לדעתנו, ההסתברות שתבינו גבוהה

מושג ההסתברות אינו פשוט כפי שהוא נראה, וגם לא חד-ממדי. דבר אינו פותר אותנו מאחריות לנתח את האפשרויות ולחשוב על ההקשר
X זמן קריאה משוער: 7 דקות

המהמרים, חוקרי פיזיקת קוואנטים, וחברי חבר המושבעים מדברים כולם על הסתברות: ההסתברות לנצח, ההסתברות להתפרקות אטום רדיואקטיבי, ההסתברות כי הנאשם אשם. אבל למרות השימוש הנפוץ במושג ״הסתברות״, מומחים עדיין מתווכחים על משמעותו. הדבר מוביל לוויכוחים בנוגע לדיבור ולשימוש בהסתברות – אי הסכמות המוחרפות בגלל ההטיות הקוגניטיביות שלנו, כגון הנטייה שלנו להתעלם מראיות שסותרות את ההשערה המועדפת עלינו. הבהרת טבעה של ההסתברות יכולה, אם כך, לעזור לנו לשפר את האופן שבו אנחנו מסיקים מסקנות.

שלוש תאוריות פופולריות מנתחות את ההסתברויות כתדירות, כזיקה או כמידה של אמונה

שלוש תאוריות פופולריות מנתחות את ההסתברויות כתדירות, כזיקה או כמידה של אמונה. אם אומר לכם שההסתברות של מטבע ליפול כשה״עץ״ כלפי מעלה היא חמישים אחוז, זה מה שהתאוריות הללו יאמרו, בהתאמה:

  • זו התדירות שבה המטבע נופל על ״עץ״.
  • תכונות המטבע החומריות גורמות לזיקה, או נטייה, שבגללה הוא נופל על ״עץ״ בתכיפות כזו.
  • זו המידה שבה אני משוכנע שהמטבע ייפול על ״עץ״.

רוני מטיל מטבע רגיל, שאחרי ארבע הטלות כאלה משמיד את עצמו. חבריו של רוני, בת׳, צ׳רלס ודייב נוכחים אבל עיניהם מכוסות. אחרי ההטלה הרביעית, בת׳ אומרת: ״ההסתברות כי המטבע נחת על ״עץ״ בפעם הראשונה היא 50 אחוז״.

רוני מספר אז לחבריו כי המטבע נפל על ״עץ״ שלוש מתוך ארבע הפעמים. צ׳רלס אומר: ״ההסתברות שהמטבע נחת על ראשו בפעם הראשונה היא 75 אחוז״.

דייב, אף שיש בידו את אותו מידע כמו צ׳רלס, אומר: ״אני חולק עליך. ההסתברות כי המטבע נחת על ״עץ״ בפעם הראשונה היא 60 אחוז״.

הפרשנות הרואה בהסתברות תדירות מתקשה להתמודד עם ההנחה של בת׳. התדירות שבה המטבע נחת על ״עץ״ היא שלוש מתוך ארבע פעמים, ולא ניתן להטיל אותו שוב לעולם. למרות זאת, נדמה כי בת׳ צודקת: ההסתברות שהמטבע נחת על ״עץ״ בפעם הראשונה היא 50 אחוז.

בה בעת, פרשנות הזיקה מתקשה להתמודד עם הטענה של צ׳רלס. מאחר שהמטבע הוא מטבע רגיל ותקין, נדמה שנטייתו ליפול על ״עץ״ או ״פלי״ זהה. עם זאת, צ׳רלס צודק כנראה כשהוא אומר שההסתברות שהמטבע נחת על ״עץ״ בפעם הראשונה הייתה 75 אחוז.

פרשנות האמונה יכולה להסכים עם שתי הטענות הראשונות, משום שבת׳ וצ׳רלס אכן בטוחים שהמטבע נחת על ״עץ״. אבל חשבו על טענתו של דייב. כשדייב אומר שההסתברות כי המטבע נחת על ״עץ״ היא 60 אחוז, הוא מבטא טענה שקרית. אבל אם הוא בטוח ב-60 אחוז כי המטבע נחת על ״עץ״, אז על פי פרשנות זו, הוא אומר דבר מה אמיתי – הוא מדווח באמת על מידת האמונה שלו בטענה.

כדורים, כדורי גומי

הרבה השערות, הרבה אפשרויות, הרבה נקודות מבט. תצלום: פיל שלדון

ישנם פילוסופים הסבורים כי מקרים כאלה תומכים בגישה פלורליסטית המקבלת סוגים שונים של הסתברויות. אני סבור כי עלינו לאמץ פרשנות רביעית – פרשנות שנקרא לה ״מידת התמיכה״.

על פי גישתי, הסתברויות מובנות כתמיכה ראייתית יחסית בין טענות. ״ההסתברות של X בהינתן Y״ היא המידה שבה Y תומך באמיתות X. כשאנחנו מדברים על ״ההסתברות של X״ לבדה, זו דרכנו לדבר בקיצור על ההתניה הקושרת את Xלמידע רקע שיש בידינו. כשבת׳ אומרת שישנה הסתברות של 50 אחוז כי המטבע נחת על ״עץ״, היא מתכוונת לכך שההסתברות לכך תלויה במידע האומר כי המטבע הוטל ובמידע על המבנה שלו (למשל, היותו סימטרי).

עם זאת, ביחוד לסוגי מידע שונים, הטענה כי המטבע נחת על ״עץ״ נכונה בהסתברויות שונות. כשצ׳רלס אומר כי ישנה הסתברות של 75 אחוזים לכך, הוא מתכוון כי הסתברות זו מתייחסת למידע כי המטבע נחת על ״עץ״ בשלוש מארבע ההטלות. בו זמנית, דייב אומר כי ישנה הסתברות של 60 אחוז לכך שמהטבע נחת על ״עץ״, בהתחשב באותו מידע – אבל מאחר שהמידע למעשה תומך באפשרות ה״עץ״ ביותר מ-60 אחוז, הטענה של דייב מוטעית.

פרשנות מידת-התמיכה כוללת את מה שנכון בכל אחת משלוש הגישות הקודמות, ומתקנת את הבעייתיות שלהן. היא מתייחסת לקשר שבין הסתברות ובין מידת הביטחון. היא עושה זאת לא באמצעות זיהוי מידת האמונה שלנו בטענה, אלא על ידי כך שהיא מייחסת לאמונה קשר למידת ההיגיון שבראיות. הסיבה שעלי להיות משוכנע ב-50 אחוז שהמטבע נחת על ״עץ״ אם כל מה שאני יודע עליו הוא שהוא סימטרי, היא שזו מידת התמיכה שהראיות שלי מספקות להשערה.

באורח דומה, פרשנות מידת-התמיכה מאפשרת למידע כי המטבע נחת על ״עץ״ בתדירות של 75 אחוז לייחס הסתברות של 75 אחוז לנחיתה על ״עץ״ בכל אחת מן ההטלות. היא מציינת את הקשר בין התדירויות להסתברויות, אבל להבדיל מפרשנות התדירות, היא אינה מזהה בין תדירות והסתברות. להפך, הסתברויות מעלות לעתים טענות באשר לתדירות, כדי לטעון לגבי יחידים ספציפיים.

לבסוף, פרשנות מידת-התמיכה מנתחת את נטייתו של המטבע ליפול על ״עץ״ כיחס שבין הטענות על מבנה המטבע מצד אחד, וטענות על כך שהוא נחת על ״עץ״ מצד שני. כלומר, היא מתייחסת לשאלה איך מבנה המטבע מכתיב את התנהגותו. ובאופן כולל יותר: גישת הזיקה קושרת בין טענות על סיבות לטענות על תוצאות, למשל, בין תיאור של המאפיינים המהותיים של האטום ובין הטענה כי הוא מתפרק.

משום שהן הופכות את ההסתברות לישויות מסוגים שונים, ארבע התאוריות שלנו מציעות עצות נבדלות בנוגע לאופן שבו יש להעריך את ההסתברות. שלוש הפרשנויות הראשונות (תדירות, זיקה ומידת אמונה) מנסות להפוך את ההסתברות לדברים שאנו יכולים לגלות בתצפית – באמצעות ספירה, ניסוי או אינטרוספקציה. לעומתן, פרשנות מידת-התמיכה היא מה שפילוסופים מכנים ״ישות מופשטת״, שאינה בעולם ואינה במוחנו. אנחנו אמנם יודעים שהמטבע סימטרי כתוצאה מתצפית, אבל אנו יודעים כי הטענה ״המטבע הזה סימטרי״ תומכת בטענות ״המטבע הזה נופל על ׳עץ׳״ ו״המטבע הזה נופל על ׳פלי׳״ באותה מידה, ממש כפי שאנחנו יודעים שמ״המטבע הזה נופל על ׳עץ׳״ נובע כי ״המטבע הזה נופל על עץ או פלי״: באמצעות מחשבה.

איך אנחנו אמורים להעריך את ההסתברות שהנאשם ביצע את הרצח, כדי לברר האם יש לנו ספק סביר באשמתו?

אבל המפקפקים עשויים לציין כי הטלות מטבע הן עניין פשוט. נניח שאנחנו חברי מושבעים. איך אנחנו אמורים להעריך את ההסתברות שהנאשם ביצע את הרצח, כדי לברר האם יש לנו ספק סביר באשמתו?

נאשמים, עורכי דין, בית משפט, איור

מה ההסתברות שאחד, שניים או שלושה מהמופיעים כאן אומרים את האמת? איור של רגע מתן גזר הדין במשפט בארה"ב (1983) - שני עורכי דין ונאשמת. תצלום: בוץ' קריגר, ויקיפדיה

התשובה: לחשוב יותר. ראשית, לשאול: מהן הראיות שבידינו? מה שאנו רוצים לברר הוא באיזו מידה הראיות הללו תומכות בהשערה כי הנאשם אשם. יתכן כי הראיה המרכזית שלנו היא טביעות אצבעותיו של הנאשם על האקדח שהרג את הקורבן.

ואז, עלינו לשאול: האם אנו יכולים להשתמש בחוקי ההסתברות המתמטיים כדי לפרק את ההסתברות של השערתנו לאור הראיות להסתברויות שקל יותר לראות? כאן אנו עוסקים בהסתברות של סיבה (הנאשם ביצע רצח) בהתחשב בתוצאה (טביעות אצבעותיו נמצאו על כלי הנשק שבו בוצע הרצח). ״חוק בייס״ מאפשר לנו לחשב זאת כפונקציה של שלוש הסתברויות נוספות: ההסתברות הקודמת של הסיבה, ההסתברות לתוצאה בהינתן סיבה זו, וההסתברות של התוצאה ללא הסיבה.

מאחר שכל זה הוא יחסי למידע הרקע שבידינו, ההסתברות הראשונה (של הסיבה) מבוססת על מה שאנו יודעים על מניעיו של הנאשם, אמצעיו וההזדמנות שהייתה לו. אנחנו יכולים לשער את ההסתברות השלישית (זו של התוצאה ללא הסיבה) אם נפרק את האפשרות כי הנאשם זכאי לסיבות אחרות שעשויות היו להביא למותו של הקורבן, ונשאל מהי ההסתברות של כל אחת מאלה, ומה הסיכוי שהן היו מובילות לכך שטביעות אצבעות הנאשם נמצאו על האקדח. בסופו של דבר נוכל למצוא עקרונות כלליים שידריכו אותנו במשימת בירור ההסתברות, או שנסמוך על שיפוט אינטואיטיבי, כפי שאנחנו עושים במקרה של הטלות מטבע.

כשאנו מנסים להסיק מסקנות בנוגע לפושעים ולא מטבעות, התהליך כנראה לא יוביל אותנו לקבוע שיעורי הסתברות מדויקים. אבל אין דרך אחרת. איננו יכולים לפתור ויכוחים בנוגע לשאלה עד כמה המידע שבידינו תומך בהשערה פשוט על ידי ליקוט מידע נוסף. במקום זאת, אנחנו יכולים להתקדם רק באמצעות ניתוח פילוסופי של מרחב האפשרויות, המידע שיש לנו ומידת התמיכה שלו באפשרויות כאלה ולא אחרות.

 

אם הגעת עד לכאן....

...יש לנו בקשה קטנה. קוראים רבים נהנים מהתכנים האיכותיים ש'אלכסון' מציע ללא כל תמורה. הפקת כתב העת ברמה כזאת כרוכה בהשקעה רבה של עבודה וכסף: עריכה, תרגום ורכישת זכויות פרסום בחו'ל. אם הערכים והרעיונות ש'אלכסון' מקדם קרובים לליבך ואם יש בך הערכה לעבודתנו אנו מבקשים את תמיכתך כדי להבטיח את הקיימות ארוכת הטווח של כתב העת.

לתמוך באלכסון

נווין קלימנהאגה (Nevin Climenhaga) מרצה במכון למחקר ביקורתי של הדת באוניברסיטה הקתולית של אוסטרליה במלבורן. מאמריו פורסמו בכתיב עת שונים ובהם Journal of Philosophy and Mind.

AEON Magazine. Published on Alaxon by special permission. For more articles by AEON, follow us on Twitter.

תורגם במיוחד לאלכסון על ידי דפנה לוי

תמונה ראשית: תורת הסיכויים. תצלום: קרופורד ג'ולי, unsplash.com

Photo by Crawford Jolly on Unsplash

מחשבה זו התפרסמה באלכסון ב על־ידי נווין קלימנהאגה, AEON.


תגובות פייסבוק

3 תגובות על לדעתנו, ההסתברות שתבינו גבוהה

02
אברום רותם

בהקשר הדוק - מאמר מאלף ומפורט בסיינטיפיק-אמריקן אוקטובר 2019 (עמ' 55) "A Significant Problem" (כתבה לידיה דנוורס)- שדן בפרוט ולעומק בסוגיה שעד היום אין עליה הסכמה, ויש כמה נקודות הסתכלות מעניינות על נקודות מוצא שונות לשאלה: מתי תוצאה/ ארוע הוא בסבירות סטטיסטית משמעותית, או במילים אחרות - היכן נעביר את הגבול בין סבירות סטטיסטית משמעותית לבין לא סביר. ובמילים מתמטיות- האם הקביעה השרירותית הוותיקה (מ- 1925) שהגבול הוא הערך P גדול מ- 0.05 תקפה? למה בעצם 0.05 ולא אחרת?
- שתהנו...

    03
    Korban Ventureas

    I totally agree with your argument Rotem Avrom.
    The Arbitrary determination of the academic circles that if p < 0.05 makes all their statement correct, is indeed a falsely method of investigation.

    Most acadmic researcher have no clue in statistics (a.k.a math) so they use statistics as a voodo magic to get their papers published.

    What if
    P(x/y) = (p(x)/0)^0 === ? === 100 % = ?