מה שווה השווה

מה קורה כשאנו חושבים מחדש על אבן היסוד של המתמטיקה? יתכן שהרבה דברים טובים, ובהם גם מבט אחר וטוב יותר על עצמנו ועל בני האדם באשר הם
X זמן קריאה משוער: 6 דקות

בצד אחד כתוב "1+1", ובצד האחר כתוב "2". מה טבעי מכך? הרי ביניהם כתוב פשוט "=", לא? ובכן, לא כל כך פשוט. האם 1 ועוד 1 שווים 2? האם אחד ועוד אחד הם שניים? כך תמיד, מעצם מהותם? התשובה המפתיעה והמתבקשת היא שהעניין הזה לא כל כך פשוט, ושהתשובה המדויקת היא "תלוי".

בשנים האחרונות מתמטיקאים רבים מתחילים לראות בסימן "=" טעות בסיסית של המתמטיקה לדורותיה, ממש חטא קדמון

בשנים האחרונות מתמטיקאים רבים מתחילים לראות בסימן "=" טעות בסיסית של המתמטיקה לדורותיה, ממש חטא קדמון. מובן שאין מדובר בסימן בלבד, אלא במשמעות הניתנת לו, ובמשקלה העצום, המוחלט, ברחבי המתמטיקה על ענפיה השונים. לכאורה, ביטוי מתמטי שיש לו שני צדדים, שביניהם מופיע סימן השוויון המציין שהביטוי משמאל זהה לביטוי מימין. מה יכולה להיות הבעיה בכך? כיצד יתכן שרעיון השוויון היה למקור למחלוקות? הרי אם יש לי שני תפוחים ואני מוסיף להם תפוח אחד, יש לי שלושה תפוחים, ובכך תם הסיפור: שניים ועוד אחד, שלושה. והרי שלושה תפוחים ושלושה חמורים שניהם "3" באותו המובן. כי הרעיון הוא, שאם נביט בשתי השלשות, נוכל להתאים חמור לכל תפוח, עד שלא יישארו תפוחים בצד האחד וחמורים בצד האחר ובכך הוכחנו את השוויון.

אלא שאנחנו יודעים מהחיים, מניסיוננו ממש, שלא כך פועלים הדברים. יש דרכים אחדות לבצע את ההתאמה הזאת, הרי לא כל התפוחים זהים וחמורים לא כל שכן. שוויון, יחס קפדני וצר-ראייה, אינו מתאים למציאות חיינו, וגם לא למלוא האפשרויות המתמטיות.

הרעיון החדש, שקונה לו אחיזה במעמקי ההגות המתמטית העכשווית, הוא שבמקום לדבר על "שוויון", מוטב לדבר על "שקילוּת". שלושה חמורים ושלושה תפוחים שקולים זה לזה מבחינת מספר היחידות, אך לא מבחינות אחרות – ולא נדרש דמיון פרוע מדי כדי לחשוב על בחינות רבות של חוסר שקילות בין שתי הקבוצות וחבריהן. ושקילות מאפשרת לדבר על מידות שונות של שקילות, על דרגות של שקילות. אם יש לי 3 כדורי גולף ביד אחת, לבן, צהוב ואדום, ו-3 כדורי גולף לבנים ביד השנייה – לבן, צהוב ואדום, אני יכול להתאים כדור לכדור במדויק, יש לי שקילות חזקה. אבל אם מדובר בשתי קבוצות של שלושה כדורים וכולם לבנים – השקילות חזקה קצת פחות. ואם ששת הכדורים הם בששה צבעים שונים, והם מחולקים לשתי קבוצות של שלושה, השקילות חלשה עוד יותר.

שקילות מאפשרת לנו לחשוב ולבטא את הקשרים המורכבים יותר בין שני הדברים שאנו משווים. מאיזה בחינה הם שקולים? עד כמה הם שקולים?

שקילות מאפשרת לנו לחשוב ולבטא את הקשרים המורכבים יותר בין שני הדברים שאנו משווים. מאיזה בחינה הם שקולים? עד כמה הם שקולים? הם שקולים כמו מה? איזו שקילות זהה לשקילות הזאת? או שמא יש שקילות אחרת השקולה לה, מבחינה מסוימת שיש ביכולתנו לציין?

זהו עניינו של תחום מתמטי חדש ופורץ דרך, המכונה "תורת הקטגוריות", תחום הנמנע מרעיון השוויון ובוחן ישויות מתמטיות מבחינת סוג השקילות המתקיים ביניהן. ומיד, מתוכו, התפתחה הפעילות המזהה דרגות של שקילות ושקילויות משותפות (כלומר שקילויות בין שקילויות) וחיש מהר נולד עיסוק ב"קטגוריות של אינסוף" ("Infinity Categories").

קטגוריה היא קבוצה שמתוארת על ידי מידע באשר לכל האופנים שבהם שני איברים בקבוצה קשורים זה לזה, כלומר לכל סוגי השקילות הקיימים ביניהם. אין מדובר עוד בתיאור של איבר, של אובייקט, אלא בקשרים שלו לכל האובייקטים המכונסים יחד איתו באותה הקטגוריה. הדגש הוא על הקשרים, וככל שאנו מיטיבים להגדיר אותם ומצליחים לעדן אותם, אנו מגיעים לתובנות עמוקות יותר. המחיר הוא בעלייה הגדולה בכמות המידע הנדרשת כדי לדבר על איברים, על קטגוריות ועל תופעות. העניין מסתבך כיוון שתכונות מקשרות בין ישויות מסוגים מאוד שונים, והאפשרות לקשור כך בין ישויות מגדירה אף היא שקילויות, ומכאן העיסוק ב"קטגוריות של אינסוף".

הדמות הבולטת בתחום המאתגר הזה הוא מתמטיקאי אמריקני צעיר בשם ג'ייקוב לוריא (Jacob Lurie), שהחל במפעל הענק של כתיבת נתחים גדולים של המתמטיקה על פי העקרונות החדשים הללו, כלומר מתוך תפישת השקילות, המוותרת על מושג השוויון. רבים מצטרפים למפעל הזה, ועובדים קשה כדי להוכיח משפטים מתמטיים וגם לקדם את הידע המתמטי מעבר לגבולות המוכרים שלו. תחשבו אפילו על פעולות החשבון והאלגברה הפשוטות ביותר: בלי "=", בלי מושג השוויון, העניין אינו פשוט. וכשעולים לרמת הקטגוריות והשקילויות ביניהן, על אחת כמה וכמה. פרט ללוריא, שאלפי העמודים שלו אינם נגישים ללא מאמץ גדול גם למתמטיקאים מובילים, רבים עמלים כעת על פיתוח דרכים פשוטות יותר לנצל את הרעיונות המבריקים של תורת השקילות.

תאומים זהים, שחורים, צעירים

זהים? שווים? שקולים? במה ואיך בדיוק? תצלום: פרקר וויטסון

לפריצת הדרך המתמטית הזאת יש השלכות אתיות. את המתמטיקאים היא מלמדת ענווה: שיתכן שמעל לרמה פשוטה מסוימת, אין התחום יכול להגיע לאמיתות מוחלטות; ולא פחות מכך, שאסור (בשום תחום) לשכוח את הנחות היסוד, ואף מוטב לבחון אותן מחדש, ללא כבלים.

אך יש לרעיונות הללו, שאולי יהיו בין הרעיונות המהפכניים של הדורות הבאים, גם מה ללמד את בני האדם בכלל, ובוודאי את מי שחושב לעומק בתחומים אחרים.

כדי להדגים זאת, נחזור ל"1+1" שהוא "=" ל"2".

תגידו את זה בקול רם. בעברית. בעברית יומיומית. מה אמרתם? "אחד ועוד אחד שווה שתיים"; "אחד ועוד אחד שווה לשתיים"; "אחד ועוד אחד זה שתיים" – ויש עוד אפשרויות. למשל, "אם תיקחו אחד ותוסיפו לו עוד אחד, תקבלו שניים". במקרה האחרון, הביטוי כולו מתאר תהליך, שהאמת שבו מצויה בתוצאה, לא בקשר בין שני הצדדים, שכעת אינם סטטיים: כי זה לא ש"צד ימין" שווה או זהה ל"צד שמאל", אלא שהביטוי מתאר התניה, תנאי, מעשה שאפשר לעשות ואשר יוליך לתוצאה. זהו כבר קשר אחר לעומת "שוויון", ובוודאי לעומת זהות מוחלטת.

למשל, מהם הקריטריונים שבאמצעותם אנחנו משווים בין שני בני אדם, ובין בני האדם בכלל. האם אנו נותנים לעצמנו דין וחשבון על כך?

מכאן קצרה הדרך למבט רחב יותר. מחשבה נקייה דורשת מאיתנו לומר מאיזו בחינה שני דברים "זהים", כי אין שני דברים זהים. בכלל. ומכאן נידרש לומר, לעצמנו בראש ובראשונה, מה הם הקריטריונים שבאמצעותם אנו משווים בין שני דברים. ומה אוסף כל הקריטריונים שמשמשים אותנו להשוואות. ונשים לב אפילו למילה "השוואה", שפירושה המילולי "לגרום לדבר להיות שווה" (ולא רחוק ממנה מהדהדת המלה "משוואה", מקום שמשטח הבדלים). כך ניטול אחריות על כל השוואה, וליתר דיוק: על כל טענה לשקילות בין דברים. אולי ניזהר בטרם נאמר "זה כמו...", ונעשה זאת רק לאחר שנבהיר לעצמנו מאיזו בחינה "זה כמו".

ומכאן קצרה גם הדרך לצד האתי שמציעה לנו המתמטיקה החדשה הזאת, גם אם מעטים מאיתנו מבינים את יסודותיה. הרי רעיונות אינם מגבילים את עצמם לתחום מסוים. הם נוטים לאפיין רגע, תקופה ומהלך היסטורי-תרבותי של המין האנושי. וכך, בהקפדה הגיונית ומתוך חרדה אתית, נשאל את עצמנו, למשל, מהם הקריטריונים שבאמצעותם אנחנו משווים בין שני בני אדם, ובין בני האדם בכלל. האם אנו נותנים לעצמנו דין וחשבון על כך? באיזו קלות אנו מצמידים שמות של צבעים לתיאור עורם של אחינו בני האדם. באיזה חוסר אחריות אנחנו משטחים הבדלים בין מצבים אנושיים עד כמה קלים אנו להפסיק להקשיב לזולת ולומר "זה בדיוק מה שקרה לי..." ועד כמה אנו עצלים נוכח המשימה החיונית, להגדיר על פי מה אנחנו מבדילים בין בני אדם. מתבקש לראות זאת, למשל, בשאלת הקטגוריה הידועה בשם "מגדר". כיצד אנו משבצים אנשים בתאי-מגדר שונים? עד כמה אנו מאפשרים להם לומר לנו מה הם הקריטריונים שלהם להגדרה עצמית? עד כמה אנו נכונים לשוחח על כך ללא "השוואות", שהן תמיד פעולות של מכבש?

האם יתכן שגאולה מסוימת מזומנת לנו דווקא מחזית המתמטיקה? באולימפוס אולי צוחקים, אבל בהחלט לא מופתעים. הגאולה, בכל אופן, לא תבוא כהרף עין. היא לא דומה לכלום.

 

אם הגעת עד לכאן....

...יש לנו בקשה קטנה. קוראים רבים נהנים מהתכנים האיכותיים ש'אלכסון' מציע ללא כל תמורה. הפקת כתב העת ברמה כזאת כרוכה בהשקעה רבה של עבודה וכסף: עריכה, תרגום ורכישת זכויות פרסום בחו'ל. אם הערכים והרעיונות ש'אלכסון' מקדם קרובים לליבך ואם יש בך הערכה לעבודתנו אנו מבקשים את תמיכתך כדי להבטיח את הקיימות ארוכת הטווח של כתב העת.

לתמוך באלכסון

תמונה ראשית: כדורי גולף. תצלום: מת'יו לה-ג'ון, unsplash.com

Photo by Matthew LeJune on Unsplash

מחשבה זו התפרסמה באלכסון ב


תגובות פייסבוק

3 תגובות על מה שווה השווה

01
איש חופשי

1+1 אינו שווה 2.
1+1 הוא ההגדרה של 2.
2 הוא סימן, המשמעות שלו מוגדרת באמצעות 1+1.
כנ"ל 3 מוגדר על פי 2+1 ובנוסף לכלל הבא: אם A=1+B אזי A+1 = B+1+1
משם מוגדרים כל המספרים כולם.
יחס שקילות, הוא דבר אחר לגמרי והוא מתאר קשר בין שתי קבוצות.
לא ברור לי מדוע הכותב מבלבל בין שני הדברים.
ניתן לאמר כי שתי קבוצות שקולות, אם לכל איבר יחודי בקבוצה הראשונה ניתן למפות איבר יחודי בקבוצה השניה.

והמתמטיקה לא מביאה שום צד אתי.
מי שרוצה לחבר אתיקה למתמטיקה, לא מבין אתיקה ולא מבין מתמטיקה.

    02
    אלונה

    והסמכות הזאת... מאיפה? בדיוק על הצורך בתורת קבוצות מעודכנת עוסקת התורה החדשה שהכותב הציג כאן כה יפה. וכן... לכל פעולה אנושית יש צד אתי... לפי הגדרה...