קל להוכיח ש...

הם אמריקנים, הם מצטיינים במתמטיקה, הם לא גאונים, הם תופעה חדשה. כיצד קרה הדבר?
X זמן קריאה משוער: 21 דקות

בערב יולי חם ולח ישבו 600 אשפי מתמטיקה מכל העולם מכונסים בקבוצות קטנות סביב שולחנות ביסטרו. הם דיברו זה עם זה חרישית ו"ריפְרֶשוּ" ללא הרף את הדפדפנים במחשבים הניידים שלהם. ביניהם היה נער גבוה ועדין בן 17 בשם דייוויד סטוֹנֶר. האוויר בחלל הלובי של מלון לוטוס פּאנג סואן קאו בצ'יאנג מאי שבתאילנד היה הביל, מספר סטונר, ומבטא דק של דרום קרוליינה מחמם את מילותיו המחושבות. היה אפשר לחוש את המתח, כמו במשחק פוקר על כל הקופה.

אולי לא רואים זאת ברוב הכיתות, ואולי אי אפשר לדעת זאת מהירידה בממוצע הציונים הלאומי, אך מתבגרים אמריקנים רבים נוסקים כעת לגבהים אדירים בשמי המתמטיקה העולמית – רבים מאי פעם.

סטונר וחמשת חבריו לנבחרת ייצגו את ארצות הברית באולימפיאדת המתמטיקה ה-56. הם חשבו שהלך להם לא רע ביומיים של התחרות. אלוהים יודע שהם התאמנו ברצינות. סטונר, כמו שאר הנבחרת, היה במשטר מפרך במשך יותר משנה – הוא תרגל בעיות מורכבות בזמן ארוחת הבוקר, לפני הלימודים, ועבד על בעיות נוספות בשעות מאוחרות, לאחר שהשלים את שיעורי הבית לקורס המתמטיקה האקדמית שלקח בבית הספר. לפעמים הוא היה מתווה הוכחות על הלוח המחיק שאביו התקין בחדרו. ברוב הלילות הוא נרדם תוך כדי קריאת ספרים כגון "בעיות חדשות בגיאומטריה אוקלידית" או "מבוא למשוואות דיופנטיות".

טבעת מביוס

טבעת מביוס. תצלום: פלביו סרפיני.

ובכל זאת, היה קשה לדעת איך הלך לנבחרת שלו בהשוואה למעצמות כמו סין, רוסיה ודרום קוריאה. "את מתכוונת לזהב? אם יש סיכוי שנזכה בזהב?", הוא אמר. "בשלב הזה קשה לומר". לפתע נשמעה צעקה מצדו השני של הלובי, והיה נדמה שכל המתחרים עוצרים בבת אחת את נשימתם ורוכנים אל צגי המחשבים שלהם. בזמן שסטונר ניסה לעכל את מה שהוא רואה על הצג, עלה מפלס הרעש בלובי מזמזום לתרועה. ואז אחד מחברי הנבחרת שלו פלט צהלה שהובילה לקריאות "ארצות הברית! ארצות הברית!", ומחיאות כפיים רועמות מילאו את החלל. אחד מחברי נבחרתו שלף דגל אמריקני קטן מהתרמיל והחל לנופף בפנים קורנות. סטונר חייך מאוזן לאוזן. לראשונה זה 21 שנה זכתה ארצות הברית במקום הראשון. בסתיו, מחדרו במעונות הרווארד שם החל ללמוד השנה, הוא תיאר את הניצחון באיפוק, אך בדבריו ניכרה שביעות רצון. "זה היה רגע נהדר. ממש נהדר. בייחוד אם אתה אוהב מתמטיקה".

מערכת פדגוגית חדשה – המצויה כמעט כולה מחוץ למסגרת הלימודים הרגילה – גורמת לכך שתלמידים מצטיינים רוכשים ידע רב יותר במהירות גדולה יותר מאשר לפני עשר שנים.

זה לא היה ניצחון מקרי. אולי לא רואים זאת ברוב הכיתות, ואולי אי אפשר לדעת זאת מהירידה בממוצע הציונים הלאומי, אך מתבגרים אמריקנים רבים נוסקים כעת לגבהים אדירים בשמי המתמטיקה העולמית – רבים מאי פעם. ממדי התופעה אינם מוגבלים לקומץ המעוניין להתחרות באולימפיאדת המתמטיקה. התלמידים האלה הם תוצרים של מערכת פדגוגית חדשה – המצויה כמעט כולה מחוץ למסגרת הלימודים הרגילה – שהתפתחה באינטרנט, בערי החוף העשירות של ארצות הברית ובמוקדי הטכנולוגיה של המדינה. במקומות האלה תלמידים מצטיינים רוכשים ידע רב יותר במהירות גדולה יותר מאשר לפני עשר שנים. הם מתמודדים עם חומר מורכב להדהים. "מאגר המתבגרים האמריקנים שמסוגלים לעסוק במתמטיקה ברמה עולמית", אומר פּוֹ-שֶׁן לוֹ, המאמן הראשי של הנבחרת האמריקנית, "הוא רחב וחזק הרבה יותר משהיה בעבר".

את השינוי הזה ניתן לחוש באוניברסיטאות התחרותיות ביותר. בתקופה שבה קהילות עשירות ברחבי המדינה קוראות למעין פירוק נשק אקדמי, קמה לה קבוצת סטודנטים שהולכת דווקא בכיוון ההפוך. "עוד ועוד תלמידים מגיעים כעת לאוניברסיטאות לאחר שנחשפו כבר לנושאים מתמטיים מורכבים הרבה יותר משנהוג ללמד בתיכונים", אומר לוֹ. "מבחינתם של תלמידים אמריקנים הרעבים ללמוד מתמטיקה ברמה גבוהה", מוסיף פול זייץ, מרצה למתמטיקה מאוניברסיטת סן פרנסיסקו, "משהו גדול מאוד קורה כאן. זה דרמטי מאוד ומתרחש במהירות אדירה".

בעבר, רק מספר קטן של תיכוניסטים היו ניגשים למחנות קיץ מתמטיים מפרכים ובררניים דוגמת Summer Studies in Mathematics של המפשייר קולג' במסצ'וסטס, או Ross Mathematics Program של אוניברסיטת אוהיו סטייט, הקיימים כבר עשרות שנים. אך לאחרונה צצו עשרות מחנות העשרה מתמטיים חדשים עם שמות כמו MathPath, AwesomeMath, MathILy, Idea Math, sparc, Math Zoom ו- Epsilon Camp, והם פתחו את שעריהם למגוון רחב יותר של תלמידים, גם כאלה שאינם בהכרח ילדי פלא, אלא רק מפגינים כישרון ורעב למתמטיקה. ל"מעגלי המתמטיקה" בעמק הסיליקון ובאזור המפרץ – המנוהלים חלקם על-ידי עמותות קטנות, או אפילו מרצה בודד, ומציעים לחובבי מתמטיקה בגיל החטיבה והתיכון הזדמנות להשתתף בקבוצות קטנות המתמודדות עם בעיות מתמטיות בהנחיית דוקטורנטים, מורים, מרצים, מהנדסים ומתכנתים – יש כעת רשימות המתנה ארוכות. בסתיו האחרון בניו יורק היה קל יותר להשיג כרטיס למחזמר "המילטון" מאשר להתקבל לחלק ממעגלי המתמטיקה. אחדים מן המעגלים המשתייכים לתוכנית New York Math Circle, המנוהלת על-ידי NYU ובה 350 תלמידים, התמלאו תוך חמש שעות.

גם תחרויות המתמטיקה מתְרבות וצוברות פופולריות. מספר המשתתפים האמריקנים ב-Math Kangaroo, תחרות בינלאומית לכל גילאי בית הספר שהגיעה לראשונה לחופי ארצות הברית ב-1998, צמח מ-2,576 ב-2009 ל-21,059 ב-2015. יותר מ-10,000 תלמידי חטיבה ותיכון גולשים לאתר המתמטיקה Art of Problem Solving, שם הם משוחחים בחדרי צ'ט, קונים ספרי לימוד ומשתתפים בקורסים. ריצ'רד ראסיק, מייסד האתר, שהתחרה בעצמו באולימפיאדת המתמטיקה ועזב את עבודתו בתחום הפיננסים לפני 18 שנה, יפתח בהמשך השנה שני מרכזים בנויים בראלי, צפון קרוליינה וברוקוויל, מרילנד. הדגש יהיה על תחומים מתמטיים מתקדמים. השלב הבא יהיה תוכנית מקוונת לתלמידי היסודי. בשנה שעברה פתח זייץ – יחד עם שותפים מתחומי האקדמיה וההשקעות – את Proof School, בית ספר עצמאי קטן בסן פרנסיסקו המתמקד במתמטיקה מוגברת. עוד לפני שבית הספר פתח את שעריו לראשונה, הוצפו מנהליו בפניות מהורים שרצו לדעת מתי ייפתח סניף בחוף המזרחי ואם הם יכולים להכניס את ילדיהם לרשימת ההמתנה. ראסיק אומר כי "ישנו רעב ללא גבול ללימודי מתמטיקה מהסוג הזה".

הורים לתלמידים מקהילת המתמטיקה המואצת, שרבים מהם עוסקים בעצמם באחד מתחומי STEM (ראשי תיבות של "מדע, טכנולוגיה, הנדסה ומתמטיקה"), רושמים את ילדיהם לאחת או יותר מהתוכניות האלה כדי להשלים או להחליף את הוראת המתמטיקה בבתי הספר הציבוריים, ובייחוד ביסודי ובחטיבה, כיוון שהיא נראית להם רדודה ולעתים קרובות אף מבולבלת. אפשר להבין אותם. לפי לשכת הסטטיסטיקה לעבודה של ארצות הברית, חלק גדול מהצמיחה בכלכלה המקומית יגיע ממשרות הקשורות לתחומי STEM, שחלקן מציעות משכורות גבוהות מאוד. הדור החדש של תלמידי האוניברסיטה כבר הפנים את המסר, וכעת ניכרת עלייה במספר הסטודנטים המעוניינים להתרכז באחד מתחומי STEM. אבל שיעורי הנשירה גבוהים גם כן: בין 2003 ל-2009, 48 אחוז מהסטודנטים שלמדו באחד מתחומי STEM לתואר הראשון החליפו חוג או נשרו – לרבים מהם פשוט היה חסר הרקע הנדרש כדי להצליח.

שורשי הכישלון הזה טמונים בכיתות ב' ו-ג', אומרת אינסה ריפקין, ממייסדות תוכנית "בית הספר הרוסי למתמטיקה" (Russian School of Mathematics), שקלטה השנה 17,500 תלמידים לאקדמיות מתמטיקה הפועלות אחרי הצהריים ובסופי שבוע ב-31 אתרים ברחבי ארצות הברית. מומחים רבים מתלוננים על רמת ההוראה הנמוכה בכיתות האלה, אפילו בבתי הספר הטובים ביותר. לעתים המורים עצמם אינם שולטים היטב בחומר. ריפקין, שבעברה הייתה מהנדסת בברית המועצות, חוותה זאת על בשרה ב-1997. הילדים שלה, שלמדו בבית ספר ציבורי בניוטון העשירה שבמסצ'וסטס, למדו לפתור בעיות מתמטיות על-ידי שינון כללים ויישומם כמו מתכון, בלי שום הבנה של העקרונות המתמטיים הרחבים. "הייתי עוברת על שיעורי הבית שלהם, וזה נראה כאילו בכלל לא מלמדים אותם מתמטיקה", נזכרת ריפקין, שמדברת בנימה נחרצת, עטופה במבטא רוסי כבד. "הייתי אומרת לילדים, 'שכחו מהחוקים! פשוט חשבו!', והם היו אומרים, 'לא ככה מלמדים פה, זה לא מה שהמורה רוצה שנעשה'". באותה שנה היא ייסדה את בית הספר הרוסי סביב שולחן האוכל שלה יחד עם אירינה חווינסון, מורה מבריקה למתמטיקה.

ילדות אמריקניות לומדות על מספרי פיבונצ'י מהתבוננות בטבע.

ילדות אמריקניות לומדות על מספרי פיבונצ'י מהתבוננות בטבע. תצלום: ספריית מחוז Howard.

המורים בבית הספר הרוסי עוזרים לתלמידים להשתלט על עקרונות החשבון הבסיסיים, ולאחר מכן עוברים לנושאים מורכבים יותר. רמת הלימוד עולה עם הגיל, ובכל רמה התלמידים נדרשים לחשוב לעומק על בעיות לוגיות שאפשר לפתור רק על-ידי שימוש יצירתי בעקרונות המתמטיים שהם כבר למדו.

בערב קריר באחד מימי ראשון של דצמבר, בבית ספר בבֶּנסוֹנהרסט שבברוקלין, חלפו שבעה תלמידי כיתה ב' על פני פוסטר נוצץ ועליו תלמידים שלמדו בבית הספר הרוסי וזכו במדליות בתחרויות מתמטיקה. הילדים התיישבו בכיסאות בשעה שהמורה שלהם, איירין רובֶּר, הציגה בפניהם דוגמאות קונספטואליות לחיבור וחיסור – לדוגמה, היא קרעה דף נייר לחצי, והוסיפה משקולות לשני צדי מאזניים. דברים פשוטים. לאחר מכן התלמידים ניגשו ללוח בתורות כדי להסביר איך הם השתמשו בחיבור וחיסור כדי לפתור משוואה עם נעלם אחד, דבר שדורש מעט יותר מחשבה. לאחר הפסקה קצרה ביקשה רובר מכל ילד להמציא נרטיב שמסביר מה משמעות הביטוי 49+(18–3). הילדים המציאו סיפורים על פירות, נשירת וצמיחת שיניים ולמרבה השעשוע – מפלצות שירותים.

אף על פי שהתלמידים צחקו, ההסברים שלהם כלל לא היו שטחיים. רובר ותלמידיה הקשיבו בעיון להיגיון שבבסיס כל אחד מהסיפורים. כשילד בשם שון נתקע עם ההסבר שלו, רובר מיהרה לציין את הנקודה המדויקת שבה הוא החל להסתבך: במעשייה נלהבת על חקלאים, יבולים ושרצים אוכלי-תפוחים החל שון לתאר מה קרה ל-49 תפוחים, אך סדר הפעולות דרש ממנו לתאר תחילה את החיסור של שלושה מתוך 18 תפוחים. רובר תיקנה אותו בעדינות. לאחר מכן המציאו הילדים סיפורים גם על 49–(18+3) ו- 49–(18-3).

ריפקין מכשירה את מוריה להתמודד עם שאלות מאתגרות מתלמידים בכל הרמות, אפילו ילדים בגיל חמש, ולכן השיעורים נעים ללא הרף בין המובן-מאליו למופשט-להפליא. "באופן טבעי, הילדים הקטנים ביותר תופסים מתמטיקה בצורה שונה", היא אמרה לי. "לעתים קרובות הם שואלים שאלות פשוטות ורגע אחד לאחר מכן שולפים שאלה מורכבת מאוד. אבל אם המורה אינה שולטת היטב במתמטיקה, היא תענה על השאלה הפשוטה ותתעלם מהשאלה המסובכת. אנחנו רוצים שילדים ישאלו שאלות קשות, שישתתפו בשיעורים ויתעניינו, שיהיו מסוגלים לפתור תרגילי אלגברה בגיל צעיר אך בה בעת יבינו במה מדובר: כלי לחשיבה ביקורתית. אם המורים אינם יכולים ללמד אותם את זה – " ריפקין השתהתה וחיפשה את המילה שתביע את הייאוש שלה בצורה הטובה ביותר. "זוהי בגידה".

המתמטיקה קיימת כמעט מאז שחר הציביליזציה האנושית, ולכן מדהים לגלות עד כמה המומחים חלוקים בדעתם לגבי דרך ההוראה הטובה ביותר של המקצוע העתיק הזה. זה עשרות שנים מתנהלים קרבות סוערים לגבי תכני הלימוד, סדר הצגתם, למה ואיך. באופן כללי קיימים שני מחנות. בצדו האחד של המתרס נמצאים אלה שמעדיפים ידע קונספטואלי – הבנה של האופן בו המתמטיקה מתחברת לעולם – על פני שינון ותרגולים מתישים (כמה מומחי מתמטיקה ידועים ומכובדים אומרים ששינון במתמטיקה הוא חסר ערך וחונק את התשוקה ללמידה). מצדו האחר של המתרס נמצאים חסידי השינון ולוח הכפל, שאומרים כי בלי הכלים האלה אי אפשר ללמוד כיצד לחשב ביעילות. הם אומרים שלימוד הכללים וההליכים שמושלים במתמטיקה הוא התשתית להוראה נכונה וחשיבה מתמטית מתוחכמת.

יוזמת Common Core State Standards Initiative (שמגדירה מה תלמידי הבית ספר צריכים לדעת באנגלית ובמתמטיקה בסוף כל כיתה), מנסה לתמרן בשדה המוקשים הזה. היא קוראת למורים להעניק משקל זהה ל"הבנה מתמטית" ו"מיומנויות פרוצדורליות". מוקדם מדי לדעת מה תהיה השפעתה של היוזמה. אך ברור שרוב התלמידים כיום אינם רוכשים ידע מתמטי רב: רק 40 אחוז מתלמידי כיתה ד' ו-33 אחוז מתלמידי כיתה ח' נחשבים "בקיאים" ומעלה. במבחן בינלאומי שנערך ב-2012, רק תשעה אחוז מהאמריקנים בני ה-15 דורגו בקטגוריית ה"ציונים הגבוהים" במתמטיקה, בהשוואה ל-16 אחוז בקנדה, 17 אחוז בגרמניה, 21 אחוז בשווייץ, 31 אחוז בדרום קוריאה ו-40 אחוז בסינגפור.

לתוכניות החדשות דוגמת בית הספר הרוסי, שמתקיימות מחוץ למסגרת בית הספר הרגילה, יש תוכניות לימודים ושיטות לימוד שונות, אך העקרונות הבסיסיים משותפים. ייתכן שהעיקרון החשוב ביותר הוא להקנות לתלמידים יכולת חשיבה קונספטואלית וללמד אותם כיצד להשתמש בה ככלי לחיזוי, חקירה והבנה של העולם סביבם. התלמידים בתוכניות האלה אינם מקדישים זמן רב לתרגול או ליישום רשימה של נוסחאות שנלמדו בעל-פה. חישוב מהיר אינו נחשב למידה טובה (בחלק מקהילות המהגרים, בתי הספר שמים דגש רב על שינון ו"חרישה" למבחנים, ומורים פרטיים רבים לילדים ממשפחות עשירות משתמשים בגישה הזאת גם כן, אך זה ההפך מהגישה של התוכניות המואצות החדשות). אמנם התלמידים צריכים ללמוד עובדות ונוסחאות מתמטיות במהירות כדי לעמוד בקצב של חבריהם לכיתה, אך זה תוצר לוואי, לא העיקר.

מחנה מתמטיקה לילדים.

מחנה מתמטיקה לילדים. תצלום: Abraxas3d

האסטרטגיה הפדגוגית שבלב התוכניות האלה מכונה לעתים "פתרון בעיות", מונח פשטני שאינו מבהיר עד כמה הגישה הזאת שונה מהמקובל. זה זמן רב שגישת פתרון הבעיות היא עמוד תווך במדינות ברית המועצות לשעבר ובאוניברסיטאות עילית כמו MIT והמכון הטכנולוגי של קליפורניה. היא פועלת כך: המורים עומדים מול קבוצה קטנה של תלמידים, לרוב בעלי רמה זהה, ומציגים בפניהם מספר קטן של מצבים פתוחים ומורכבים שניתן לפתור באמצעות גישות שונות.

הנה דוגמה שלקחתי מ- Expii.com, אתר מתמטיקה ומדע חדש:

"תארו לכם חבל שנמתח בצמוד לקרקע לכל אורך קו המשווה (הניחו שכדור הארץ הוא כדור מושלם ללא הרים או עמקים). אתם חותכים את החבל ומחברים אליו חבל נוסף, באורך 710 אינץ' (18.034 מטר). זה מאריך את החבל במעט יותר מאורכו של אוטובוס, או גובהו של בניין בן חמש קומות. עכשיו תארו לכם שהחבל מורם בכל נקודה בו-זמנית, כך שהוא מרחף מעל פני כדור הארץ באותו גובה לכל אורכו. מהו הדבר הגדול ביותר שאפשר להכניס מתחת לחבל?"

האפשרויות הן חיידקים, פרת משה רבנו, כלב, איינשטיין, ג'ירפה או מעבורת חלל. ואז המורה מנחה את התלמידים בעודם מנסים לנתח ולפתור את הבעיה. בניגוד לרוב שיעורי המתמטיקה, שבהם המורים מתקשים להקנות ידע לתלמידיהם – הילדים נאלצים לספוג אותו באופן פסיבי ואז להקיא אותו שוב על דף המבחן – שיעורי פתרון בעיות דורשים מהתלמידים לבצע את המקבילה הקוגניטיבית להרמת משקולות: לחקור, להעלות השערות, לנבא, לנתח ולוודא שוב את האסטרטגיה המתמטית שלהם. המטרה אינה ליישם אלגוריתמים בצורה מדויקת, אף על פי שגם לבעיה הנ"ל יש, מן הסתם, תשובה נכונה (התשובה היא איינשטיין). הדבר החשוב ביותר הוא ניתוח מעמיק של הבעיה, קרי יישום יצירתי של הידע המתמטי הקיים ובחינת פתרונות אפשריים. אם שיעורי אלגברה רגילים הם כמו הרצאה יבשה על עקרונות של כתיבת תווים, הרי ששיעורי "פתרון בעיות" הם כמו חזרות לאופרה מפוארת.

במעגלי המתמטיקה בניו יורק, בבית הספר הרוסי ובחדרי הצ'ט של אתרי המתמטיקה אני חשה התלהבות כנה בקרב תלמידים ומורים גם יחד. גם בכיתות הנמוכות המורים הם בעלי ידע רב ותשוקה למקצוע. "רבים מהם עובדים בתחומים המשיקים למתמטיקה – כימיה, מטאורולוגיה והנדסה – ומלמדים במשרה חלקית", אומרת ריפקין. הם מאמינים שמדובר במקצוע נגיש ומעניין ביותר, ואנחנו מעודדים אותם להעביר את האמונה הזאת לתלמידים.

אם נשים את ההתלהבות בצד, נגלה שהגישה הפדגוגית עצמה מחושבת ושקולה. השיעורים מתוכננים היטב, ומערכי השיעור של כל מורה נבדקים על-ידי מנחה. המורים צופים בסרטונים של אשפי הוראה המסבירים במיומנות איפה התלמידים נוטים להתבלבל בכל נושא. המורים אף עורכים ישיבות וידאו משותפות ומבקרים את טכניקות ההוראה של עמיתיהם.

רבות מהתוכניות האלה – ובייחוד במחנות, בתחרויות ובמעגלי המתמטיקה – מייצרות תרבות ייחודית ותחושה עמוקה של שייכות, החשובה מאוד לתלמידים המתעניינים במתמטיקה אך סובלים מהמגושמות האופיינית למתבגרים. "כשהשתתפתי בתחרות המתמטיקה הראשונה שלי", בגיל 11, "הבנתי בפעם הראשונה שזה השבט שלי", אמר דייוויד סטונר, שהצטרף למעגל מתמטיקה שנה אחת לאחר מכן ותוך זמן קצר הפך לדמות מוכרת באתר Art of Problem Solving. אחד מערכי היסוד הוא שיתוף פעולה חופשי בין גילאים, מינים ואזורים גיאוגרפים שונים. אף על פי שקהילת המתמטיקה המואצת מורכבת בעיקר מבנים, עוד ועוד בנות מצטרפות כעת למסיבה. כשהילדים רוצים להירגע קצת הם משחקים להנאתם במשחקי אסטרטגיה כמו "דומיניון" ו"המתיישבים של קטאן", או ב"שחמט שוודי", גרסת זוגות מהירה למשחק הידוע. בתוכנית הקיץ של אולימפיאדת המתמטיקה, שאינה אלא מחנה אימונים למשתתפים העתידיים באולימפיאדה, נערכה בקיץ האחרון תחרות כישרונות, ואחד המופעים היה קבוצת נערים המתכנתים יחד בעודם שרויים ב"תנוחת מוט".

התלמידים מדברים על שאיפותיהם המקצועיות ברמת ביטחון מפליאה. הם יודעים שפתרון בעיות כתחביב מוביל לפתרון בעיות כפרנסה. לעתים יש קשר ישיר בין הדברים: לדוגמה, חברות טכנולוגיה ידועות מחפשות כישרונות ב-Brilliant.org, קהילת מתמטיקה מקוונת שנוסדה בסן פרנסיסקו ב-2012. "הכסף הולך בעקבות המתמטיקה", הוא פזמון חוזר במסגרות האלה.

אף על פי שנעשים כעת מאמצים לשיפור רמת ההוראה בבתי הספר הציבוריים בעזרת טכניקות הלקוחות ממסגרות ההעשרה שתיארתי במאמר זה, עדיין קשה לראות את התוצאות בשטח.

כמעט כל חברי קהילת המתמטיקה המואצת אומרים שכדי לטפח מוחות מתמטיים מתוחכמים יש להתחיל בגיל צעיר ולשלב מגוון של חוויות למידה קונספטואליות מעמיקות כבר בבתי הספר היסודיים ובחטיבות הביניים. שיעור התלמידים האמריקנים שמסוגלים לפתור בעיות מתמטיות מורכבות יוכל להיות גבוה הרבה יותר. "האם כולם ילמדו באותו קצב? לא, הם לא", אומר פּוֹ-שֶׁן לוֹ, מאמן הנבחרת האמריקנית. "אבל אני מבטיח לך שבעזרת התמדה וגישה פדגוגית נכונה, הרבה יותר תלמידים אמריקנים יוכלו להגיע לשם".

תלמידים בעלי זיקה למתמטיקה זקוקים להזדמנויות למידה נוספות – ולאפשרות להיות בחברת חובבי מתמטיקה נוספים – בדיוק כפי ששחקן כדורגל מוכשר צריך להצטרף לקבוצה מקצועית כדי לשכלל את כישוריו. וטוב מוקדם ממאוחר: מתמטיקה היא מקצוע המבוסס על רצפים והיררכיות. "אם מחכים עם הלימודים המואצים עד התיכון", אמר לוֹ, "יהיו חסרים לתלמידים יותר מדי יסודות והם יתקשו להדביק את הפער שנים ספורות בלבד לפני האוניברסיטה". הסיכוי שתלמידים ברמה "טובה" בבית ספר ציבורי רגיל יצליחו להשתלב בקהילת המתמטיקה המתקדמת, הוא קטן מאוד.

כל זה מציב בפנינו מכשול משמעותי. מרבית ההורים במעמד הביניים שוקלים לשלוח את ילדיהם בני ה-8-9 לתוכניות ספורט ומחנות קיץ, אך הם אינם מעלים בדעתם לשלוח אותם לתוכניות העשרה במתמטיקה אלא אם הם מתקשים. "צריך להכיר את התוכניות האלה, לגור בשכונה שבה המשאבים האלה קיימים, או לפחות לדעת איפה לחפש", אומרת סוּ קים, ממייסדות Brilliant.org. ומכיוון שתוכניות רבות הן פרטיות, הן אינן בהישג ידן של משפחות עניות: סמסטר במעגל מתמטיקה עולה כ-300 דולר, שנה בבית הספר הרוסי כ-3,000 דולר, וארבעה שבועות במחנה מתמטיקה עלולים לעלות גם פי שניים מזה. נתונים לגבי רמת ההישגים הלאומית משקפים את הפער הזה בבירור. אם נביט במדינות מפותחות אחרות נראה שהיחס בין אשפי מתמטיקה עשירים לעניים הוא 3 ל-1 בדרום קוריאה ו-3.7 ל-1 בקנדה. בארצות הברית היחס הוא 8 ל-1. ובעוד שיש עלייה בשיעור התלמידים האמריקנים שמשיגים ציונים גבוהים במתמטיקה, העלייה הזאת מוגבלת בעיקר לילדים להורים משכילים, וכמעט שאינה ניכרת במשפחות עניות. בגילאי סיום התיכון, אחוז תלמידי המתמטיקה המואצת ממשפחות בעלות הכנסה נמוכה שואף לאפס.

בעיני דניאל זָהארוֹפּוֹל, מייסד ומנכ"ל עמותת Bridge to Enter Advanced Mathematics (או BEAM), כדאי ליישם פתרון לטווח קצר. "אנחנו יודעים שיכולת מתמטית היא תכונה אוניברסלית ושהעניין במתמטיקה מתחלק בצורה שווה, פחות או יותר, בין שכבות האוכלוסייה השונות", הוא אומר, "ואנחנו רואים שכמעט אין תלמידי מתמטיקה מצטיינים ממשפחות בעלות הכנסה נמוכה. לכן אנחנו יודעים שיש הרבה, הרבה תלמידים בעלי פוטנציאל הישגי במתמטיקה שלא קיבלו הזדמנות לפתח את כישוריהם פשוט מכיוון שהם נולדו להורים הלא נכונים או באזור הלא נכון. אנחנו רוצים למצוא אותם".

זהארופול, שלמד מתמטיקה ב-MIT בתואר הראשון ואז עשה תואר שני במתמטיקה ובהוראת מתמטיקה, עורך כעת ניסוי שאנשי חינוך וחברים בקהילת המתמטיקה המתקדמת עוקבים אחריו מקרוב: מדי שנה הוא מבקר באביב בחטיבות ביניים בניו יורק שבהן לומדים ילדים ממשפחות עניות. הוא מחפש תלמידים שיוכלו, בעזרת המורים הנכונים ומעט תמיכה כלכלית, להשתלב בתחרויות מתמטיקה ובמעגלי מתמטיקה, ובסופו של דבר בלימודי STEM באוניברסיטה תחרותית.

זהארופול אינו מעוניין לגייס תלמידים שמצטיינים בלימודים באופן כללי. התוכנית שלו מעניקה לתלמידיה תמיכה מקיפה, מהסוג שחְנוּנֵי-מתמטיקה עשירים מקבלים: מחנה בן שלושה שבועות בקיץ שלפני כיתה ח', לימודי העשרה אחרי הצהריים, סיוע בהרשמה למעגלי מתמטיקה, אימון לתחרויות וייעוץ כללי לגבי בחירת תיכונים והרשמה לאוניברסיטאות. תלמידים המקבלים מאיות במתמטיקה מעניינים אותו רק עד גבול מסוים. "הם אינם חייבים לאהוב את בית הספר, או אפילו את שיעורי המתמטיקה", הוא אומר. הוא מחפש דווקא ילדים בעלי שילוב מסוים של יכולות: כישורים לוגיים חזקים, יכולת לתקשר בבהירות, סיבולת. וישנה תכונה נוספת, חמקמקה אך חיונית: "אני מחפש ילדים שנהנים לפתור בעיות מורכבות", אומר זהארופול. "העיסוק במתמטיקה אמור להסב להם הנאה".

לפני חמש שנים, כשזהארופול נכנס לחטיבת ביניים 343, בניין חסר חן באזור קשה בדרום ברונקס, והתיישב לצדו של זאבייר ג'נקינס, תלמיד כיתה ז' בעל חיוך גדול ומוהוק, סיכויי ההצלחה של הניסוי לא נראו גבוהים. 13 אחוז בלבד מתלמידי בית הספר היו ברמה המתאימה לכיתה ז' באנגלית, ו-57 אחוז בלבד היו ברמה המתאימה במתמטיקה. חטיבת ביניים 343 לא נראתה כמו החממה שתצמיח את אילי הטכנולוגיה או המהנדסים הרפואיים של המחר.

אך תוך כדי שיחה למד זהארופול שלג'נקינס יש זיקה "משונה", כפי שאומרים אחיו וחבריו, לתבניות ומספרים. ג'נקינס הודה בפני זהארופול שלאחרונה הוא חש מתוסכל. הוא משלים את מטלות המתמטיקה שלו בצורה מדויקת, אבל הן מתחילות לשעמם אותו.

זהארופול ביקש מג'נקינס לעשות כמה חישובים פשוטים, שאותם הוא ביצע בקלילות. ואז זהארופול נתן לו חידה וחיכה לראות מה יקרה:

"יש לך מגרה מלאה בגרביים, וכל אחד מהם הוא אדום, לבן או כחול. אתה מתחיל להוציא את הגרביים בלי להביט בהם. כמה גרביים תצטרך להוציא מהמגירה כדי להיות בטוח שיש לך לפחות זוג אחד באותו צבע?"

"זאת הייתה הפעם הראשונה שנתקלתי בבעיה מתמטית בלי תשובה פשוטה", נזכר ג'נקינס. בהתחלה הוא פשוט הכפיל שתיים בשלוש וקיבל שש גרביים. אבל הוא לא היה מרוצה מהתשובה, והתחיל לנסות אסטרטגיות אחרות.

"זה עודד אותי מאוד", אמר לי זהארופול. "ילדים רבים פשוט מניחים שהם הגיעו לתשובה הנכונה". לאחר כמה דקות הוא הראה לג'נקינס דרך שונה לגשת לבעיה. החדר נטען באנרגיה. "לא רק שזאבייר הגיע לתשובה הנכונה" – ארבע – "אלא שהוא באמת הבין את הפתרון לעומק", אמר זהארופול. "ונראה שהוא נהנה מהחוויה". ארבעה חודשים לאחר מכן ג'נקינס התגורר עם 16 תלמידים נוספים בין ז' ל-ח' במעונות תוכנית הקיץ של BEAM, בקמפוס של בארד קולג' מצפון לניו יורק. הוא ושאר התלמידים למדו שם תורת המספרים, רקורסיה ותורת הגרפים מבוגרי מתמטיקה, מורים ומרצים מהאוניברסיטאות הטובות ביותר במדינה. בזכות ייעוץ מ-BEAM הוא נרשם ללימודי העשרה בתכנות שהובילו להתמחות במיקרוסופט. כיום הוא תלמיד י"ב, וכבר הגיש מועמדות לכמה מחוגי ההנדסה הטובים בארצות הברית.

עמותת BEAM, שקיימת חמש שנים בלבד, הספיקה לגדול פי ארבעה מאז שנוסדה – בשנה שעברה השתתפו במחנה הקיץ שלה 80 תלמידי חטיבה, וברשת שלה חברים כ-250 תלמידים מצטיינים ממשפחות בעלות הכנסה נמוכה. אך המימון עדיין מוגבל. "אנחנו יודעים שיש עוד הרבה מאוד ילדים ממשפחות עניות שאנחנו לא מגיעים אליהם, שאין להם גישה לתוכניות מהסוג הזה", אמר זהארופול.

דגם גאומטרי של קונכיית ים.

דגם גאומטרי של קונכיית ים. תצלום: thisistami

בינתיים כבר ניתן כינוי לשורה של יוזמות המנסות לתרגם את היתרונות של BEAM, מעגלי המתמטיקה, בית הספר הרוסי והאתר Art of Problem Solving לטווח רחב יותר של תלמידים, כולל תלמידים ממשפחות מעמד ביניים ומעמד נמוך: "תוכניות מחוננים ומוכשרים". התוכניות האלה מקבלות מימון ציבורי ועשויות להתחיל כבר בגילאי היסודי. אבל ליוזמות מהסוג הזה יש היסטוריה בעייתית. הקריטריונים לקבלה אינם אחידים, והם נוטים להקל על ילדים עשירים; הורים מפעילים לחצים על מורי בית הספר כדי לקבל המלצה; וחלק ממבחני הכניסה המתוקננים בודקים אוצר מילים וידע כללי – לא כישורי ניתוח יצירתיים. במקומות אחדים, ההורים משלמים למורים פרטיים כדי שיכינו את ילדיהם למבחני הכניסה, או אפילו דואגים שילדיהם ייבחנו באופן פרטי.

אף על פי שתוכניות רבות מסוג זה עדיין קיימות, אנשי החינוך סולדים מהן מפאת העדר ההוגנות בתנאי הקבלה, ורואים בהן כלי שבאמצעותו הורים לבנים ואסיאתים עשירים משתמשים בכספי הציבור כדי להעשיר את ילדיהם המועשרים-ממילא (התווית המרגיזה "מחוננים ומוכשרים" לא עוזרת).

חוק No Child Left Behind, שהנחה את מערכת החינוך ב-15 השנים האחרונות, רק החריף את ההזנחה הפושה בתוכניות האלה. החוק מתעלם מילדים בעלי כישרון או תשוקה ללמידה מואצת ודורש שהמדינות יתמקדו בסיוע לתלמידים מתקשים – מטרה אצילית בפני עצמה. אך כתוצאה מכך, בתי ספר בשכונות עניות מתמקדים כבר שנים בילדים בעלי הישגים נמוכים ומסרבים להאמין שתלמידיהם המבריקים ביותר הוזנחו. יש מורים הטוענים כי בבתי הספר שלהם אין תלמידים מחוננים כלל.

לאור כך נדחקה הלמידה המואצת אל מחוץ לבתי הספר הציבוריים ועברה תהליך של הפרטה שהיטיב עם ילדים להורים אמידים. המצב הזה ניכר כיום במתמטיקה יותר מבכל מקצוע אחר.

החדשות הטובות הן שמדיניות החינוך מתחילה לשנות כיוון. נדמה כי המחוקקים האמריקנים מתחילים להבין שכל המתבגרים יוכלו להפיק תועלת מהזדמנויות ללמידה מואצת, כאלה שהיו בעבר נחלתם הבלעדית של ילדים משכונות עשירות. לכן בתי ספר ציבוריים רבים נדרשים כעת להגדיל את היצע הקורסים המתקדמים (שמזכים את התלמידים בקרדיט אקדמי) ולהרחיב את ההרשמה לקורסים אקדמיים מקוונים. אך ההזדמנויות האלה כבר לא יספיקו לעזור לתלמידים רבים ממעמד הביניים והמעמד הנמוך, שהיו עשויים ללמוד לאהוב מתמטיקה.

אפשר להתעודד מכך שחוק Every Student Succeeds, שהחליף לאחרונה את No Child Left Behind, דורש ממדינות ארצות הברית להבין שתלמידים מהסוג הזה נמצאים בכל אזור, ולעקוב אחר התקדמותם. לראשונה בתולדות ארצות הברית, החוק מתיר לבתי הספר מפורשות להשתמש במימון פדרלי כדי להתנסות בדרכים חדשות לאיתור תלמידים מוכשרים ממשפחות עניות בגילאים מוקדמים, ולהכשיר מורים שינחו אותם. ייתכן שכדאי להתחיל מסינון אוניברסלי בבתי ספר יסודיים. במחוז בראוורד בפלורידה, למשל, היו אנשי החינוך מודאגים מכך שמעט מדי ילדים עניים, או ילדים שאנגלית אינה שפת אמם, מופנים לתוכניות מחוננים. לכן מ-2005-2007 הם ערכו לכל תלמידי כיתה ב', עשירים ועניים גם יחד, מבחנים לוגיים בלתי מילוליים, ולמצטיינים ערכו מבחני מנת משכל. אף על פי שהדרישות נותרו כשהיו, מספר הילדים מאוכלוסיות מוחלשות שזוהו כמועמדים מתאימים ללמידה מואצת, עלה בתקופה זו ב-180 אחוז.

על כל אחת ממדינות ארצות הברית להחליט אם להיענות לאתגר וכמה להשקיע בו. חסידי הגישה אומרים שהם החלו להכין קמפיין שיעודד אותן לצאת לדרך. אולי הגיעה השעה שחברי קהילת המתמטיקה המתקדמת, שכבר נחלו הצלחה רבה בטיפוח מתמטיקאים צעירים, יתפסו פיקוד ויראו לאנשי החינוך הציבורי מה עליהם לעשות.

 

פּג טייר היא מנהלת האסטרטגיה בקרן אדווין גולד ומחברת הספר The Good School: How Smart Parents Get Their Kids the Education They Deserve.
כל הזכויות שמורות לאלכסון.


Copyright 2016 by The Atlantic Media Co., as first published in The Atlantic Magazine. Distributed by Tribune Content Agency

תורגם במיוחד לאלכסון על ידי תומר בן אהרון

מאמר זה התפרסם באלכסון ב על־ידי פּג טייר, Atlantic.


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

10 תגובות על קל להוכיח ש...

02
ד.

הכל טוב ויפה בתנאי - - - שהמטרה העליונה היא הגדלת מספר התלמידים בעלי הנטייה למתמטיקה שאכן מקבלים הכשרה כזו.

אבל - למה זו המטרה העליונה? אולי המטרה העליונה היא הכשרת כל תלמיד להבנת המציאות החברתית, חיים של שיתוף פעולה, אהדה וחמלה לזולת?
או אולי מטרה אחרת? או מטרה מעורבת מכמה תחומים?

לתרבות האמריקאית יש סרגל אחד, של הצטיינות אישית שמסתכמת בכסף. האמירה השגורה שם היא: "אם אתה כל כך חכם, למה אתה לא עשיר?" בתרבות כזו הכתבה נשמעת הגיונית כי התפיסה הנוכחית היא שידע מתמטי= טכנולוגיה = כסף. אבל בתרבות שמקדשת את הפער החברתי ומגדילה אותו בהתמדה יש מי שמשלם את המחיר - לדוגמה מספר השיא של אסירים באותה "חברת מופת", אחוז גבוה יותר מכל דיקטטורה כושלת.

האם אנו רוצים לחיות בחברה כזו? לגדל בה את ילדינו? לחלות בה, להזדקן ולסיים את חיינו? או שנעדיף חברה שלווה, תומכת, נהנית משיתופי פעולה הדדיים של תושביה ומעזרה נדיבה לנצרכים ?
ואיזה מין חינוך אנו צריכים לתת - לאחר ששמנו לנגד עינינו מטרה טובה יותר מהשגיות אישית והתעשרות?

03
גדי

לאבא לילדה בגן החובה.
אין מטרה עליונה אחת, אלא המטרה צריכה ללהיות מה מתאים לילד ושם להוציא את המקסימום. גם בארץ מתעלמים כבר שנים ממחוננים. חלקם אפילו מסווגים כבעלי קשיי לימוד.
ומה הפלא אם הם כל השיעור משתעממים לגמרי כי המורה משקיע את כולו בהסברים לתלמידים החלשים?
לא סתם אמרו חז"ל - חנוך לנוער על פי דרכו.
כמו שיש להשקיע במתקשים, חשוב לא פחות להשקיע במצטיינים. חשבון ביסודי אפשר כל כיתה לחלק ל-6 הקבצות כאשר כל הקבצה מתקדמת בקצב שלה.
תוכנית הלימודים של משרד החינוך מגדירה ידע בחיבור חיסור עד עשרים כיעד של סוף כיתה א. אני מודע לכך שיש כאלו שגם בזה מתקשים, ולזה יש סיבות ודרכי פתרון, אולם מה יעשו הרבה מאד ילדים שאת החומר הזה כבר יודעים בגן חובה?? ברור שהם צריכים להתקדם מהר יותר לחומר של כיתה ב' וג'.

ואע"פ שהיום לא יפה ולא נאה לחלק להקבצות, אין ברירה, כי אחרת התוצאה היא בינוניות איומה. ולחיות בחברה בינונית זה גרוע, ואם אתה דואג למטרות חברתיות דע לך שהצמדת ילד מצטיין כחונך אישי לילד מתקשה שנה או שתיים מתחתיו, תקדם את שניהם רבות.

ובהחלט חינוך צריך לחנך להשגיות ולהצטיינות. מה הקשר בין זה לבין התעשרות? חסרים אנשים מוצלחים שאינם עשירים ולהבדיל עשירים שהונם בא להם במקרה או שלא כחוק או בצורות אחרות?

04
יורם

דווקא מדינת ישראל בולטת בטיפוח המחוננים שלה, לפחות מבחינות אחדות: היא אחת משלוש המדינות היחידות בעולם שממיינת את כלל אוכלוסיית הילדים בכיתה ב' כדי לאתר מחוננים (כמדיניות של המדינה עצמה, פרט לקבוצות מסוימות שמסרבות). וביחס למצבה הכללי של מערכת החינוך, ההשקעה במחוננים רבה. יחד עם זאת, יש בעיה של מודעות בקרב רבים מאוד מן המורים בבתי הספר, עניין שעובדים עליו כבר שנים. מחוננים הם חריגים ולא מעט מתכונותיהם חופפות את התכונות של "הקצה האחר של הסקאלה", כלומר "טעוני הטיפוח". יש בקרב מחוננים תפוצה גבוהה מן הממוצע של הפרעות קשב וריכוז ועוד תופעות שמציבות את טיפוח המחוננים כאתגר רב ממדי. אני יכול לומר שאילו כל מערכת החינוך הייתה נראית כמו המערך לטיפוח מחוננים ב-20 שנה שאני מכיר אותו - היה מצבו של החינוך בישראל טוב הרבה יותר.

    05
    טוביה בר-נוי

    שלום יורם
    כתבת 'ש בעיה של מודעות בקרב רבים מאוד מן המורים בבתי הספר, עניין שעובדים עליו כבר שנים'.
    האם יש סימוכין לכך (מחקרים המראים שאכן יש בעיית מודעות, ומי ואיך 'עובדים על כך'.

      06
      יורם

      שלום טוביה, 20 שנה של מעורבות במערכת טיפוח המחוננים, מכל צדדיה, הראו לי שמורים רבים בבתי ספר רבים אינם מודעים לילדים המחוננים, לתכונותיהם, בעיותיהם, קשייהם וכו'. אם אתה רוצה הפניות לספרות מחקר עדכנית על כך, כתוב לי למייל שלי באלכסון ואשמח לשלוח לך רשימה. וב"עובדים על כך" התכוונתי, בעיקר, לכל מי שעוסקים בטיפוח מחוננים, בניהול מרכזי מחוננים, במגע עם המורים בבתי הספר הרגילים ובטיפוח מורים למחוננים (ובכלל זה עבדך הנאמן).

08
אבא לבנים וסבא לנכדות.

מי שבוחר בממשלה כזו, וזה רובם של תושבי המדינה, כנראה זה בדיוק מה שהוא רוצה. חברה חזירית, שכל אחד חושב על עצמו ללא צדק וללא מוסר. העשיר החזק ובעל השררה הם הצודקים וזה נובע בדיוק מהפיסקה המובעת בדבריו של האבא לילדה.
ראש הממשלה שלנו שגדל וחונך בחברה האמריקאית ייבא לכאן רק את הערכים של הצלחה בכל מחיר גם על חשבון ערכי חמלה ושיוויון.
הציבור הנבון שעדיין שורד בארץ הזו שרובם מבוגרים, לא יכול להשפיע,
והצעירים שימשיכו את דרכה של המדינה לא מקבלים כלים להבנה מהן המחלות מהן סובלת החברה בה הם חיים, וכל זאת מהחינוך המתדרדר והולך. חברה שתרבות היא מוקצה, הצגות ומוסיקה קלסית וספרות הם טאבו. כל זה הוא פועל יוצא מיבוא של החלקים המכוערים והרעים של החברה והתרבות האמריקנית.

09
ערמומייל

כמי שבילה לא מעט במערכת החינוך למחוננים בישראל - ניכר שגם אצלינו התפיסה דומה והרעיון הוא לגרות את המחשבה ולתת כלים, לאוו דווקא מתמטיים כדי להביט בדברים בראיה ביקורתית.
לא ברורות לי התגובות המקוננות שמשלבות פוליטיקה וייללנות על הממשלה (ממשלה? ברצינות? זו רמת הדיון?) לכתבה
אך אני כן מתחבר לחלוטין לתגובה ששואלת - מהו הערך המקודש.
מתמטיקה. הו כה רומנטי.
אבל האם זו החברה אליה אנחנו מכוונים?

10
Yih

ברצינות? אני קורא כתבה מעוררת השראה על דרכים חדשות לשיפור יכולות של תלמידים, מה שיכול להשפיע לטובה על עתידם ובהחלט גם על עתיד העולם, ואנשים אחרים רואים כאן פעולה שפלה מבחינה מוסרית. כאילו, אסור להציע דרכים לשיפור הלימוד? ומאיפה ההנחה שזו ה'מטרה העליונה', בחייכם.
תנו לי להיות בוטה: חברה שבה אנשים מתמקדים בשיפור עצמי והגשמת מטרותיהם מוסרית פי כמה בעיני מחברה שבה כל פרט מתמקד בכמה מרוויח השכן בדרך לאוטופיית שוויוניות מדומיינת שבה אין מוכשרים ואין עשירים ואין יותר מאשר בינוניות מדכאת וחששנית.
והנה בוטה באמת: מה חזירי יותר, לנסות להרוויח יותר או להכניס יד לכיס השכן שמרוויח יותר? הגיע הזמן להפסיק לחשוב בתבניות מנותקות ולהתעלות מעל הפוריטניות המוסרנית החד ממדית הזו.