מי מפחד מהאינסוף?

ייתכן ולעולם לא נוכל לתפוש לחלוטין את גודלו של האינסוף, אך הניסיון לעקוב אחר התפתחות המושג לאורך השנים יכול לפחות ללמד אותנו עד כמה הוא עצום ועד כמה איננו מבינים אותו
X זמן קריאה משוער: רבע שעה

"השמים פתוחים, הארץ גדולה והדרך אינסופית" – ציטוט מופשט זה מלפני כ-2,500 שנה הוא אחד האיזכורים הקדומים ביותר למושג האינסוף, ואולי המקום הנכון ביותר לצאת ממנו לדרכנו. מקורו של הציטוט בספר חוכמה סיני ששמו "ספר הטאו" או "ספר הדרך", הנחשב לחיבור הראשון והחשוב ביותר בפילוסופיית הטאויאיזם – אחת משלוש הדתות המרכזיות בסין. לפי המסורת הסינית, אבי התורה הטאואיסטית היה לאו דזה (Lao-Tzei), שעבד כספרן בספריה הקיסרית של ממלכת צ'ו והיה החכם מבין כל יועציו של הקיסר. מסופר שלאחר שהקיסר צ'ו בחר בקונפוציוס להיות המחוקק הראשי של האומה, פרש לאו דזה ויצא מערבה אל עבר הרי ההימלאיה של טיבט. כאשר הגיע לגבולות הממלכה, זיהה אותו שומר הגבול והפציר בו להשאיר דבר מחוכמתו לפני שהוא עוזב. לאו דזה, שלא הכביר במילים, נעתר לבקשה ובמשך שלושה חודשים כתב 81 שירים המרכיבים את תורתו, שירים שלימים יהפכו להיות "ספר הטאו". חוכמת הטאו מתארת באופן מופשט ביותר את הקיום כולו ואת הצורה הנכונה לזרום בו – הטאו הוא המנחה את כל המתרחש, הדבר האינסופי שלא ניתן לתארו במילים. לאו דזה כתב את אשר היה לו לומר ונעלם, מותיר אחריו מילים שממשיכי דרכו יתארו כאצבע המורה אל עבר הירח מבלי לנסות לתארו ממש. מסעו של לאו דזה מתחיל את מסע החיפוש בעקבות האינסוף, מסע אשר נמשך כבר אלפי שנים בדרכים שונות, ונראה שהשלכותיו נמצאות בכל אשר נפנה.

אך דרכו המפותלת של האינסוף לא המשיכה באופן כה מופשט וסובלני כפי שהחלה. בניסיון לתאר את האינסוף במערב, תחליף החשיבה הלוגית הדיכוטומית את הפילוסופיה המזרחית המאחדת. כאשר יבינו הפילוסופים היוונים שמולם עומד מושג שלא ניתן לנתחו בעזרת הסכינים שברשותם, יקבל האינסוף מעמד של דבר מטיל אימה הנמצא מעבר לחשיבה הלוגית – מעמד השמור לאל בלבד. יעברו 2000 שנה עד שמתמטיקאים יחלו לעסוק בנושא, אך גם הם יזהרו מלפגוע בקדושתו ויתמקדו בנושאים ספציפיים בלבד. רק במאה ה-19 גאורג קנטור, מתמטיקאי מבריק ואמיץ, יעז ללכת נגד כל הקהילה המתמטית ויצלול אל תוך האינסוף. קנטור ישלם מחיר אישי עצום בכדי לשחרר את האינסוף לחופשי, אך הקרבתו תעשיר את עולמנו בפרץ מופלא של מספרים ומחשבות שלא ניתן לדמיין את עולמנו בלעדיהם. בכדי להבין באמת אפילו חלק מהפלא שיצר קנטור, צריך לחזור ליוון העתיקה, היכן שנכנס האינסוף לתרדמתו הארוכה.

כה רבה השפעתו של אריסטו אשר אסר על דיון באינסוף הממשי, שיעברו כ-2,000 שנה וישולם מחיר נורא בכדי לקרוא עליו תגר. הרתיעה של אריסטו מלדון בנושא מלמדת כמה הרעיון קשה לתפישה

מסעו של האינסוף במערב מתחיל כ-500 שנה לפני הספירה, מעט לאחר ימיו של לאו דזה, כאשר זנון מאליאה דן בבעיות לוגיות העולות מהנושא. זנון תאר בפרדוקס המפורסם שלו תחרות ריצה בין אכילס, המהיר באדם, לצב האיטי שמתחיל את המרוץ כמה צעדים לפניו. זנון טען שברור שבכדי שאכילס יעקוף את הצב, עליו לעבור במקצת את המרחק המפריד ביניהם. אך בכל פעם שאכילס יעבור את המרחק בינו לבין הצב, ויהיה הזמן הדרוש לכך קטן ככל שיהיה, ייתקדם הצב מעט וישאר מלפניו. תהליך זה יחזור על עצמו, כאשר בכל פעם אכילס יתקרב יותר אל הצב, אך לעולם לא יעקוף אותו – וכך במחזוריות אינסופית. בעוד שברור לנו שאכילס יעקוף את הצב בקלות, קשה ליישב את הקושי העולה מכך שעליו לעבור אינסוף פעמים את המרחק המפריד ביניהם.

הדיון בסוגיות האינסוף המשיך להתפתח ביוון העתיקה עד לתקופתו של אריסטו. בספרו "פיסיקה" הוא מסביר שהפיסיקה היא מדע הטבע, והטבע מוגדר כעקרון השינוי, אשר הינו אינסופי. אריסטו, בניסיונו להגן על הדעת האנושית ואיתה על קדושת האלים, חילק את האינסוף לשני סוגים, אשר להם קרא "אינסוף פוטנציאלי" ו-"אינסוף בפועל". האינסוף הפוטנציאלי, לפי אריסטו, הוא זה אשר ניתן לדבר רק על השאיפה אליו, כלומר הוא מתאר דבר אשר יכול להמשיך ללא גבול – כמו אדם המתחיל לספור את המספרים (1,2,3,4…) – אך עליו להסתפק בשאיפה אל האינסוף מבלי שיגיע אליו לעולם. לעומתו עומד האינסוף הממשי, אשר מתאר דבר שהוא כבר בגודל אינסופי, כמו לומר קבוצת כל המספרים השלמים – כלומר איננו רק שואפים אל האינסוף אלא כבר הגענו אליו. לכאורה, ההבדלים הינם זניחים, אך לפעולה שאריסטו ביצע לאחר מכן היו השלכות דרמטיות, שכן הוא קבע כי אין קיום לאינסוף בפועל, ואף אסור לדון בו, כיוון שרעיון זה יהיה גדול יותר מן האל עצמו. במעשה זה למעשה הכניס אריסטו לראשונה את הדת לדיון על האינסוף והיטה את כיוון המחשבות שבאו אחריו בעזרת כובד משקלו ההיסטורי.

כה רבה השפעתו של אריסטו אשר אסר על דיון באינסוף הממשי, שיעברו כ-2,000 שנה וישולם מחיר נורא בכדי לקרוא עליו תגר. הרתיעה של אריסטו מלדון בנושא מלמדת כמה הרעיון קשה לתפישה, ואולי אף מסבירה מדוע גם בחלוף מאות שנים התיאולוגיה הנוצרית עדיין תגרוס שעצם המחשבה על הרעיון הינה קריאת תגר על אינסופיותו של האל וחטא מוסרי.

אירופה מתעוררת

מורשתו של אריסטו מלווה אותנו עד היום, אך במאה ה-16 החלו להופיע סדקים באיסור הרעיוני על הדיון באינסוף בפועל. היה זה גלילאו גליליי ששם לב לפרדוקס מעניין: אם נסתכל על כל המספרים הטבעיים (4,3,2,1…), ומנגד נבחן את סדרת הריבועים – סדרת המספרים אשר להם שורש שלם (16,9,4,1, …), נקבל שתי סדרות אינסופיות בגודלן. ניתן לראות שהסדרה הראשונה של כל המספרים הטבעיים מכילה בתוכה את הסדרה השנייה של המספרים שלהם שורש שלם, אך כוללת גם המון מספרים שאינם מופיעים בה (לרוב המוחלט של המספרים אין שורש שלם – לדוגמה ,5,62,3 וכו'). כלומר, אנו מרגישים שהסדרה הראשונה גדולה הרבה יותר, ומיד בהמשך מגיעה המחשבה שהיא אינסופית יותר. גם גלילאו הרגיש שסדרה אחת היא אינסופית יותר מהשנייה, אך הטרידה אותו המחשבה שניתן לייצר התאמה בין כל מספר בסדרת הטבעיים למספר בסדרת המספרים אשר להם שורש שלם. פשוט נעלה כל מספר מהסדרה הראשונה בריבוע (נכפיל אותו בעצמו) ומיד נקבל מספר מהסדרה השנייה.

אם סדרת המספרים הטבעיים היא אכן אינסופית, אז ניתן להמשיך את ההתאמה בין הסדרות באופן אינסופי, ולכן גם סדרת המספרים הריבועיים היא אינסופית באותה מידה. לא רק ששתיהן אינסופיות, העובדה שיש התאמה כזו ביניהן מערערת את המחשבה שאחת יותר אינסופית מהשנייה. לבסוף סיכם את מסקנתו על האינסוף:

"עד כמה שיכול אני לראות, ניתן רק לומר שקבוצת המספרים הטבעיים הינה אינסופית, וכן קבוצת המספרים הריבועיים הינה אינסופית. לא ניתן לומר שמספר הריבועיים קטן מסך הטבעיים, ולא ניתן לומר שסך הטבעיים גדול מסך הריבועיים. ובכלל, התכונות של "שווה", "גדול", ו"קטן", אינן מתאימות לאינסוף, ושמורות לדברים סופיים".

גלילאו נזהר גם הוא מהאינסוף ולא המשיך לחקור את הנושא, אך למעשה פרץ את האיסור כשניסה לבדוק מהן התכונות שמאפיינות את אותו אינסוף שאין לדבר עליו.

״יחסיות״ מאת מאוריץ קורנליס אשר. באדיבות: ויליאם קרומר

״יחסיות״ מאת מאוריץ קורנליס אשר. באדיבות: ויליאם קרומר

מעט מאוחר יותר באמסטרדם עסק הפילוסוף ברוך שפינוזה גם הוא באינסוף המוחלט. שפינוזה התנגד לתפיסת האל החיצוני לקיום, כפי שתיארו אותו היהדות והנצרות – האל אשר נמצא מחוץ לקיום האנושי ושולט בכל הנעשה בו, אך אינו חלק ממנו. שפינוזה הציג את האל במובן של הקיום הכולל האינסופי, זה אשר כולל את כל הקיום כולו. כלומר האלוהים של שפינוזה הוא הטבע והיקום כולו, הוא אינו נפרד מאתנו בני האדם ומכל דבר אשר אנו עושים ויוצרים, אלא אינסופי במובן שאין דבר אשר אינו חלק ממנו – בדמיון מסוים לגישה הטאואיסטית. בספרו "אתיקה" הוא מתאר: "מלבד האל, שום חומר אינו יכול להינתן או להיווצר. הכל, אומר אני, הוא באל, וכל דבר אשר נוצר, נוצר על ידי חוקי האינסוף של האל ובהכרח נובע מנחיצות קיומו". שפינוזה ידע שרעיונות אלה יביאו להתנגדות דתית עזה והוא אכן שילם מחיר כבד. הוא הוחרם בצורה חריפה וקיצונית מהחברה היהודית והנוצרית גם יחד, הואשם בכפירה ובאתאיזם, וחי את חייו כמעט בבידוד.

האלכסון של קנטור

המתמטיקאי גאורג קנטור

המתמטיקאי גאורג קנטור

גאורג קנטור נולד ברוסיה בשנת 1845 לעולם שכבר הכיר את שפינוזה ואת הסימון המפורסם לאינסוף ∞, שהומצא על ידי ג'ון ואליס (1616- 1703), וכן את החשבון האינפיניטסימלי של ענקי המתמטיקה אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם פון לייבניץ. ובכל זאת, נושא האינסוף עדיין היה טאבו, והשפעתו האדירה של אריסטו עדיין הטילה צל על כל מי שהעז לעסוק בנושא. משפחתו של קנטור עברה לגרמניה כשהיה צעיר, והוא החל להפגין כישורים יוצאי דופן בנגינה בכינור, במתמטיקה בכלל ובטריגונומטריה. בגיל 22 השלים קנטור את הדוקטורט שלו בתורת המספרים בהנחייתו של לאופולד קרונקר, שלמרבה הצער יהפוך ממורהו לאויבו המושבע ביותר. "החטא" של קנטור יהיה מחשבה הנוגדת את קדושת האינסוף, כאשר יחל לדבר על אינסוף בפועל. אך המעשה שיאחד את כל הקהילה המדעית כנגדו יהיה שקאנטור יצליח להוכיח, לאחר 2000 שנות שתיקה, שלא רק שניתן להגדיר ולדבר על אינסוף בפועל, ניתן אף להשוות בין סוגים של אינסוף ולסווגם לגדלים שונים. בכדי לעשות זאת הוכיח קנטור שקיים סוג חדש של אינסוף, שהוא כה גדול, עד שאפילו לא ניתן להתחיל לסדר אותו.

מאחר שאנחנו רגילים לחשוב על מספרים שלמים בסדר עולה, אנחנו יכולים לפחות לדמיין כיצד נראה חלק מהאינסוף של גלילאו. אך את האינסוף של קנטור אנחנו אפילו לא יכולים לדמיין, ולו חלק אחד ממנו, שכן מעולם לא נתקלנו במשהו שלא ניתן לספור אותו

בעוד שגלילאו ניסה להשוות בין שתי סדרות אינסופיות אשר האיברים בהן סודרו בסדר עולה, קנטור מביא סוג חדש של אינסוף, כזה שלא ניתן לספור אותו – הוא אינו בר מנייה. מאחר שאנחנו רגילים לחשוב על מספרים שלמים בסדר עולה, אנחנו יכולים לפחות לדמיין כיצד נראה חלק מהאינסוף של גלילאו. אך את האינסוף של קנטור אנחנו אפילו לא יכולים לדמיין, ולו חלק אחד ממנו, שכן מעולם לא נתקלנו במשהו שלא ניתן לספור אותו או לסדר אותו בשום סדר. בכל צורה שבה נבחר לסדר את איברי האינסוף החדש הזה נגלה מיד כי טעינו וכי השמטנו אינסוף מספרים נוספים. הסופר חורחה לואיס בורחס, שעסק רבות בנושא האינסוף ובתורתו של קנטור, מתאר בסיפורו "ספר החול" ספר אינסופי המכיל את כל הדפים שיכולים להיכתב אי פעם. בכל פעם שמנסים לאחוז בדפו האחרון (או הראשון) נתפסים בידינו דפים נוספים כך שלעולם לא נגיע לסופו. אך אף מוזר מכך, בין כל שני דפים קרובים שנצליח לאחוז בהם יהיו אינסוף דפים נוספים. אמנם תכונה זו של ספר החול אינה ייחודית לאינסוף שאינו בר מנייה, אך היא עוזרת להמחיש עד כמה גדול (ומוזר) הרעיון.

קבוצת המספרים שעליה מדבר קנטור היא המספרים הממשיים; זוהי קבוצת כל המספרים שאנו יכולים לדמיין על הישר הממשי, או במילים אחרות  – כל הנקודות שאפשר לסמן על קו המספרים המוכר לנו. מספרים אלה כוללים גם את קבוצת הטבעיים והריבועיים שדיבר עליהם גלילאו, אך גם שברים ומספרים לא רציונליים (π, e, ורבים אחרים). אחת התכונות של המספרים הלא רציונליים היא שבהצגה עשרונית אורך הספרות לאחר הנקודה הינו אינסופי. קנטור הוכיח שמספיק לבחון את כמות המספרים הממשיים בקטע הקטן שבין המספר 0 ל-1 בכדי לקבל אינסוף מסוג חדש, שהוא כה עצום עד שהוא מגמד את אינסוף המספרים הטבעיים אשר נמצאים בין 0 ועד ∞. כמו בספר החול, בין כל שתי נקודות שנסמן על קו המספרים, ואין זה משנה כמה הן קרובות, מתחבא אינסוף יותר גדול מכל אינסוף המספרים הטבעיים.

ההוכחה, שזכתה לכינוי "האלכסון של קנטור", הינה כה חדה, פשוטה ואלגנטית, שהיא מצליחה לפרוץ גם את ההתנגדות החזקה ביותר לרעיון. אין זה משנה אם ההתנגדות היא דתית, מתמטית או פילוסופית, נצחונו של קנטור זכור עד היום כאחד מההישגים הגדולים ביותר של החשיבה הלוגית. קסמה של ההוכחה אולי טמון בכך שניתן להסבירה לכל מי שמעוניין להבינה ומוכן להקדיש מספר דקות של ריכוז בעבור רעיון חדש ומופלא. קנטור מוכיח זאת בדרך השלילה – הוא מניח שכן ניתן לסדר את המספרים בסדר כלשהו, ואז מראה שכל סידור שנבחר אינו מחזיק מעמד:

נניח וכן היינו יכולים לסדר את המספרים הממשים שבין 0 ל-1 ברשימה. היינו מקבלים רשימה אינסופית של מספרים, שכל אחד מורכב מאינסוף ספרות. כלומר הייתה מתקבלת מעין טבלה בגודל אינסוף על אינסוף. המספרים המוצגים הם מקריים, וכל רשימה אחרת תיתן תוצאה דומה:

pic3

כעת נסתכל על האלכסון המתחיל מהפינה השמאלית עליונה ונמתח קו אל עבר הפינה הימנית התחתונה (שאינה קיימת כמובן בפועל כי מדובר בטבלה אינסופית). אלכסון זה הוא בעצם מספר – הוא מורכב מהספרה הראשונה של המספר הראשון, הספרה השנייה של המספר השני, הספרה השלישית של המספר השלישי וכן הלאה עד אינסוף (מסומן באדום).

pic1

כעת ניקח את המספר שקיבלנו ונוסיף לכל ספרה אחד (6 יהפוך ל-7; 4 יהפוך ל-5; 9 יהפוך ל-0 וכן הלאה...) ונקבל מספר חדש (מסומן בכחול):

pic2

נחשוב על המספר החדש שיצרנו ונגלה שהוא בהכרח שונה מכל המספרים שהיו מסודרים בטבלה – הוא שונה מהמספר הראשון לכל הפחות בספרה הראשונה (ואולי גם באחרות, אך מספיק לנו שיהיה שונה בספרה אחת), ולכל הפחות בספרה השנייה מהמספר השני, וכן הלאה עד אינסוף. כלומר יצרנו מספר אינסופי חדש, ואופן הבנייה שלו מחייב שהוא לא היה קיים בטבלה המקורית (אפילו שהיא אינסופית), כיוון שהוא שונה מכל המספרים שמהם הוא נחתך לפחות בספרה אחת. תהיה הרשימה אינסופית ככל שתהיה, ויהיה הסידור המקורי של המספרים אשר יהיה, האלכסון תמיד ינצח אותה וייצר מספר חדש. קיבלנו סתירה להנחה הראשונה שלנו, שהיא שניתן לסדר את כל המספרים הממשיים ברשימה. כלומר לא משנה איך יסודרו הדפים בספר החול, לעולם לא נוכל אפילו להתחיל לספור אותם.

וכך, במספר סופי בהחלט של מהלכים מחשבתיים, קנטור מדבר על רעיון שהפילוסופים אמרו שלא ניתן להגות, חושב על מה שאנשי הדת אמרו שאסור לחשוב ומוכיח את מה שמתמטיקאים אמרו שלא ניתן להוכיח. הוא נוגע לרגע באינסוף בכדי לצפות בו מיד גדל ומתעצם. בחיבור מעניין לשפה העברית החליט קנטור לתת לאינסוף הרגיל את השם והסימון העברי אלף אפס, ולאינסוף החדש שיצר את השם אלף אחד.

סוקרטס, אביו הרוחני של אפלטון וסבו הרוחני של אריסטו, נשפט והוצא להורג על רעיונותיו. שפינוזה הוחרם חברתית, ואילו קנטור הוחרם מדעית. קרונקר, שסירב לקבל את הוכחתו וראה בה כפירה דתית, רוחנית ומתמטית, החל להתנכל לו ומנע ממנו כל הכרה. הוא סחף אנשי דת ומתמטיקאים נוספים כגון ברטרנד ראסל, אשר חשב על פרדוקס כה בסיסי בתיאוריות אחרות של קנטור עד שזה נפל לדיכאון קליני ואושפז. באחד ממכתביו בזמן אשפוזו הוא כותב: "אינני יודע מתי אוכל לשוב להמשך עבודתי המדעית. ברגע זה איני יכול לעשות דבר בנושא, ומגביל את עצמי רק לנחוץ ביותר במסגרת חובותיי כמרצה. כמה מאושר הייתי להיות פעיל מדעית, אילו רק הייתה לי הרעננות המנטלית". לקראת סוף חייו "זוכה" קנטור מאשמה ואף החל לקבל הכרה על עבודתו, אך היה זה מאוחר מדי, ושנותיו האחרונות עברו עליו בדיכאון ובעוני. כעשר שנים לאחר מותו אמר מתמטיקאי ולוגיקן גרמני דגול בשם דיוויד הילברט, שעסק רבות בתורתו של קנטור, "אף אחד לא יגרש אותנו מגן העדן שקאנטור יצר".

האינסוף ממשיך לגדול

האבולוציה של הרעיון ממשיכה לפעול, ומה שהחל בפילוסופיה, צמח אל המתמטיקה ולבסוף העשיר את הידע האנושי בכל תחום כמעט. בפיסיקה, למשל, הרעיון שהיקום שלנו הוא אינסופי בגודלו מהווה כמעט קונצנזוס, וגיאומטריה של פרקטלים – צורה אשר מקופלת בתוך עצמה באופן אינסופי – חוזרת ונצפית בחקר הטבע ונראה שהיא חבויה כמעט בכל תחום שבו אנו מתבוננים – צורות גיאולוגיות, צמחים, בעלי חיים, פתיתי שלג ואף המוח האנושי. האלכסון של קנטור מראה עד כמה עצום יכול להיות דבר המקופל בתוך תחום מוגדר, וכי הגודל הנתפש במוחנו הוא אשליה – היקום כולו יכול להימצא בתוך פתית שלג. העובדה שהמוח שלנו בנוי כרשת תבניות אינסופית יכולה אולי להסביר את המשיכה לרעיון, ומחשבות רבות עולות בנושא ההכרה האנושית אשר מודעת לעצמה. העוצמה של דבר המודע לעצמו הופכת לאינסופית מיד כאשר אנו מבינים שאנו יכולים להיות מודעים לעצמנו, אך גם מודעים למודעותנו וכן הלאה, בספירלה אינסופית זו של מחשבות.

מי שהביא מחשבות אלה יותר מכול אל מחוץ לעולם המדעי היה האמן ההולנדי אשר (M.C Escher), שהרבה לחקור תבניות וצורות מוזרות. ניתן למצוא ברבות מיצירותיו המחשה ויזואלית וגיאומטרית לאינסוף. אך יצירה אחת מכל יצירותיו מסקרנת במיוחד, וזו טבעת המביוס שעליה צועדות נמלים. טבעת המביוס בנויה מסרט שסובב חצי סיבוב וקצוותיו חוברו, דבר היוצר את צורת ה-∞ המפורסמת, וכיאה לדבר כה פשוט לבנייה, מורכבותה עצומה. בהתבוננות ראשונה נראה כי חלק מן הנמלים צועדות על צד אחד של הסרט וחלק צועדות על צדו האחר, אך אם נעקוב אחרי תנועת הנמלים נראה שהן הולכות באופן רציף על הרצועה, וכי שני הצדדים הם אשליה – לצורה זו יש רק צד אחד. מנקודת המבט של הנמלה לא ניתן להבחין ששני הצדדים הם אחד. עולמה אינסופי אך דיכוטומי – למעלה או למטה, צד אחד או צד שני. אך אנו, שצופים מהצד, יכולים להבחין שהניגודים הם אשליה, וכי למעלה ולמטה הם אותו הדבר והאינסופיות שזורה במחזוריות. טבעת המביוס מחזירה אותנו 2,500 שנה לאחור – מאשר אל קנטור ושפינוזה, דרך אריסטו ואל עקרונות הטאואיזם – האינסוף והאחדות – ״השמים פתוחים, הארץ גדולה והדרך אינסופית".

ניר בט הוא בעל תואר ראשון בפיזיקה וכלכלה מאוניברסיטת תל אביב ועוסק בתחומי הנדסה ומחשבים שונים. מתעניין בתחומי מדע, טכנולוגיה, פילוסופיה וחלל. הוא התחיל ללא רקע עשיר בכתיבה, אך עם רעיון ורצון. 

מאמר זה התפרסם באלכסון ב על־ידי ניר בט.


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

22 תגובות על מי מפחד מהאינסוף?

02
אוהד

מעניין ביותר (בעיקר עבור חובבי המתמטיקה הפילוסופיה והאנשים הההיסטורים שעומדים מאחוריה).

אולי לבחור אין רקע בכתיבה אבל הוא עושה יופי של עבודה :)

04
יאיא

לא הבנתי משהו לגבי ההנחה של קנטור:
אם כן היה ניתן לסדר את המספרים בסדר כלשהו - אז המספר החדש שהיינו מקבלים (לאחר הוספת 1) כן היה מופיע באלכסון אחר כלשהו ברשימה ?

    05
    בן

    האלכסון הוא כלי שבאמצעותו אנו משנים את המספרים הכתובים כל אחד בשורה משלו משמאל לימין. ברגע שאני משנים מספר אחד בכל אחד מהמספרים ברשימה (בשימוש באלכסון) אנו למעשה יוצרים מספר שאינו ברשימה. זה לא משנה אם המספר היה מופיע באלכסון אחר, כי, כאמור, האלכסון הוא כלי לשינוי המספרים ולא חלק מהרשימה עצמה.
    אם בכל זאת תתעקש להוסיף לרשימת המספרים גם את המספרים הנוצרים מהאלכסונים של הרשימה המקורית, עדיין תוכל ליצור מספר שלא קיים ברשימה באמצעות שיטת האלכסון.

    מקווה שההסבר מובן.

    06
    מני יערי

    בן (המגיב ליאיא), אני עדיין לא מבין את התרומה הגדולה של קנטור. הוא בסך הכל מציג את חוסר היכולת שלנו להבין את האינסוף ואת הפרדוקסים שהוא טומן בתוכו, כמו שעשו לפניו זנון וגלילאו (ובטח עוד רבים אחרים). נהפוך הוא, הפרדוקס שקנטור מציג קשה יותר להבנה ופחות אינואיטיבי מאשר הפרדוקסים שמציגים זנון (מדוע אם כך אנו עוקפים את הצב...) וגליליאו (איך יתכן אין סוף גדול יותר מאין סוף אחר...).
    אני גם לא חושב שהפרדוקס של קנטור נובע או מוכיח את חוסר היכולת לסדר את המספרים, מכיוון שסדר המספרים קיים מעצם ההגדרה או המהות של ציר המספרים הטבעיים 1, 2, 3...וכו. שהרי לא תהיה בעיה לסדר את הספרות שמיד אחרי הנקודה (0.1, 0.2, וכו) - זה סך הכל 9 מספרים שיש להם סדר, וכך גם את המספרים שמיד אחרי הספרה הראשונה שלאחר הנקודה (0.11, 0.12, וכו), וכך הלאה. בכל מיקום יש סדר ברור והכרחי. הבעיה מתחילה מעצם העובדה שהמספר אינסופי. כלומר תמיד ישנה עוד ספרה ועוד ספרה ועוד ספרה אחרי הנקודה. וזה בדיוק האינסוף החמחמק. אותו אינסוף שאנחנו איננו מבינים אותו. פרדוקס זה של קנטור לא שונה בכלום מאותה חלוקה אינסופית של המרחק של זנון. זה בדיוק אותו דבר. לדעתי קנטור אינו מוכיח שהאין סוף הוא בהכרח אינו מסודר. אנו פשוט נשארים עם הרעיון שאנו לא מסוגלים לתפוס את האין סוף. במקרה הזה, אין סוף הספרות לאחר הנקודה.

    07
    מני יערי

    אגב, אם אכן האינסוף אינו מאופיין בשום אספקט של סדר, הרי שלא היינו יכולים למקם את המספרים בשום צורה. וזה לא המקרה, כמדומני. שהרי אם היינו לוקחים מספר אינסופי שמתחיל ב- 0.3463844..... וכן הלאה (אינסופי), אנו יודעים בוודאות שהוא לא ימוקם מתחת ל0.33 (לשם הפשטות) ולא מעל 0.35, ולכן קיים אלמנט של סדר. כפי שטענתי קודם, "חוסר הסדר" של קנטור מתחיל בעובדה שבין כל שני מספרים תמיד נוכל להכניס עוד מספר, ולכן איך אפשר "לסדר" או יותר נכון "למקם" את המספרים בין 0-1 אם בעיקרון יש עוד ועוד (אינסוף) מספרים. אבל זה לא באמת בעיה של סדר, אלא בעיה של הבנת האין סוף. באותה מידה קנטור לא באמת יכול לתפוס מה זה אלכסון אינסופי בתוך מטריצה אינסופית כדי להוכיח את טענתו. ואם המטריצה היא באמת אינסופית, שהרי היא בהכרח צריכה להכיל את כל המספרים (גם את האלכסון+1) - שזה כמובן פרדוקסלי כמו שאר הפרדוקסים לגבי האינסוף. אני טוען, שכל הפרדוקסים נובעים מאותה אי הבנה - של האינסופיות עצמה. לדעתי זנון מציג את אותו פרדוקס של קנטור בצורה יותר ברורה - כדי לעבור מרחק מסוים, עלינו קודם לעבור חצי ממנו, אבל כדי לעבור את החצי הזה חייבים לעבור תחילה את החצי של החצי, וכך הלאה. אז איך אנחנו מתקדמים...?

    08
    בן

    נתחיל מזה שלא הייתי מגדיר את הרעיונות של קנטור ביחס לאינסוף כפרדוקסליים. ההבדל בין אינסוף בר מנייה לאינסוף שאינו בר מנייה הוא בכך שבמקרה הראשון נוכל למצוא חוק, שאם נמשיך למנות בעזרתו את המספרים בקבוצה, לא נפספס אף אחד מהם. לא כך במקרה השני.

    אתן לטובים ממני להסביר את הנושא:
    http://youtu.be/elvOZm0d4H0

    09
    מני יערי

    זה פרדוקסלי במובן שיש בו סדר מסויים ובכל זאת אנו לא יכולים לסדר שני מספרים עוקבים (כי תמיד יש בניהם אחד נוסף); אם יש בו סדר הוא בהכרח בר מניה, ובכל זאת לא ניתן למנות אותם (מאותה סיבה).
    אם אני לא טועה, יש חוק עקרוני/תיאורטי של מנייה של יפספס אף מספר אצל קנטור: הוסף 1 לספרה במיקום האינסופי אחרי הנקודה.
    אני מסכים שיש פה בעיתיות (או פרדוקס), כי הרי לעולם לא נמצא את הספרה האינסופית שלה צריך להוסיף 1, שהרי תמיד תהיה עוד ספרה אחריה. אז לאיזו ספרה נוסיף 1?
    אבל זה נובע מהבעיתיות של הבנת האינסוף שלדעתי קיימת בכל הפרדוקסים האינסופיים.
    בעיתיות דומה, לדוגמא, אפשר למצוא במניית המספרים הטבעיים. חשוב על המספר 1 שאחריו יש אין סוף אפסים. מה יהיה המספר הבא אחריו?
    אני מסכים שיש תחושה שהאינסופיות של קנטור (ושל זנון, אלפי שנה לפניו) שונה מהאינסופיות של המספרים הטבעיים. אבל אני לא חושב שההבדל הוא עקרוני. האינסופיות של קנטור נובעת מחלוקה אינסופית, ובעייתיות דומה אפשר למצוא בהכפלה אינסופית של המספרים הטבעיים (בדומה לבעייתיות שהראה גליליאו).

11
שושי

יש, כמובן, גם דיון באינסוף בקבלה. ר' לדוגמה את ספרה של ד"ר סנדרה ואלברג-פרי, "בנסתר ובנגלה: עיונים בתולדות האינסוף בקבלה התיאוסופית" - מר' יצחק סגי נהור ועד ר' יצחק דמן עכו והזוהר.

13
מיכל

המשפט "גלילאו הרגיש שסדרה אחת היא אינסופית יותר מהשנייה..." לא הגיוני. סדרה יכולה להיות גדולה יותר מאחרת (או צפופצה יותר), אבל לא אינסופית יותר.
שימוש במשפט כזה מעיד על חוסר הבנה של מהות האינסוף

14
אייל

הנסיון להסביר את אינסוף במילים הוא מוזר
הדרך הנכונה לעשות את זה במתמטיקה שם זה הרבה יותר נהיר
ואולי אי אפשר לתרגם נוסחאות מתמטיות לפילוסופיה
האינסוף קיים בחלל ובפיזיקה. אריסטו ידע על החלל מעט מאד

הסיבה שרעיונותיו של קנטור התקבלו בזעם כה רב בין עמיתיו המתמטיקאים (ולא הפילוסופים) לא קשורה ישירות לרעיונות המאה ה־18. החשבון האינפיניטסימלי שפיתוחו החל במאה ה־17 ע"י ניוטון ולייבניץ לא נבנה על יסודות מתמטיים אמינים. במאה ה־19 קבוצה של מתמטיקאים החלה לבסס את המתמטיקה על יסודות אמינים יותר. בין השאר הם גם נפטרו מכל השימושים בגדלים אינסופיים (או קטנים לאין שיעור) והשתמשו במקום זה בסדרות מספרים ("גבול" וכדומה).

מה שקנטור הראה הוא שלמרות כל העבודה הקשה הזו, עדיין אי אפשר להיפטר מגדלים אינסופיים.

לעניין האינסוף בקבלה: המושג "אינסוף" הומצא בקבלה. כמו מושגים אחרים (לדוגמה: "מעשה מרכבה" להקמת ממשלה) הוא קיבל משמעות שונה לחלוטין בתחום שונה. אני לא אתפלא ם במסגרת יהדות הניו אייג' המושג הזה ביהדות מתחיל להיות מושפע חזרה מהמושג המתמטי.

מספר של "אחד עם אינסוף אפסים מאחריו" אינו מספר טבעי. לא תוכל להגיע אליו במספר סופי של צעדים.

באותה מידה גם לא קיימת "הספרה במקום האינסופי אחרי נקודה" (כאשר עוסקים במספרים עשרוניים לפי ההגדרות הרגילות). אף פעם לא תגיע אליה בשום תהליך.

    18
    מני יערי

    נניח ואני מקבל את ההגדרות המתמטיות שאתה נאחז בהם (ההגדרות של מספר טבעי ועשרוני) כאילו הם פותרים או עוזרים לך במשהו להבין את האינסוף והפרדוקסים המתלווים אליו, עדיין התרומה של קנטור להבנת האינסוף היא לא יותר גדולה מאשר זה של גלילאו, ושניהם יחד לא עוזרים בכלום.
    אז יש לנו שתי קבוצות, מספרים עשרוניים ומספרים טבעיים, ובאופן טבעי הם מתנהגים אחרת, והיי, גילינו שהאין סוף מתנהג גם קצת אחרת. והיי, הגענו למסקנה שיש לנו אינסוף אחד (העשרוני) יותר אינסופי מהאחר (הטבעי), או מתנהג שונה מהאחר. נו באמת... הרי זה חוטא למושג האינסוף ומוסיף על הפרדוקסים הקיימים (שלשיטתי, גם הפרודקסים משותתים על אותה בעיה), וגם אינו שונה מגלילאו. שהרי לחשוב שהמספרים הטבעים היא קבוצה אינסופית גדולה יותר מהמספרים הזוגיים לדוגמא (שהרי אחד מוכל בשני), מותיר אותנו עם אותה תהייה שמבוססת על חוסר הבנת האינסוף. שהרי איך יכול להיות אינסוף אחד גדול מהשני אם שניהם לעולם אינם מסתיימים. איך בכלל משווים שני דברים שלא מסתיימים. ומה זה לעזעזל דבר של מסתיים? איך זה נראה? איך זה נתפס? איננו יכולים לתפוס זאת. לפחות לא כרגע.
    מבחינה מתמטית יותר, אם אכן לשיטתך לא קיימת הספרה האינוסופית אחרי הנקודה, אז הרי לא קיימת המטריצה האינוספית של קנטור, וכך גם מושג האינסופית ("החדש") שקנטור גילה.
    מה לעשות, האינסופיות הוא עדיין מושג תיאורטי, ולנסות להוריד אותו לאיזו רמה פרקטית מתמטית חישובית במצב אחד ולא במצב אחר, לא עובד.

כל הפרדוקסים של האינסוף נובעים מכך שאין דבר כזה אינסוף.

אין דבר כזה אינסוף במובן הפיסיקלי, כלומר אני יכול לחשוב על אינסוף או לחלום על אינסוף באותה מידה שאני חושב על חיה שנראת כמו ג'רפה עם כנפיים של עטלף דבשת כמו של גמל וקרן כמו של קרנף, אבל לא קיימת חיה כזאת במציאות.
אני גם יכול לחשוב שפוטון של אור שובר את מחסום מהירות האור ונע בחלל במהירות אינסופית, אני יכול לחשוב שאני גם הכי עשיר ויפה בעולם אבל זה שאני חושב את זה לא אומר שזה קיים במציאות.

כנ"ל לגבי האינסוף, אין דבר כזה במציאות הפיזית.
ומאחר שאין איסוף במציאות אז אכילס יעקוף בסופו של דבר את הצב, (אם היה ניתן לחלק מרחק אינסוף פעמים אז אכן אכילס לא היה יכול לעקוף את הצב, הוא לא היה יכול כלל להתחיל לרוץ, או להיוולד כלל)
ומאחר ואין אינסוף אז גם לא קיים במציאות מספר עם אינסוף נקודות לאחר הנקודה העשרונית, ולא קיימת רשימה עם אינסוף מספרים, ולא קיים אלכסון באורך אינסופי ומכן שכל התיאוריות שהוא בנה על הדבר הזה גם הם לא קיימות במובן הפיזיקלי, ולא מתארות נכון את מצב העניינים בעולם האמיתי, להבדיל מעולם המחשבה והדמיון שבו כאמור הכל אפשרי.

    20
    מני יערי

    הגישה שלך להתמודד עם הרעיון (התיאורטי) של האינסוף והפרדוקסים שבהכרח מתלווים אליו היא רדיקלית ומעניינת, אבל גם מאד בעייתית ברמה תיאורטית.
    למעשה, יותר קל לנו לתפוס או להכיל את קיומו התיאורטי של מושג האינסוף מאשר את זה של מושג הסוף.
    שהרי לטעון שאין אינסוף, זה למעשה לטעון שכל דבר הוא סופי. המרחב, הזמן, המספרים וכו'. אבל אז תמיד תעלה השאלה, מה אם כן יש אחריי? מה יש אחרי סוף המרחב? וזה שוב שואב אותנו לאותם פרדוקסים מחשבתיים או לחוסר יכולת לתפוס את הרעיון שאין אינסוף, ולכן לא באמת פתרת או התמודדת עם הפרדוקסים שמקשים עלינו.
    אני חושב שמותר לנו כבני אדם גם להגיד שאיננו מבינים משהו מסויים, ושאולי לא נבין אף פעם. כרגע אנחנו עדיין לא מצליחים לתפוס את מושג האינסוף ואת הפרדוקסים המתלווים אליו. הניסיון לפתור בכח כל קושיה, גם במחיר של פתרונות שאינם ישימים (נכון להבנתנו ברגע זה), הם מיותרים. עדיף להגיד משהו שכשיש באמת מה להגיד. בכך, הניסיון שלך להתמודד עם הקושייה לא שונה מהניסיונות של קנטור ושאר הפילוסופים והמתמטיקאים. זה מקסימום יאפשר לפרסם עוד איזה מאמר בעוד איזה ג'ורנל שעוד כמה אנשים יוכלו לצטט ולחשוב שאם מספיק אנשים חוזרים על זה, זה נכון.

22
ניב בן אזר

גם הדיון שלאחר המאמר מעניין וכיף לדעת שיש עוד אנשים שמעניינות אותם שאלות כאלה. ועכשיו תרומתי הצנועה לדיון:
אף אחד לא יכול לדעת, אם יש סוף או אין סוף לדברים. שתי המחשבות מובילות לפרדוקסים. כשהייתי ילד כבר חשבתי בידיוק על מה שאורן דיבר. אם יש אינסוף נקודות בין כל שתי נקודות כיצד בכלל אפשרית תנועה מנקודה לנקודה? ברור שהיא בלתי אפשרית! לכן קשה לי להבין מדוע דווקא מדענים "מאמינים" באינסוף. לפי מיטב הבנתי האינסוף לא הוכח. ואי אפשר מעצם הגדרתו להוכיח אותו. הוא מושג פילוסופי, מתמטי ותיאורטי וייתכן שאין שום דבר באמת אין סופי במציאות.
אבל אם אין אין סוף זה אומר שיש סוף. כלומר איפה שהוא ומתי שהוא המרחב זמן מסתיים... כנראה שלרוב האנשים קשה יותר לדמיין סוף שכזה, מאשר לדמיין את האין הסוף למרות הפרדוקסים הרבים שהוא מביא. אבל הקושי בלדמיין את זה איננו אומר שאין כזה סוף!
והנה פרדוקס נוסף שמביא איתו מושג האינסוף. מתחום תורת ההסתברות. מה הסיכוי שהגרלת הלוטו תיתן את המספרים 1 2 3 4 5 6? קטן מאד, נכון? ובכן בואו נניח לרגע שהאנושות תהיה קיימת לנצח וכמוה הגרלות הלוטו. הגרלה אחת חייבת לצאת 1 2 3 4 5 6 כי הרי לא ייתכן שמתוך אין סוף נסיונות דווקא הצירוף הזה לא ייצא, נכון? אז עכשיו נעשה את אותו תרגיל מחשבתי עם כוס מלאה בקוביות. נגיד 10 קוביות. מתי שהוא בהיסטוריה ייקרה שכל הקוביות ייצאו 6, נכון? ואם זה יהיה לא כוס אלא קערה שיש בה אלף קוביות. האם ייצא פעם שכל ה1000 ייצאו 6? למה לא? מה זה 10000 ביחס לאינסוף? מתי שהוא המקריות תוגבל? אז למה דווקא בנקודה מסויימת ולא באחרת? אלה שאלות של תורת ההסתברות אבל נוגעות לדעתי בעיניין האינסוף וקצת מטות, לטעמי, את הכף לטובת הדיעה שאין כזה דבר אין סוף. אחרת היינו אמורים לחזות מידי פעם בניסים כאלה, של 10000 קוביות שכולם יוצאות 6. ומשום מה זה לא קורה...