כשהמלאכים ירדו מקצה המחט

אלפי שנים ערמו בני האדם מלים ועוד מלים, עד שהחלו להפוך צלילים לתווים ואותיות, ואותיות למלים, ומלים להגדרות. אבל רק כשאת האותיות החליפו ספרות, החלה המהפכה שאנחנו חלק ממנה עד היום. איך זה קרה?
X זמן קריאה משוער: 9 דקות

בשנת 1025, שני נזירים מלומדים, רדולף מליאז' ורגימבולד מקלן, החליפו מכתבים אחדים על אודות נושאים מתמטיים שהם נתקלו בהם בשעה שקראו בכתב יד של הפילוסוף הרומי בן המאה השישית, בואתיוס, שכתביו היו בין המקורות המתמטיים המעטים שהיו זמינים בימי הביניים. הנזירים הללו לא היו מתמטיקאים, אבל הם היו חקרנים ובערה בהם התשוקה לקדם את ידיעותיהם. הם התעמקו בדבריו של בואתיוס. והם התקשו. בייחוד הם תהו על המשפט שקבע שסכום הזוויות הפנימיות במשולש שווה לשתי זוויות ישרות. "זוויות פנימיות" של משולש? מה זה יכול להיות? לאף אחד מהשניים לא היה מושג.

כיום, אפילו מי שחשים דחיה ממתמטיקה מזהים את האמת הגאומטרית הבסיסית שרדלוף ורגימבולד התקשו לתפוש, שכן אנו חיים בחברה ספוגה במספרים, מוקפים באינספור ביטויים של מתמטיקה. "אוריינות מספרית" (numeracy) מוגדרת באורח רחב כיכולת לעסוק בנימוקים מספריים ובמושגים מתמטיים אחרים, והיא התשתית של התפוצצות המידע שאנו נתונים בה. הקלישאות שלה ממלאות את השיח היומיומי: "תעשו את החשבון", "תנתחו את המספרים", "תחשבו את הסיכויים". מלידה ועד מוות, מספרים הולכים בעקבותינו, הן מוסדית והן דמוגרפית. יש מי שלועגים להרגלים כאלו (תחשבו על האמירה המפורסמת של מרק טוויין על אודות "מספרים": "שקרים, שקרים ארורים וסטטיסטיקה"), אך כולנו מקבלים שאוריינות מספרית היא עניין נתון מבחינה תרבותית, וגם מסכימים שהמתמטיקה מניעה את המדע, את הטכנולוגיה ואת התעשייה בעולמנו.

משולש, ארון, פלג גוף עליון של גבר

משולש. תצלום: סטפן ולנטן

ובכל זאת, כפי שעולה מהסיפור על רדולף ורגימבולד, המצב לא תמיד היה כך.

לפני העידן המודרני, שמקובל לראות את ראשיתו בימי הרנסנס (בתקופה שבין השנים 1250 ו-1600), בני-אדם ללא ספק ספרו ומדדו. אך אם לומר זאת באורח גס, ההפשטות של האוריינות המספרית ושל המתמטיקה היו חסרות ולו שמץ של חשיבות מעשית.

שיטות כתיבה קדומות סיפקו את טכנולוגיית המידע הראשונה, ויצרו את "עידן המידע" הראשון – עידן האוריינות הלשונית

לעומת זאת, אוריינות לשונית, היא שמשלה בכיפה. לאבותינו, המצאת הכתב, קרוב לוודאי בין 3200 ו-3100 לפני הספירה, היא ששירתה את הדחף האנושי לעשיית סדר ולניהול זרם החוויה וה"נתונים" של החוויה. שימו לב ש"data" בא מ-datum, "דבר נתון", בלטינית (ובעקבות כך גם "נתון" העברי, א"ה). שיטות כתיבה קדומות סיפקו את טכנולוגיית המידע הראשונה, ויצרו את "עידן המידע" הראשון – עידן האוריינות הלשונית. שיאו התרחש עם המצאת האלפבית הפונטי, בידי היוונים, שדאגו להתאים סימנים לצלילים בדיבור באמצעות סמלי אותיות, כך שכל סמל מייצג תנועה או עיצור.

האלפבית סיפק בסיס, הוא סיפק את הסמלים כדי לתת מסגרת לשמות עצם ולתארים, ומכאן גם את האפשרות ליצור הגדרות, שקישרו בין המחשבה ובין פריטים ותהליכים בעולם. עבור אריסטו, המדע היה עתיד לארגן ולהסביר נתונים שנקלטים דרך החושים, עוברים הפשטה למלים ומסווגים לקטגוריות כלליות וספציפיות, ולבסוף מאוגדים יחד באמצעות הכלים הפורמליים של הלוגיקה.

העולם הימי-ביניימי של רדולף ורגימבולד ירש את הטכנולוגיה ואת התרבות האלו, שהיו מבוססות על מלים, תוך שהוא מטמיע את הנטייה שלו לסווג כחלק מתכנית הלימודים של האוניברסיטאות החדשות, שקמו בעצם ימיהם. שבע אומנויות ליברליות היו העוגן של מהלך הלימודים – שלוש היו לשוניות (דקדוק, לוגיקה ורטוריקה, ה-trivium), וארבע היו מתמטיות (אריתמטיקה, מוזיקה, גאומטריה ואסטרונומיה, ה-quadrivium). וארבע האחרונות נלמדו בראש ובראשונה כאבני דרך לקראת ההתבוננות במציאויות הרוחניות, למשל הסדר האלוהי שהוא המקור ליחסים המספריים, הרמוניות מוזיקליות, יופי מרחבי ותנועה של הרקיעים האלוהיים.

המתמטיקה של ימי הביניים הייתה עמוסה ב"קסם". הנומרולוגיה שלה הייתה מלאה במובנים אלגוריים, שלרוב היו תאולוגיים. קחו כדוגמה את הנוהג המשונה שהיה באותם ימים: ניחוש העתיד על פי הגאומטריה של עצמות שכמה של כבשים. יחד עם זאת, הקטגוריות של המתמטיקה הזאת נותרו נפרדות ומובחנות זו מזו. האריתמטיקה, התחום שעסק בדברים בדידים, לא הייתה בת-השוואה לגאומטריה, שטיפלה בדברים רציפים. וכך, נושאים שונים של אוריינות מספרית הקשורה ל"דברים" נותרו סגורים כל אחד בתא המיוחד לו.

אך אז באו שנות הרנסנס, ואיתן שתי מגמות בולטות שהיו עתידות לאתגר באורח דרמטי את הנטייה לסיווג ואת המתמטיקה המובנית כחלק ממנה.

המגמה הראשונה הייתה פיצוץ של מידע חדש, שהחל עוד קודם לכן אך הועצם לאחר 1455, על ידי מה שהיה למנוע הלימוד: הדפוס המכני. התפוצה המדהימה של יצירות מודפסות (כ-200 מיליון ספרים עד סוף המאה ה-16) העניקה כמויות של נייר זול ודיו זמינה לטובת הפצתם של המאמצים של ההומניסטים לחלץ טקסטים עתיקים מתהומות הנשייה, להפיץ ברבים את התגליות של העולם החדש, ולשכפל בזול את הררי המידע שהופקו מהתבוננות בטבע. לדבריה של אן בלייר (Ann Blair) מאוניברסיטת הרוורד, היה "יותר מדי מה לדעת", יותר מדי מה למיין. עודף המידע החדש הציף את החלוקה המסורתית, את הקטגוריות שהחלו להיסדק וגם הממו את המזג הלמדני הישן, שניסה להיצמד לנטייה למיין. כפי שאמר זאת המשורר ג'ון דאן (John Donne) ב-1611, בעודו מביט לאחור, אל עידן שהיה מבחינתו מספק יותר מבחינה אינטלקטואלית, "[העולם] מוטל בחתיכות, לאחר שכל קוהרנטיות נעלמה ממנו".

בתקופת הרנסנס, דרכים חדשות לקודד מידע, שעלו בעיקר מתוך עיסוקים פרקטיים, הביאו איתן אופנים חדשים ושונים של התבוננות, דמיון וניתוח של הטבע

מגמה שנייה השתלבה עם נפח העובדות האדיר והמהמם הזה: הופעתה של טכנולוגיית מידע חדשה. דרכים חדשות לקודד מידע, שעלו בעיקר מתוך עיסוקים פרקטיים, הביאו איתן אופנים חדשים ושונים של התבוננות, דמיון וניתוח של הטבע. בכל קטגוריה של ה-quadrivium – אריתמטיקה, מוזיקה, גאומטריה ואסטרונומיה – אמצעי איסוף הנתונים ועיבודים הניחו את היסודות לאוריינות המספרית המודרנית.

בתחום האריתמטיקה, החל במאה ה-13, הנוכחות הגוברת של הספרות ההודיות-ערביות הרגילו את האירופים לשיטה ספירה חדשה. בתחילה, הספרות שימשו את הסוחרים, הבנקאים ומנהלי החשבונות, אך הן התפשטו אט-אט גם למתמטיקאים וחוקרי הטבע, לאומנים ולבעלי המלאכה, למוזיקאים ולאמנים. המערכת החדשה עשתה שימוש בתשע ספרות, מ-1 עד 9, שלכל אחת מהן יוחד סמל כתוב, וזאת במקום המערכת היוונית המסורבלת שכללה 27 תווים אלפאנומריים או הספרות הרומיות עם הקווים האנכיים והאותיות שהרכיבו אותן. יתרה מכך, השיטה החדשה כללה סידור של הספרות כך שמיקומן מורה על ערכן, מה שמוכר לנו כמערכת העשרונית לקביעת ערכה של ספרה על פי מקומה בעמודת אחדות, בעשרות, במאות וכן הלאה. והשימוש השיטתי בייצוג של האפס כתופס-מקום הקל מאוד על תהליכי החישוב האריתמטי. כל החידושים הללו תרמו לאפשרות לתפוש את המספרים כיחסים מופשטים, ולא רק כמצבורים של דברים או פריטים. בימיו של שייקספיר, שיילוק, הדמות ב"הסוחר מוונציה", כבר מחשב את ליטרת הבשר שלו באמצעות ספרות הודיות-ערביות יעילות יותר.

שיילוק וג'סיקה, מאוריצי גוטליב

"שיילוק וג'סיקה" (1876), מאוריצי גוטליב. מתוך קטלוג של ציור פולני שנשדד על ידי הנאצים, משרד התרבות הפולני, 1950. תצלום: ויקיפדיה

בעולם המוזיקה, שיטת רישום חדשה ומופשטת ליוותה את עלייתה של השירה הפוליפונית, שהתפתחה מן השירה הגרגוריאנית. באמצעות מערכת שלמה ועשירה של מקבילות לתווי המוזיקה המודרניים, מלחינים ומוזיקאים לכדו וניהלו את המידע הנוגע לנתונים החמקמקים ובני החלוף של תופעות כמו קצב וגובה הצליל. בפעם הראשונה בתולדות המין האנושי, הזמן עצמו נמדד באמצעות מערכת סמלים עצמאית – יחידות סטנדרטיות של צליל (תווים) ודממה (הפסקות) שתאמו למציאות הפיזית, האקוסטית. גם כאן, הספרות ההודיות-ערביות תיארו את היחסים וההרמוניות הזורמים, האי-רציונליים שמרכיבים את הדינמיקה של הטון המוזיקלי, ובכך אפשרו ליצור מערכות כיול מוזיקלי חדשות, כולל התכונות המאוזנות של פסנתרים מודרניים וכלים אחרים שיש להם מרווחים מוזיקליים קבועים.

נשוב לגאומטריה: גילוי הפרספקטיבה הלינארית באמנויות החזותיות העניק אפשרות ביטוי וצורה חדשות למידע החזותי. טכניקות גאומטריות חדשות הציעו חלופות להגדרות המילוליות כדרך לראות אובייקטים בעולם. רשתות של פרספקטיבה, חיבור בין יחסים במרחב לנקודות מבט משתנות בעולם המצוי בתנועה. זהו העולם של "העין המכונפת", כמאמרו המפורסם של איש הרנסנס עצמו, לאונה בטיסטה אלברטי. מיפויים אחד-לאחד בין אובייקטים וייצוגיהם (רישומים דו-ממדיים או פסלים תלת-ממדיים) נתנו הקשר חדש למיקומם של אובייקטים במרחב. הטכניקות הללו, שהיו המבשרות הראשונות של הגרפים של הגאומטריה המודרנית, הובילו בסופו של דבר להפרדה ולניתוח של צירי התנועה, האופקי והאנכי.

האותיות הפונטיות של ההגדרות, שהיו היסוד של האוריינות, פינו את מקומן לספרות, לתווים ולהפוגות, לקווי הרשת ולכרונולוגיה הקוויות שהיו עתידות ליצור יחד אוריינות מספרית חדשה

ובאסטרונומיה, טכנולוגיות חדשות עיגנו פה בעולמנו את תנועת הרקיעים ואת הזמן הנצחי, ואפשרו שילוב יחד של ענפי הידע הארציים והשמימיים, של הפיזיקה והאסטרונומיה. לפני שהזמן היה שווה כסף, הוא היה שווה מידע. "רגלו הבלתי נשמעת והדוממת" (כך לפי שייקספיר) נכנעה לעליונות הטכנולוגית של מה שכונה "המלאך שנפל", הוא השעון המכני בעל התנודה. לוח השנה השמשי של האפיפיור גרגוריוס משנת 1582, יחד עם כרונולוגיות לינאריות שהוכנו לאחר מכן, שמו קץ, במידה רבה, ל"זמן השעון". המסתורין של הזמן הומר בבעייתה הזמן, לפחות בחלקה, ככל שהזמן עצמו הפך למשתנה מופשט שבוטא באמצעות נוסחאות מתמטיות, כמו חוקי הנפילה החופשית, המטוטלות והחפצים הנורים במרחב מבית מדרשו של גלילאו.

המשותף לכל התחומים הללו – המסחר והאריתמטיקה, הצליל הפוליפוני והמוזיקה, האמנות והגאומטריה, מנין הזמן והאסטרונומיה – היה אמצעי חדש ליצירת מידע וניהולו שהופיע בעולם וקנה לו חזקה. האותיות הפונטיות של ההגדרות, שהיו היסוד של האוריינות, פינו את מקומן לספרות, לתווים ולהפוגות, לקווי הרשת ולכרונולוגיה הקוויות שהיו עתידות ליצור יחד אוריינות מספרית חדשה.

אלו לא היו עוד הסמלים המכושפים של האלגוריה שקושרו למלים ולמשמעויות. הסמלים הריקים הללו היו דרכים חדשות להציג פריטי מידע באורח מופשט, לקודד אותו, לאגור אותו ולטפל בו. סימנים מסתלסלים על הדף, שהיו פונקציונליים, לא יותר מכך. הם הובילו את החשיבה ההגיונית עם כללי הצירוף ביניהם ועם האלגוריתמים שלהם.

אפס, המספר אפס

אפס: "לא כלום" שהוא הכול. תצלום: ווי סן גו

באורח מוזר, הסמלים הללו אפילו לכדו את ה"לא-כלום" והפכו אותו לשימושי. האפס (כלומר לא קיים), תופס המקום באריתמטיקה אִפשר "לשאול" ו"להעביר" כמויות מעמודה לעמודה, במה שהפך הבסיס לחיבור, חיסור ואינספור חישובים נוספים. האתנחתא (היעדר צליל) במוזיקה נתנה למלחינים אפשרות לפתח ולתאר קצבים מוזיקליים מתוחכמים ודינמיים. נקודת ההיעלמות בקווי הרשת של הפרספקטיבה האמנותית העניקה לנו את המוקד, ובכך גם נתנה הוראות לסידור המרחבי של האובייקטים. ובכל הקשור לזמן השעון, הרגע (נקודה של היעדר חלוף של זמן) הפריד בין זרימת הזמן בעבר לזרימת הזמן בעתיד, כך שאדם היה יכול לתאר אירועים, קטנים כגדולים, על משך לינארי. מאוחר יותר, הפילוסוף הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר (Jean le Rond d´Alembert) יתייחס בקיצור לסמלים הריקים של האוריינות המספרית כאל "רוחות רפאים".

הטכניקות החדשות לקידוד מידע, שיושמו בממדים השונים של החוויה, נתנו מסגרות לדרכים חדשות להבנתן של תופעות, וגם חוללות תמורה בדרכים שבהן אנו רואים דברים. והן העניקו כלים לסידור חדש, לוגי ורב-שכבות, שבו שכבה של הפשטה מונחת על עוד שכבה של הפשטה, במה שהפך לאזורים העליונים ביותר של המתמטיקה.

עוד במהלך חייו של גלילאו (שחי בין 1564 ו-1642), הכלים והנוהגים הללו התגוונו, התרבו והשתלבו יחד לכדי טכנולוגיית מידע של אוריינות מספרית. מאז, כפי שגלילאו כתב בפסקה המצוטטת לעתים קרובות, ספר הטבע יובן במידה גוברת כ"כתוב בשפת המתמטיקה". עם הניסויים והחקירות שלו עצמו, גלילאו, "אבי הפיזיקה המודרנית", הוביל דור חדש של חוקרי טבע אל הניתוח המתמטי של החומר והתנועה. פרמה ודקרט באו לאחר מכן עם הגאומטריות האנליטיות שלהם, תוך שהם משלבים את האופי הבדיד (הדיסקרטי) של האריתמטיקה עם הרצף של הגאומטריה. דור אחד לאחר מכן, החשבון הדיפרנציאלי של ניוטון ולייבניץ איחד בין הכוחות והתנועה של החומר. על אבני היסוד של האוריינות המספרית, שהונחו בתקופת הרנסנס, היה עתיד להיבנות כל המבנה האדיר של המדע המודרני כולו, ואיתו כל תרבותנו המספרית, עולם הרפאים שלנו.

 

אם הגעת עד לכאן....

...יש לנו בקשה קטנה. קוראים רבים נהנים מהתכנים האיכותיים ש'אלכסון' מציע ללא כל תמורה. כחלק מתפיסת עולמנו החלטנו לוותר על הכנסה מפרסומות וממקורות אחרים כדי לא להפריע את חווית הקריאה. הפקת כתב העת ברמה כזאת כרוכה בהשקעה רבה של עבודה וכסף: עריכה, תרגום ורכישת זכויות פרסום בחו'ל. אם הערכים והרעיונות ש'אלכסון' מקדם קרובים לליבך ואם יש בך הערכה לעבודתנו אנו מבקשים את תמיכתך כדי להבטיח את הקיימות ארוכת הטווח של כתב העת.

לתמוך באלכסון

מייקל אי. הוברט (Michael E. Hobart) הוא היסטוריון של המדע והפילוסופיה, שלימד במוסדות אקדמיים אחדים. המאמר מבוסס על ספרו האחרון עד כה, "The Great Rift: Literacy, Numeracy, and the Religion-Science Divide" (בהוצאת Harvard University Press, 2018).

תורגם במיוחד לאלכסון על ידי מוניקה מוטה

Published in Alaxon by special permission from Zócalo Public Square

תמונה ראשית: פתקים דביקים עם מספרים. תצלום: Pop & Zebra, ב-unsplash.com

Photo by Pop & Zebra on Unsplash

מחשבה זו התפרסמה באלכסון ב על־ידי מייקל הוברט, Zócalo.


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

5 תגובות על כשהמלאכים ירדו מקצה המחט

    03
    יורם

    אכן, י.ד., הוא הומצא על ידי הפניקים. הטעות - שאינה משנה את ערכם של הדברים הרבים האחרים במאמר - נעשתה במקור, במאמר שמייצג ספר שעניינו תקופה אחרת.
    ספר מעניין שנשמח לדעת כשייכתב יעסוק, למשל, בתולדות הטעויות לאורך התרבות האנושית, וכיצד הן עיצבו את העולם...

מאמר מעניין מאוד ומלמד.
אותי מעניין לחשוב מה הפסדנו במעבר למספרים. לא מתוך מבט פסימי, אלא מתוך הבנה וקבלה של העובדה שהמעבר לטכנולוגיה/שפה חדשה תמיד מלווה גם בויתור על יכולות שהיו לנו קודם. המחשבה לדוגמה שעד היום לא הצלחנו להגיע לנוסחה הנכונה של המלט הרומאי, שאיתו נבנו מבנים עצומים ששורדים עד היום, קשורה כנראה בין היתר לשינוי בדרך החשיבה שלנו. השימוש בספרות מאפשר לנו לקבל תשובה מיידית לבעיות שבעבר היה צורך לפתור בדרכים ארוכות וסבוכות. ייתכן שהדרך הארוכה יותר, על אף שברוב המקרים אינה פרקטית, מאפשרת לנו ללמוד דברים שאי אפשר ללמוד בבדרך המהירה והקלה.