם הוא דמיוני.