על סרגל ומחוגה

בעזרת סרגל ומחוגה ניתן להסביר ולייצר אינספור דברים - חוץ מהיצירתיות המחשבתית שהובילה אותנו להמציא אותם מלכתחילה
X זמן קריאה משוער: 17 דקות

רשימה זאת נכתבה בשולי דרמה קטנה שהתרחשה לפני כמה שנים בעת פרסום הספר "ראסל" בסדרת "הפילוסופים הגדולים". במהלך תרגום הספר לעברית נפלה טעות מביכה: המילה האנגלית compass, שמשמעותה בקונטקסט מתמטי "מחוגה", תורגמה בטעות למילה "מצפן". התרגום השגוי עלול להוביל למשפטים משעשעים כגון "הגיאומטריה האוקלידית הסתמכה על סרגל ומצפן בלבד" וכיוצא בזה.

אחד מקוראי הספר, שאיתר את הטעות ודיווח עליה במכתב לעיתון הארץ, זכה לתשובה נרגזת מעורך הסדרה, שטען כי האבחנה בין מצפן למחוגה אינה קריטית לתיאור משנתו של ראסל. ובכן, הטעות הצורמת וניסיון החיפוי השערורייתי העידו על חוסר הבנה בסיסי של תפקיד הסרגל והמחוגה בתולדות המדע בכלל ובפילוסופיה של ראסל בפרט. רשימה זאת נכתבה כדי להשיב לסרגל ולמחוגה את כבודם הרמוס.

כדי לסקור את תפקיד הסרגל והמחוגה בהתפתחות המתודה המדעית, יש להרחיק כעשרת אלפים שנה אחורה, לתחילת העידן החקלאי. הצורך לחלק ולתחום חלקות אדמה חייב את האדם להמציא כלי הפשטה גאומטריים, והעיסוק במדידת כמויות זרעים ויבולים ובמניית בעלי חיים הוביל לפיתוח טכניקות אלגבריות שונות. ואמנם, ממצאים ארכיאולוגיים ממסופוטמיה ומעמק הנילוס מעידים על תחכום מתמטי-אפלקטיבי מרשים מחד, המלווה בבורות לוגית-מתודית מאידך.

חבלים כאלה הם ממצא שכיח בהרבה חפירות ארכיאולוגיות במסופוטמייה ובמצריים. החבל מחולק ע”י קשרים ל 12 קטעים שווים שיוצרים את שלושת המספרים הפיתגוריים 3,4,5 (3 בריבוע ועוד 4 בריבוע שווה 5 בריבוע). לכן, אם מניחים את החבל על הקרקע כפי שנראה בציור, הוא יוצר זווית ישרה בעזרתה ניתן לסמן פינה של מבנה. המהנדסים הקדמונים לא ידעו למה זה עובד, אבל זה לא הטריד אותם.

חבלים כאלה הם ממצא שכיח בהרבה חפירות ארכיאולוגיות במסופוטמייה ובמצריים. החבל מחולק ע”י קשרים ל 12 קטעים שווים שיוצרים את שלושת המספרים הפיתגוריים 3,4,5 (3 בריבוע ועוד 4 בריבוע שווה 5 בריבוע). לכן, אם מניחים את החבל על הקרקע כפי שנראה בציור, הוא יוצר זווית ישרה בעזרתה ניתן לסמן פינה של מבנה. המהנדסים הקדמונים לא ידעו למה זה עובד, אבל זה לא הטריד אותם.

 

לדוגמא, מהנדסי הפירמידות ידעו להשתמש במשפט פיתאגורס אלפיים שנה לפני שפיתאגורס נולד, אך לא היה להם מושג מדוע המשפט נכון. יתרה מכך – חכמי מצריים העתיקה לא התעניינו כלל בהוכחת הנכונות הלוגית של משפטים מתמטיים. אם טכניקה הנדסית מסוימת הוכיחה את עצמה בשטח, הם קיבלו אותה כמובנת מאליה.

הנקודה, הקו והעיגול מחד גיסא, והסרגל והמחוגה מאידך, היוו את הרכיבים האלמנטריים שמגדירים את מרחב הצורות הניתנות לבנייה בגיאומטריה אוקלידית.

בסיס הידע הקדום הזה, שהועבר מדור לדור בסגנון "ראה וקדש", היה תולדה של השלטון האבסולוטי תחתיו הוא צמח – שלטון שדיכא כל ניסיון להטיל ספק בסטטוס קוו. עקב כך, טכניקות הוכחה מודרניות כגון טיעון על דרך השלילה והסתמכות על חוקים לוגיים שאינם סרים לסמכות שלטונית כלשהי, היו בלתי תקינות מבחינה פוליטית ומחוץ לרפרטואר המדעי המקובל. ואמנם, כדי להיווצר ולשגשג, מדע המתמטיקה ותורת ההוכחה המודרנית נזקקו לאקלים פוליטי שונה לחלוטין -- כזה המעודד סקפטיות, ארגומנטציה, וחופש אינטלקטואלי. אין זה פלא אפוא, שבין תחילת השימוש במתמטיקה ככלי הנדסי ועד הפיכתה למדע מודרני עברו כשבעת אלפים שנים – עד המצאת הדמוקרטיה ביוון העתיקה.

פחות זה יותר

יחד עם מתנת הדמוקרטיה, העניקו היוונים לאנושות מערכת ערכים אינטלקטואלית שהדגישה פשטות, אסתטיקה, וחובת הוכחה פורמלית. על רקע זה, הסרגל והמחוגה היוו עבור המתמטיקאים היוונים ארגז כלים מינימלי המספק כוח ביטוי מקסימלי. הנקודה, הקו והעיגול מחד גיסא, והסרגל והמחוגה מאידך, היוו את הרכיבים האלמנטריים שמגדירים את מרחב הצורות הניתנות לבנייה בגיאומטריה אוקלידית. ואמנם, היוונים העריצו את האתגר האינטלקטואלי של יצירת צורות גיאומטריות מורכבות בעזרת סרגל ומחוגה בלבד, ולא התעניינו בפרדיגמות קונסטרוקטיביות אחרות. הם חשו, באופן אינטואיטיבי נכון, שאחד החוקים החשובים ביותר במדע ובאמנות, אם לא החשוב מכולם, הוא "פחות זה יותר". וכך, באופן מקרי ולא מתוכנן, ההתעקשות על סרגל ומחוגה בלבד הובילה לייסוד וביסוס המתודה המדעית המודרנית.

ארכימדס, מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה, היה גם מהנדס גאוני שתכנן מכונות מלחמה להגנה על עירו סירקוז. כאשר כלו כל הקיצים וגייסות הרומאים  הבקיעו את חומת העיר, ארכימדס פרש לקרן זווית כדי לשרטט הוכחה גיאומטרית כלשהי בחול. לפי האגדה, מילותיו האחרונות היו: "זוז, אתה מסתיר לי את העיגול."  (שימו לב לסרגל ולמחוגה בצד ימין למטה)

ארכימדס, מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה, היה גם מהנדס גאוני שתכנן מכונות מלחמה להגנה על עירו סירקוז. כאשר כלו כל הקיצים וגייסות הרומאים הבקיעו את חומת העיר, ארכימדס פרש לקרן זווית כדי לשרטט הוכחה גיאומטרית כלשהי בחול. לפי האגדה, מילותיו האחרונות היו: "זוז, אתה מסתיר לי את העיגול." (שימו לב לסרגל ולמחוגה בצד ימין למטה)

ראשית, היא אילצה את המתמטיקאי היווני להוכיח שניתן להגיע אל כל תובנה גיאומטרית חדשה בעזרת סדרה סופית של צעדים שנעשים בעזרת שני כלי עבודה מוסכמים מראש. שנית, היא עודדה לנתח טענות מורכבות בעזרת רדוקציה לטענות פשוטות יותר – טכניקה הנמצאת בבסיס עבודתו של כל מדען מודרני. שלישית, היא הצביעה על הקשר בין אסתטיקה ופשטות לבין טיעון מדעי אפקטיבי. רביעית, ההאדרה של שני כלי עבודה פשוטים ונגישים העניקה לכל אדם את החרות לעסוק בגיאומטריה ולהתפתח למדען נערץ, ללא קשר למעמד כלכלי או ייחוס משפחתי. חמישית, הטריביאליות של הסרגל והמחוגה הציבה את החשיבה האנושית במרכז העשייה המדעית, ויצרה שפה לוגית אוניברסלית שאיפשרה לכל מתמטיקאי להבין מיד את טיעוניו של רעהו ולבדוק את תקפותם באופן אובייקטיבי.

לבסוף, הגיאומטריה האוקלידית נתנה לגיטימציה מלאה לעיסוק מדעי רציני בסוגיות מופשטות שלא היה להן לכאורה שום קשר נראה לעין לבעיות מעשיות. בקיצור, ניתן למתוח קו ישר (וסליחה על משחק המילים) בין האדרת הסרגל והמחוגה לבין הלוגיקה הדידקטית של אריסטו, העצמאות האינטלקטואלית של סוקראטס, והאבחנה בין הראלי לאידיאלי של אפלטון. ומכאן ועד לתורת היחסות ולהנחתת אדם על הירח הדרך סלולה ובלתי נמנעת.

ומה לגבי סיפור ההתפתחות של אחותה של הגאומטריה, תורת האלגברה? כפי שאוקלידס היה הדמות המרכזית בעולם הצורות, כך נחשב פיתגוראס לכהן הגדול של עולם המספרים. כמו הגיאומטריה האוקלידית, גם האלגברה הפיתאגורית ניסתה להסתמך על מספר קטן ככל האפשר של אקסיומות וחוקי היסק.

לדוגמא, המתמטיקאים הפיתאגוריים האמינו שעבור כל מספר x קיימים שני מספרים שלמים a ו -b שמקיימים את המשוואה x=a/b , דהיינו x נכנס לתוך a בדיוק b פעמים. הטענה הזאת נראתה סבירה, משום שהיא איפשרה חופש לבחור את a ו-b כרצוננו. למשל, אם זה לא נכון ש x=a/b עבור x נתון, הרי ההיגיון מכתיב שכל מה שדרוש הוא לשנות את a ו/או את b כרצוננו עד שהמשוואה תהיה נכונה. ואמנם, כשחושבים על מיתרים של כלי נגינה כלשהו (וכאן המקום לציין שפיתאגורס האדיר וחקר מוזיקה לא פחות ממתמטיקה), ניתן להראות שכל צליל שניתן להפיק מהם הוא יחס (שבר) של שני צלילים אחרים.

התובנה הזאת הייתה לב ליבה של האלגברה היוונית הקדומה: המספרים השלמים, ופעולות אלגבריות פשוטות עליהם, היוו לכאורה את ארגז הכלים המינימלי איתם ניתן ליצור באופן קונסטרוקטיבי כל מספר שנצפה בטבע.

אולם, למגינת ליבם של מעריצי פיתגוראס, השלמות הזאת נופצה כאשר תלמיד בשם היפאסוס הוכיח שלא קיימים שני מספרים שלמים עבורם מתקיים a/b= שורש (2). האגדה מספרת שחבריו הפיתאגוריים של היפאסוס ניסו להשתיקו ע"י השלכתו ללב ים, אך האמת המדעית כמובן חסינה למים. את הרוגז הקדום על התגלית המעצבנת הזאת ניתן לחוש עד היום, משום שמספרים כגון שורש (2) אותם לא ניתן ליצור ע"י חלוקה של שני מספרים שלמים נקראים "מספרים אי-רציונליים". אם להסתכן בניחוש פילולוגי, יתכן שהטענה "זה לא הגיוני שלא ניתן לייצג כל מספר בעזרת שבר של שני מספרים שלמים," מסבירה את הדמיון הלשוני בין המילה האנגלית ratio (שבר אלגברי) לבין המילה היוונית "ראציו" (הגיון).

הקלות הבלתי נסבלת בה ניתן היה לבטא מספרים אי-רציונליים בעזרת סרגל ומחוגה מחד גיסא, וחוסר היכולת לבטאם בעזרת כלים אלגבריים מאידך, הובילו לשקיעת האלגברה ולפריחת הגיאומטריה.

לבושתה הרבה של האלגברה הקדומה, ניתן היה ליצור מספרים כגון שורש (2) ללא שום בעיה, בעזרת גיאומטריה של גן ילדים. לדוגמא, אם אתה מסוגל לשרטט ריבוע שאורך צלעו הוא 1, אתה מסוגל ליצור מספר אי-רציונלי, משום שאורך אלכסון הריבוע הוא שורש (2). הקלות הבלתי נסבלת בה ניתן היה לבטא מספרים אי-רציונליים בעזרת סרגל ומחוגה מחד גיסא, וחוסר היכולת לבטאם בעזרת כלים אלגבריים מאידך, הובילו לשקיעת האלגברה ולפריחת הגיאומטריה. במשך למעלה מאלפיים שנה, סדרת ספרי "היסודות" של אוקלידס נחשבה לגולת הכותרת של המתמטיקה ושל חשיבה מדעית בכלל, ואילו העיסוק באלגברה טואטא לשולי הקהילה המדעית והפך לנחלתם של מהמרים וסוחרים. רק בשנת 1637 הצליח רנה דקארט לאחד את שני התחומים, ולהראות שהם למעשה שתי פנים של אותה מטבע. למרבית האירוניה, ובצדק היסטורי מלבב, פריצת הדרך של דקארט הפכה את הקערה על פיה, והראתה שהגיאומטריה הקלאסית היא למעשה מקרה פרטי ולא מעניין במיוחד של האלגברה המודרנית.

גוסטב אייפל והמחוגה

גוסטב אייפל והמחוגה, תחריט של פלרי, 1901

בפרט, בעוד שהגיאומטריה האוקלידית הייתה מוגבלת למה שניתן לשרטט או לדמיין במרחב תלת-ממדי, האלגברה הפוסט-קרטזית (שלאחר דקארט) הפכה לממלכה אבסטרקטית חסרת גבולות, שבה תובנות מתמטיות היו חופשיות לפרוח ולשגשג בכל מספר מימדים שהוא, אפילו אם אין להן ביטוי בתפיסת המציאות המוגבלת אליה נדון האדם ע"י מערכת החושים האנושית. דוגמא דרמטית לחופש הזה היא האופן בו איינשטיין השתמש בגאומטריה ארבע- מימדית כדי לשדרג את הפיזיקה הניוטונית לתורת היחסות.

אין זה פלא אפוא שתורת היחסות ומכניקת הקוונטים – תחומים העוסקים בגדלים ובמהירויות שחושינו לא יקלטו לעולם – יכלו להתפתח רק לאחר שהחשיבה המתמטית השתחררה מכבלי הגיאומטריה הקלאסית והפליגה למרחבי דמיון חדשים. יחד עם זאת, הסרגל והמחוגה המשיכו וממשיכים לפעום בלב ליבה של כל מתודה מתמטית מודרנית, במובן מטאפורי חשוב ביותר. וזה המקום בו ברטראנד ראסל נכנס לתמונה.

אלוהים קיים כי המתמטיקה עיקבית

בתחילת המאה העשרים – תקופה שאופיינה ע"י אופטימיות מדעית קיצונית – ניסו מספר לוגיקנים כגון פרגה, וייטהד, וראסל לבנות בסיס אקסיומטי מוצק לכל תורת המתמטיקה, תוך הסתמכות דקדקנית על לוגיקה ועל תורת הקבוצות. בפרט, הם ניסו להראות שניתן להוכיח או להפריך כל טיעון מתמטי בעזרת סדרה סופית של צעדי היקש לוגיים המבוססים על מספר קטן ככל האפשר של אקסיומות סבירות. הפרוגרמה הזאת נכשלה בשנת 1930, כאשר קורט גדל, מתמטיקאי אוסטרי בן 25, הראה שקיימות אמיתות מתמטיות שלא ניתן להוכיח את נכונותן באמצעות מערכת היסקים לוגית עקבית. כללית, גדל הראה שאם המתמטיקה היא תורה עיקבית (כלומר, שלא ניתן להוכיח באמצעותה דבר והיפוכו), הרי היא בהכרח תורה לא שלמה (כלומר, שניתן לנסח בה טענות נכונות שאין להן הוכחה). מכיוון שעד היום איש לא הצליח להוכיח את נכונותו וחוסר נכונותו של טיעון מתמטי כלשהוא, נובע ממשפט גדל שהמתמטיקה היא כנראה תורה לא שלמה.

רבים מחשיבים את משפט גדל לתובנה המתמטית-לוגית העמוקה ביותר של המאה העשרים, ומייחסים לו משמעויות מטפיזיות ודתיות שונות שגדל עצמו מעולם לא חלם עליהן. לדוגמא, את ההתפכחות הכואבת מניפוץ החלום על כוחה הבלתי מוגבל של מלכת ושפחת המדעים ביטא היטב אנדרה ווייל: "אלוהים קיים כי המתמטיקה עיקבית; השטן קיים כי לעולם לא נצליח להוכיח זאת". הכוונה, כמובן, היא להוכחה בעזרת שיטות היסק לוגיות המסתמכות על ארגז כלים קטן ככל האפשר.

אלברט איינשטיין וקורט גדל בקמפוס של אוניברסיטת פרינסטון

אלברט איינשטיין וקורט גדל בקמפוס של אוניברסיטת פרינסטון

בין הפשטות הספרטנית של הסרגל והמחוגה לבין הכלים הלוגים בהם ראסל וגדל השתמשו מפרידות 2500 שנה, אך הרעיון הכללי ורוח הדברים זהים לחלוטין. וכאן המקום לציין, כאנקדוטה היסטורית מעניינית, שלקורט גדל, שהיה אדם פרנואידי ואובדני, היה ידיד נפש אחד ויחיד: אלברט איינשטיין. שניהם היו פרופסורים בפרינסטון בסוף דרכם המדעית, ולשניהם הייתה יכולת נדירה לא רק לעשות מדע, אלא גם לדבר על תהליך העשייה המדעי באופן מדעי.

אחת האמרות האהובות על איינשטיין הייתה שתפקיד המדע הוא להסביר מקסימום תופעות בעזרת מינימום חוקים – שאיפה שמסבירה את האובססיה שלו, בסוף ימיו, לנסות להסביר את כל הכוחות בטבע בעזרת חוק אחד בלבד.

בספר שנועם ניסן ואני פרסמנו ("יסודות של מערכות מיחשוב", הוצאת MIT), אנו מראים באופן קונסטרוקטיבי כיצד ניתן לבנות משני סימנים שונים ומפעולה לוגית אחת ויחידה מחשב מודרני ומתוחכם, על כל מערכות החומרה והתוכנה שלו. ובעזרת מחשב כזה ניתן לייצג באופן דיגיטלי כל מספר, טקסט, יצירה מוזיקלית, תמונה, או סרט כלשהוא. במובן זה, גם למדעי המחשב יש אופי גאומטרי מובהק: נתונים שני סימנים (שנהוג לכנותם אפס ואחת) ופעולה לוגית אלמנטרית אחת. מטרתנו לבנות ולחקור את העולמות המרתקים שניתן ליצור באמצעות הפעלת דמיון אנושי אינסופי על אבני הבנייה הספרטניות הללו, ועל החופש שלנו להרכיב ולפרש אותן כרצוננו. מסתבר שאפשר לעשות אינסוף דברים מעניינים בעזרת ארגז הכלים הטריביאלי הזה, כפי שחזה לייבניץ כבר בשנת 1690(!). המתנה החביבה על לייבניץ הייתה מדליון עליו הוא טבע את הטקסט vnvs ex nihilo omnia, vnvm avtem necessarium. בתרגום חופשי ומן הסתם לא מדויק שלי: "אפס ואחת – זה כל מה שצריך".1

סימולציה מלאה של המוח האנושי יכולה בהחלט להיות אחד הדברים שלא נצליח מעולם לייצג בעזרת תכנית מחשב.

ואמנם, לעיתים נדמה כאילו בעזרת מחשבים ניתן לעשות את כל מה שעולה על הדעת: לתכנן גשרים, להלחין מוזיקה, לנצח במשחקי שחמט, ולתרגם בין שפות שונות. אבל, כפי שהוכיח אלן טיורינג בשנת 1936, יש אינסוף דברים מעניינים לא פחות שאי אפשר לבצעם בעזרת תוכניות מחשב (גדל וטיורניג חשפו באופן מבריק את החולשה המבנית הבסיסית של מערכות פורמליות, כל אחד בדרך שונה לחלוטין; גדל חקר את מגבלות הלוגיקה, וטיורינג את מגבלות מדעי המחשב). סימולציה מלאה של המוח האנושי יכולה בהחלט להיות אחד הדברים שלא נצליח מעולם לייצג בעזרת תכנית מחשב.

אנו רואים אפוא שבעזרת סרגל ומחוגה, לוגיקה ומחשבים אפשר מן הסתם להבין ולבנות אינסוף דברים מעניינים. אבל, הניחוש שלי הוא שכנראה לא ניתן להבין בעזרתם את היצירתיות המחשבתית שהובילה אותנו מלכתחילה להמציא אותם.

גרסאות מקוצרות של רשימה זאת התפרסמו בבלוג של הכותב באתר "רשימות" ובמכתב למערכת עיתון הארץ, שניהם בשנת 2005.

פרופסור שמעון שוקן הוא הדיקן המייסד של בית ספר אפי ארזי למדעי המחשב במרכז הבינתחומי הרצליה. כמו כן לימד באוניברסיטאות ניו יורק, הרווארד, וסטנפורד, ושימש כיו"ר ועדת מקצוע להוראת מדעי המחשב במשרד החינוך. הוא אחד המייסדים של חברת Slate Science שמפתחת תוכנות להוראת מתמטיקה בבתי ספר יסודיים. http://www.shimonschocken.com

מאמר זה התפרסם באלכסון ב


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

20 תגובות על על סרגל ומחוגה

05
יורם דיאמנט

המתמטיקאי והגיאומטרן לורנצו מסקרוני 1750 - 1800
הוכיח כי כל בניה גיאומטרית שאפשר לעשות בעזרת מחוגה וישר - אפשר לעשות בעזרת מחוגה בלבד !!!

מעניין ... לא ידעתי. ובאותה רוח של צמצום קיצוני: כדי לבנות מחשב כל מה שצריך לכאורה זה "אלפאבת" שכולל שלושה דברים: שער Nand וערכי 0 ו- 1 (כלומר, הכוונה היא שמה שצריך זה אספקה גדולה כרצונך של שערי Nand וערכים בינארים).

הגדרת השער היא:

Nand(1,0)=1, Nand(1,1) = 0, Nand(0,0)=1, Nand(0,1)= 1

התבוננות בהגדרה הזאת מראה שכשמכניסים את אותו ערך בינארי פעמיים לתוך שתי עמדות הקלט של שער Nand, השער פולט את הערך הבינארי השני (0 ו- 0 יוצרים 1, 1 ו- 1 יוצרים 0).

לכן, המסקנה היא שכל מה שצריך כדי לבנות מחשב זה שער Nand ואו 0 או 1, אבל לא צריך את שניהם!

בקיצור, אלוהים נתן לנו Nand ו- 0 (או 1), וכל השאר הוא מעשה ידי האדם ...

08
חנן גולדשמידט

מאמרונצ'יק נהדר, שראוי לתפוצה גודלה מזו. וד"א, להערת שמעון, העובדה שזקוקים רק לאחד מהערכים הבינארים מניחה שהתוצרת של הערך הבינארי הנבחר מוכרת, ולכן למעשה זקוקים גם לו...

09
אלדד ידידיה

שלום,
המאמר פשוט מבריק.
מאד מענינית ההצגה של המצרים והבבלים כמיישמים בפועל של תורות שלא הבינו. אולי זה מה שקורה לרוב מי שלומד מתמטיקה בתיכון . . .
אגב הפרש השנים בין המצרים ליוונים אינו 7,000 אלא הרבה פחות. נניח 4,000

10
נמרוד שלגמן

היה לי הכבוד להיות תלמידו של שוקן, מעניין לראות כיצד אנקדוטות רבות ומגוונות שהוזכרו לאורך הקורס מתגבשות לכדי מאמר נהדר אחד.

תודה על המאמר המעניין.

כמה הערות קטנוניות:

1) האלגברה כפי שאנחנו מכירים אותה - מניפולציות של סימבולים - כלל לא הייתה קיימת אצל היוונים בתקופת פיתגורס. הם עסקו בגיאומטריה, ואצלם מספר רציונלי היה פשוט יחס בין שני אורכי קטעים שלמים (ואם לחדד, המושג המהותי היה "מידה משותפת" - קטע קטן שנכנס מספר פעמים שלם בכל אחד משני הקטעים הללו). לכן כל הפסקה על "נפילת האלגברה ועליית הגיאומטריה" נראית מוזרה למדי - היוונים מלכתחילה לא התעסקו באלגברה כפי שאנו מכירים אותה כיום, והטיפול הרציני באלגברה התחיל בעולם המוסלמי של ימי הביניים (המילה "אלגברה" בעצמה לקוחה משם של ספר של אל-חוואריזמי בנושא).

כמו כן לומר שהגיאומטריה היא "מקרה פרטי ולא מעניין במיוחד" של האלגברה נראה לי מופרז למדי. זה מקרה מעניין מאוד.

2) התפיסה לפיה הפואנטה בגיאומטריה של איינשטיין היא שהיא ארבע ממדית לעומת הגיאומטריה האוקלידית שהיא תלת ממדית היא פשוט שגויה. את הגיאומטריה האוקלידית קל להכליל למספר ממדים כלשהו וגם עושים זאת; הגדולה בגיאומטריה של איינשטיין היא שהיא שונה באופן רדיקלי מהגיאומטריה האוקלידית, ולא במספר ממדיה אלא בתכונות עמוקות יותר שקשה מאוד להסביר על רגל אחת (אם להשתמש ב-buzzword, אצל איינשטיין העקמומיות של המרחב איננה קבועה אלא משתנה בין נקודות שונות במרחב, בעוד שבגיאומטריה אוקלידית העקמומיות של המרחב היא קבועה ושווה לערך מאוד ספציפי).

3) משפט גדל אינו מדבר על "המתמטיקה". אני מבין שזה פישוט שאולי נדרש לצורך הטקסט, אבל זה פישוט יתר שגורם לחוסר הבנה גדול בקרב ציבור הקוראים. משפט גדל תמיד עוסק במערכות הוכחה ספציפיות, ואין למתמטיקה מערכת הוכחה "אבסולוטית" שאותה המשפט תוקף (אפשר למשל לדבר על ZF, אבל זו לא מערכת קדושה שהגיעה מהשמיים).

4) להגיד שגדל וטיורינג פעלו כל אחד בדרך שונה לחלוטין זה קצת הוגן כלפי גדל; טכניקת ההוכחה של טיורינג דומה מאוד לטכניקה שבה גדל השתמש (ושתיהן דומות, בבסיסן, לטכניקה שבה קנטור השתמש כדי להוכיח קיום של מספר לא בן מניה של ממשיים).

5) קשה לי מאוד להבין את הקפיצה בין התוצאות של טיורינג ובין הטענה "סימולציה מלאה של המוח האנושי יכולה בהחלט להיות אחד הדברים שלא נצליח מעולם לייצג בעזרת תכנית מחשב" שהיא חלק מהפאנץ' של המאמר. לא ידוע לי כיום על שום סיבה להניח שייצוג המוח במחשב הוא בלתי אפשרי מבחינה תיאורטית בשל התוצאות של טיורינג (יש טיעונים בכיוון הזה, כמו הטיעון של רוג'ר פנרוז, אבל בכל אלו שנתקלתי בהם מובלעת הנחה לא מוכחת שהמוח האנושי מסוגל לפתור בעיות אלגוריתמיות שאינן פתירות במחשב).

6) קצת קיוויתי לראות במאמר עם כותרת כזו אזכור לבעיות הבניה בסרגל ומחוגה של היוונים (ריבוע העיגול, הכפלת הקוביה וחלוקת הזווית לשלוש) ולחוסר היכולת לפתור אותן (שהוכחה בעזרת אלגברה מודרנית הרבה לפני גדל וטיורינג).

    מה זאת "בעייה אלגוריתמית"? האם בעיית העצירה היא בעייה אלגוריתמית? הביטוי "בעייה אלגוריתמית" יכול להטעות. הכוונה אולי לבעייה מוגדרת בתחום הנתונים (הטקסטים)? כי במחשב ניתן לפתור (בלי ממשקים מעוותים) רק בעיות טקסטואליות למעשה...

    יהושפט: "בעיה אלגוריתמית" בהקשר הזה היא בעיה שאנו מחפשים אלגוריתם שפותר אותה; לרוב יהיה מדובר על בעיית כן/לא שהקלטים לה ניתנים לייצוג בתור מחרוזות סופיות (אפשר גם בעיית חישוב פלט שהוא מחרוזת סופית מקלט שהוא מחרוזת סופית, אבל ההבדל בין שני סוגי הבעיות לא מהותי כאן).

    בעיית העצירה היא בהחלט דוגמה לבעיה אלגוריתמית שכזו.

    לגבי "במחשב ניתן לפתור רק בעיות טקסטואליות" זה נכון במובן מסויים (כאמור, רק קלטים שהם מחרוזות סופיות) אבל מטעה, כי מחרוזות סופיות יכולות לקודד אינספור סוגי מידע. למשל, הבעיה: "בהינתן קובץ AVI של סרט, לקבוע אם יש בסרט הזה טוויסט בעלילה שלא היה דומה לו באף סרט לפניו אי פעם" היא בעיה אלגוריתמית על מחרוזות סופיות (קובץ AVI של סרט הוא בסך הכל מחרוזת בינארית ארוכה אבל סופית).

15
אברום רותם

גדי,
תודה על "הקטנוניות", העשרת אותנו!
סבור שראוי להבליט שתי הערות חשובות לנושא שהעלית:
(1) האלגברה - תוצר מאוחר הרבה יותר של ימי הביניים, כך שאין לקשר זאת למתמטיקה היוונית באותה נשימה.
(2) הממדים של הגאומטריה - גם האוקלידית ניתן להרחיב למספר ממדים, ונכון שההבדל בינה לבין הגאומטריה שהשתמש בה איינשטיין (ודאי לא "של איינשטיין") איננו במספר הממדים.... טעות נפוצה אך לגיטימית בשיח הציבורי בעניין שמנסה לפשט את הדברים לעם.
רק טוף.

לגדי שלום,
לפי שפתך, כל הבעיות של "כן לא" או של פתרונות הן אלגוריתמיות. הרי צמיד נשמח לחפש אלגוריתמים עבורן. לכן הביטוי "בעיה אלגוריתמית" איננו מוצלח במיוחד. הוא נהוג בהוראת מדעי המחשב בתיכון ואולי גם בכמה מכללות ואוניברסיטאות. זה לא אומר שהוא מוצלח.
במחשב ניתן לפתור רק בעיות טקסטואליות ואפילו הבעיה שניסית לתאר יש לה משמעות בהקשר שלנו רק אם היא טקסטואלית. כלומר, אם אין לך דרך לתאר באמצעות תווים חסרי פשר מה זה "טוויסט בעלילה" לא תוכל לקבל פתרון באמצעות מחשב לבעיה.
לטעון שזה נכון רק במובן מסוים, כמוהו כמו לטעון שמכונות טיורינג הן טקסטואליות רק במובן מסוים. והקלטים צריכים להיות טקסטואלים במובן מסוים - אם התוכנה נכללת בקלט. מערכת שאיננה טקסטואלית (או שקולה למערכת טקסטואלית) איננה שייכת לתחום הדיון שלנו.

    יהושפט, נראה לי שהדיון בינינו יתקדם בצורה מועילה יותר אם תגיד מה אתה מנסה לומר. כרגע מתקבל הרושם שאתה מנסה לנטפק את ההודעות שלי מבלי שיהיה לך משהו ממשי לתרום לדיון, ואני מקווה שזה רושם שגוי.

    (בכל זאת אעיר שהטענה שלך כי "כל הבעיות של "כן לא" או של פתרונות הן אלגוריתמיות" היא פשוט שגויה; קח כדוגמה טריוויאלית את חישוב פונקציית השורש מהממשיים לממשיים וקיבלת בעיה שהקלטים אליה אינם ניתנים לייצוג כמחרוזות סופיות).

לגדי,
הניסוח שלי הטעה אותך. ברור שאינני טוען שכל בעייה של "כן או לא" היא אלגוריתמית. טענתי ההיפך, בדרך השלילה. כי אם נובע מדבריך שכל בעיה של "כן או לא" היא אלגוריתמית, והרי מסקנה זו איננה נכונה, ומכאן יש בדבריך משהו שאיננו נכון.
גם ניסוח (שלי) של התנאי ההכרחי עם "רק" מטעה. בעיה יכולה להיות אלגוריתמית רק אם (כתנאי הכרחי) היא מנוסחת לגמרי באמצעות טקסטים (קרי, מחרוזות סופיות מא"ב סופי ונתון..)
מספרים ממשיים שאינם רציונלים אינם יכולים להיות מעובדים על-ידי אלגוריתמים (בניגוד לטענתה של ד"ר ספרד בספר קדום שלה שבו היא זיהתה נוסחאות עם אלגוריתמים).
לצערי, הטקסטואליות של העיבודים האלגוריתמיים (ומכאן, של כל פעולות המכשירים ה"חכמים" שלנו) איננה מודגשת מספיק בהוראת מדעי המחשב. לכן, הכנת מוס וחציית כביש אינן פעולות אלגוריתמיות והכללים המקובלים לביצוען אינם אלגוריתמים.