איך נולדים רעיונות?

מאיפה מגיעים הרעיונות? איך הם נוצרים בראשו של פיזיקאי תיאורטי כמוני? באילו סוגים של תהליכים לוגיים אנחנו משתמשים? אני לא מתכוון לדבר אך ורק על הרעיונות הגדולים, אלה שמשנים את ההיסטוריה של האנושות, את ההיסטוריה של המחשבה; במקום זאת, אני רוצה לדבר על מה שמכונה "מיקרו-יצירתיות", כלומר הרעיונות היומיומיים הקטנים החיוניים להתקדמות המדע. עבורי, רעיון הוא מחשבה לא צפויה, מפתיעה, לא נדושה.

הייתי רוצה להתחיל באנרי פואנקרה ובז'אק אָדָמַר. שני המתמטיקאים האלה, שחיו בתפר בין המאה התשע-עשרה למאה העשרים, תיארו שוב ושוב את הדרכים שהביאו להוּלדת הרעיונות המתמטיים שלהם, וזווית הראייה שלהם דומה. שניהם טוענים שניתן לזהות מספר שלבים בהוכחה של משפט מתמטי.

- השלב הראשון הוא שלב הכנה: לומדים את הבעיה, קוראים את הספרות המדעית, עורכים ניסיונות כושלים ראשונים למציאת הפתרון. לאחר תקופה שעשויה לנוע בין שבוע לחודש, מסתיים השלב הראשון ללא התקדמות.

- ואז מגיעה תקופת דגירה, כאשר הבעיה ננטשת (לפחות במודע).

- הדגירה מסתיימת באופן לא צפוי ברגע של הארה; לעיתים קרובות מתחוללת ההארה במצב שלא קשור לבעיה שרוצים לפתור, למשל בשיחה עם חבר, אפילו בנושאים אחרים לגמרי.

- בסוף, לאחר שההארה מתווה את הקווים המנחים להתמודדות עם הבעיה, יש להוכיח אותה בפועל. זאת עלולה להיות תקופה ארוכה מאוד: יש לבדוק אם ההארה הייתה נכונה, אם הדרך באמת קיימת, לבצע את כל השלבים המתמטיים הדרושים כדי שכל פרטי ההוכחה יהיו ברורים.

יש מקרים, כמובן, שמתברר בהם שההארה שגויה: היא מניחה תקפוּת של מעברים שלא ניתנים להוכחה. ואז צריך להתחיל מחדש.

התיאור מעניין מאוד, ומצביע על התפקיד המשמעותי של חשיבה לא מודעת. גם איינשטיין גרס שיש לה תפקיד כזה: למעשה, בכמה הזדמנויות הוא הדגיש את חשיבותה של הסקת מסקנות לא מודעת עבורו. אין ספק שמקובל מאוד להניח בצד בעיה קשה, לתת לרעיונות לשקוע, ואז להתמודד איתה בראש נקי ולפתור אותה. הפתגם "הלילה מַשיא עצה" (La notte porta consiglio) קיים בשפות רבות:  Consiliis nox apta ("תוכניות בלילה", לטינית); Night is the mother of counsel ("הלילה הוא אֵם העצה", אנגלית); Die Nacht bringt Rat ("הלילה מביא עצה", גרמנית); Il est utile de consulter l’oreiller ("כדאי להתייעץ בכרית", צרפתית); Antes de hacer nada, consúltalo con la almohada ("לפני מעשה מתייעצים בכרית", ספרדית); La note xe la mare d’i pensieri ("הלילה הוא ים של מחשבות", גֵ'נוֹבֵזית) [בעברית, בעקבות אנגלית, "ישנים על זה" - הערת המתרגמת]

בואו נעבור מבעיות גדולות לבעיות נדושות יותר. הייתי רוצה לספר על חוויה אישית. לעיתים קרובות אני צריך לכתוב תוכנה עבור המחקר שלי בפיזיקה תיאורטית, פעילות מהנה ומרגיעה לטעמי. המחשב הוא מכונה נטולת שכל ישר, ועל כן הוא עושה בדיוק מה שאומרים לו לעשות, ונצמד בדייקנות קנטרנית למשמעות המילולית. אם מדברים עם בן אנוש ואומרים לו לנסוע בכביש ולהמשיך כל הזמן ישר, למרבה המזל הוא לא יֵרד מן הכביש כבר בעיקול הראשון; התנהגות כזאת תהיה טבעית עבור מחשב, אלא אם כן יצוין באופן מדויק לְמה הכוונה ב"להמשיך ישר".

לרוב, כל כמה שנשתדל, מה שאנחנו מבקשים מן המחשב לעשות בפעם הראשונה שונה במקצת ממה שאנחנו באמת רוצים לבקש. תוכנה חדשה, שנכתבה באחת משפות התכנות הרבות, לרוב לא עובדת: אם עורכים בדיקות פשוטות מקבלים תוצאות שונות לגמרי מן הצפוי (זאת לפחות החוויה שלי: ברור כי ככל שהמתכנת טוב יותר, הוא יגיע קרוב יותר למטרה כבר בניסיון הראשון).

פעמים אינספור נאבקתי בוקר שלם כדי לנסות להבין איפה טעיתי: התעמקתי בכל הפקודות, בזו אחר זו, תהיתי אם הפסיקים במקום הנכון, ולא הצלחתי לרדת לשורש הבעיה. ואז, במכונית בדרך הביתה, צצה במוחי המחשבה, 'זאת הטעות!' וכשהגעתי הביתה בדקתי ובאמת מצאתי אותה

פעמים אינספור נאבקתי בוקר שלם כדי לנסות להבין איפה טעיתי: קראתי את הקוד בעיון, התעמקתי בכל הפקודות, בזו אחר זו, תהיתי אם הפסיקים במקום הנכון, אם חסר סימן נקודה-פסיק, אם יש סימן שוויון אחד יותר מדי או אחד פחות מדי, ולא הצלחתי לרדת לשורש הבעיה. ואז, במכונית בדרך הביתה, צצה במוחי המחשבה, "זאת הטעות!" וכשהגעתי הביתה בדקתי ובאמת מצאתי אותה.

לפעמים הבעיה וגם הפתרון מונחים ממש לנגד עינינו, ו... - תצלום: קונור פופ

מקרה שכיח מאוד. בפעם אחרת – לצערי, רק פעם אחת בחיי – אירע לי מקרה מאותו הסוג, רק מרהיב יותר. בשיתוף עם כמה מעמיתי, התמודדתי עם בעיה קשה מאוד; ניסינו להבין מה האסטרטגיה הדרושה כדי לפתור אותה, ללא הצלחה. במשך תקופה ארוכה (עשר, חמש-עשרה שנים) הוצעו קירובים שונים: אני עצמי עבדתי על הבעיה, אבל נטשתי אותה מאחר שנראתה לי קשה מדי. ואז, בארוחת הצהריים בכנס כלשהו, אמר לי חבר, "אתה יודע, הבעיה שעבדת עליה מעניינת מאוד, כי לפתרון שלה יהיו יישומים מעבר לְמה שחשבנו בעבר." עניתי לו, "אז צריך לעשות מאמץ ולפתור אותה. אולי נוכל לנסות..." והסברתי לו צעד אחר צעד את האסטרטגיה לפתרון הבעיה, שאחר כך התברר שהיא נכונה.

מחשבות ומילים

לעיתים קרובות מניחים שתהליך החשיבה הוא מילולי, ושהסקת מסקנות לא מודעת אינה חשיבה כהלכתה. איינשטיין לא היה מסכים; הוא טען שמודעות מוחלטת היא מקרה קיצוני, שלא מתרחש לעולם: תמיד קיים חלק לא מודע במחשבה

במקרים האלה קל לזהות דוגמאות לתהליך הדגירה. אני משוכנע שכל אחד מאיתנו יכול לספר אנקדוטות דומות. אבל אם הדגירה, בנושאים גדולים או קטנים, היא תהליך לא מודע, עלינו לשאול את עצמנו תחת איזה סוג של היגיון היא פועלת ואיך היא מתרחשת. לעיתים קרובות מניחים שתהליך החשיבה הוא מילולי, ושהסקת מסקנות לא מודעת אינה חשיבה כהלכתה. איינשטיין לא היה מסכים; הוא טען שמודעות מוחלטת היא מקרה קיצוני, שלא מתרחש לעולם: תמיד קיים חלק לא מודע במחשבה.

אמנם איני מומחה בתחום, אבל הרשו לי לשטוח כמה הגיגים לגבי חשיבה מודעת ולא מודעת. יש לנו רושם שחשיבה מתבצעת באמצעות מילים, ניסוח משפטים. לא רק כשאנחנו מדברים עם אנשים אחרים אלא גם כשאנחנו מהרהרים בשתיקה. אילו מישהו היה מבקש מאיתנו להרהר בבעיה בלי להשתמש במילים, היינו מוצאים את עצמנו חסרי אונים לחלוטין: איננו מסוגלים לפתור את הבעיה במוחנו בלי לנסח את הנימוקים במילים; המילים יכולות להיות בשפה כלשהי, אבל אלה בהכרח מילים.

ואולם, הצורה המילולית לא יכולה למצות את דרך המחשבה שלנו; למעשה, כשאנחנו מתחילים לחשוב או לומר משפט, עלינו לדעת לאן מועדות פנינו. כללי הדקדוק מחייבים אותנו. איננו מתחילים משפט במילה "לא", ואז עוצרים בלי לדעת מה לומר, שכן ברגע שהמילה "לא" עולה בדעתנו אנחנו כבר יודעים מה הפועל הבא אחריה, וכנראה גם מה המשפט כולו. אבל אם אכן כך, המשפט כולו חייב להתקיים במוחנו בצורה לא מילולית לפני שהוא מבוטא במילים.

ניסוח מחשבות באמצעות מילים הוא עניין חשוב ביותר; למילים יש כוח, הן קשורות זו בזו ומושכות זו את זו. במהותו, תפקידן דומה לתפקיד האלגוריתם במתמטיקה

ניסוח מחשבות באמצעות מילים הוא עניין חשוב ביותר; למילים יש כוח, הן קשורות זו בזו ומושכות זו את זו. במהותו, תפקידן דומה לתפקיד האלגוריתם במתמטיקה. כפי שהאלגוריתם מבצע חשיבה מתמטית כמעט בעצמו, כך למילים יש חיים משלהן, הן מעוררות מילים אחרות, מאפשרות לנו לעשות הפשטות, להסיק מסקנות, להשתמש בלוגיקה פורמלית. אולי הניסוח המודע במילים של החשיבה המודעת משמש גם כדי לזכור מה חשבנו: אם לא ננסח את המחשבות שלנו במילים יִקשה עלינו יותר לזכור אותן. עם זאת, חשיבה מילולית חייבת להקדים חשיבה לא מילולית. אין זו טענה מוזרה במיוחד אם מביאים בחשבון כי מבחינה היסטורית, המחשבה עתיקה הרבה יותר מן השפה: השפה האנושית היא בת כמה עשרות אלפי שנים, אבל קשה להאמין שבני אדם, לפני היות השפה, לא חשבו (וגם שבעלי חיים או ילדים קטנים, שעדיין לא מדברים, אינם חושבים בדרך כלשהי).

עד שמוצאים את המילים הנכונות... - תצלום: אנדראס פיקל

לרוע המזל, קשה מאוד להבין איזה סוג לוגיקה מאפיין מחשבה לא מילולית, גם מפני שהלוגיקה מתייחסת לשפה, וכמעט בלתי אפשרי לחקור חשיבה לא מילולית באמצעות כלים של השפה. עם זאת, חשיבה לא מודעת חיונית לניסוח רעיונות חדשים: משתמשים בה לא רק בתקופת הדגירה הארוכה שעליה דיברו פואנקרה ואדמר – חשיבה לא מודעת היא גם הבסיס לאינטואיציה מתמטית, תופעה כללית יותר. למעשה, במבט ראשון, לאינטואיציה מתמטית יש תכונות מפתיעות.

הוכחה של משפט היא כמו בנייה של גשר שנתמך בעמודים: קודם מחליטים מאיפה הוא צריך לצאת ולאן עליו להגיע, אחר כך מקימים את העמודים התומכים בו, ובסוף סוללים את הכביש

הוכחה של משפט מבוססת בדרך כלל על שלבים רבים, הבנויים זה על זה, עד שלבסוף מגיעים לפתרון, דדוּקציה אחר דדוּקציה. אולם למעט במקרים נדירים, לא זו השיטה שהמשפט הוכח בה לראשונה. בדרך כלל, קודם כול מנסחים השערה: בשלב הזה, כשיודעים מה נקודת המוצא ולאן רוצים להגיע, נקבעים שלבי הביניים, אשר בהמשך מחוברים זה לזה בהוכחות הדרושות, עד להשלמת ההוכחה. כמו בנייה של גשר שנתמך בעמודים: קודם מחליטים מאיפה הוא צריך לצאת ולאן עליו להגיע, אחר כך מקימים את העמודים התומכים בו, ובסוף סוללים את הכביש. לא הגיוני להתחיל בבניית הקשת הראשונה של הגשר, ורק לאחר סיום הבנייה להמשיך ולתכנן את השנייה, ולהסתכן בכך שרק אז נגלה שאין אפשרות להניח את היסודות לעמוד התומך השני.

במובן מסוים, כשם שמשפט מוכרח להתקיים בשלמותו לפני שמנסחים אותו במילים, מוכרחה להיות הוכחה במוחו של המתמטיקאי, לפחות בראשי פרקים, לפני שעוברים לשלב הדדוּקציות.

דרך ההתנהלות הזאת מסבירה מדוע ההוכחה הראשונה למשפטים תקפים כה רבים הייתה שגויה. לעיתים קרובות, לאחר שהמתמטיקאי מנסח נכונה את המשפט ומזהה דרך הוכחה אפשרית, הוא טועה באחד משלבי הביניים. זה קורה כאשר האינטואיציה כמעט נכונה, או שיש צורה נכונה אחרת לצלוח את המעבר הקשה, או שיש מסלול אחר, שונה במקצת, להגיע לאותה תוצאה. מתמטיקאים מרבים לדבר על "משמעות" של משפט, משמעות שמתבטאת בשפה לא פורמלית, המבוססת בעיקר על אנלוגיות, על קווי דמיון, על מטפורות, על אינטואיציות. אבל בדרך כלל אין זכר למשמעות הזאת בטקסטים מתמטיים שמשתמשים בשפה אחרת: המשמעות איכשהו מצדיקה את האינטואיציה המקורית, אבל מכיוון שלא ניתן לנסח אותה, היא נתפסת כמשהו לא מדויק, שאפשר לדבר עליו בין חברים, אבל אי אפשר להכניס אותו לטקסט שמחויב בחוּמרה קפדנית.

אינטואיציה

בתקופה של גלילאו, ההשערה שיש ליקום כולו חוקים אחידים נשמעה מזעזעת, ורבים, שלא קיבלו את האינטואיציה שלו, דחו את המסקנות הנגזרות ממנה עד שזכתה להוכחה

אבל יש גם אינטואיציה פיזיקלית, שונה מזו המתמטית, שהתפתחה עם הזמן. לגלילאו, כפי שמציין ההיסטוריון של המדע פאולו רוֹסי, הייתה אינטואיציה חזקה שהעולם השמיימי והעולם הארצי דומים זה לזה, וכי ניתן להשתמש באותם חוקים לשניהם. הטענה הזאת הייתה נקודת המוצא לרבות מן התגליות של גלילאו, אבל לא היה קל להוכיח אותה, משום שההיגיון נשך לעיתים קרובות את זנבו, כפי שציין בזלזול הפילוסוף של המדע פול פֵייראבֶּנְד: כתמי השמש היו הוכחה לכך שהעולם השמיימי יכול להתבלות רק אם מקור הכתמים לא היה בטלסקופ. מאחר שלא ניתן היה לוודא שהטלסקופ לא יצר תמונות שקריות של העולם השמיימי, המסקנה מן התצפיות של גלילאו הייתה או שקיימים כתמים על שמש, ולכן העולם השמיימי יכול להתבלות כמו העולם הארצי; או שהטלסקופ הפיק תמונות שקריות, ויש לו אינטראקציה שונה עם האור שמגיע מעצמים ארציים ומעצמים שמימיים. ברור שקשה מאוד לתמוך בהשערה השנייה, מכיוון שכתמי השמש הסתובבו במהירות קבועה (כתוצאה מסיבוב השמש). עם זאת, ההשערה שיש ליקום כולו חוקים אחידים נשמעה מזעזעת בתקופה ההיא, ורבים, שלא קיבלו את האינטואיציה של גלילאו, דחו את המסקנות הנגזרות ממנה עד שזכתה להוכחה.

לאינטואיציה הפיזיקלית היה תפקיד מהותי גם לאחר מכן, והיא הייתה חשובה במיוחד בלידתה של מכניקת הקוונטים בתחילת המאה העשרים. זאת הייתה אחת ההרפתקאות הגדולות ביותר של הפיזיקה, ובין השנים 1901 ל-1930 לקחו בה חלק מדענים בולטים כמו פלאנק, איינשטיין, בוהר, הַייזנברג, דיראק, פָּאוּלי, פרמי... ניכר שהתהליך היה מוזר מאוד, ובמובנים מסוימים מלא סתירות. היו כמה תצפיות על תופעות (למשל קרינת גוף שחור), שפיזיקאים בני הזמן לא היו מסוגלים להסביר. לא היה מדובר בחוסר יכולת – היה ניתן להסביר אותן רק הודות למכניקת הקוונטים, שעדיין לא התגלתה באותה עת.

מה היה אמור להיות הסדר ההגיוני? להמציא את מכניקת הקוונטים ולהציג את ההסבר הנכון! ההיסטוריה פנתה בדרך שונה לחלוטין; נעשו ניסיונות שונים להסביר תופעות קוונטיות בעזרת מודלים קלאסיים מפורטים, בהנחה שחלק מן המרכיבים הפחות מוכרים של המודל מתנהגים בצורה מוזרה

מה היה אמור להיות הסדר ההגיוני? להמציא את מכניקת הקוונטים ולהציג את ההסבר הנכון! ההיסטוריה פנתה בדרך שונה לחלוטין; נעשו ניסיונות שונים להסביר תופעות קוונטיות בעזרת מודלים קלאסיים מפורטים, בהנחה שחלק מן המרכיבים הפחות מוכרים של המודל מתנהגים בצורה מוזרה (שלמעשה לא מתאימה למכניקה הקלאסית), בגישה הטיפוסית של "יש דברים שעדיין לא הבנתי, אבל אבין אותם בעבודה הבאה". מאז מאמרו של פלאנק מ-1900 היה מספר רב של תוספות סותרות, חלקן באמת מוטעות – אבל העבודות האלה פשוט לא היו יכולות להיות נכונות, מאחר שניסו לעשות משהו בלתי אפשרי, להצדיק תופעות קוונטיות במסגרת המכניקה הקלאסית. לדוגמה, כשפלאנק ניסה להסביר קרינת גוף שחור, הוא הניח שהאור מקיים אינטראקציה עם תנודות בעלות תכונות קוונטיות נכונות, דבר שלא מתאים בשום צורה שהיא לעקרונות הכלליים של הפיזיקה הקלאסית. פלאנק לא הבחין שאותה תאימות כביכול לפיזיקה הקלאסית פשוט לא קיימת, והמשיך להתקדם היישר לפנים באותה הדרך.

הלך עם הראש בקיר ולא ראה שצריך מכניקה חדשה: מקס פלאנק (סביבות 1930), תצלום: Transocean Berlin, ויקיפדיה

מרשים לשים לב שהוצגו הסברים חלקיים נכונים: האינטואיציה הפיזיקלית הייתה חזקה כל כך, שתופעות קוונטיות הוסברו בצורת מחשבה שנותרה בתחומי המכניקה הקלאסית, דבר שהעצים את הסתירה בין המכניקה הקלאסית לתופעות הנצפות. בסופו של דבר, כשהתרבו יותר מדי הסתירות, כבר נובאו היבטים רבים של מכניקת הקוונטים החדשה. לדוגמה, בתיאוריה של בוהר מ-1913, בהנחה שאלקטרון יחיד שחג סביב אטום המימן יכול להישאר במסלולים מסוימים המקיימים תנאי מסוים, ניתן לחשב בצורה פשוטה את הקווים הסְפֶּקְטְרָליים של האור הנפלט מן המימן; לא אפשר היה לבסס את ההשערה במכניקה הקלאסית, אבל היא סיפקה רמזים משמעותיים שהיו דרושים לבניית מכניקת הקוונטים כעשר שנים מאוחר יותר, כשהופיעה המודעות לצורך הדוחק במכניקה חדשה.

המחסומים האחרונים נפלו בשנים 1925-1924; בשנים שלאחר מכן ההתקדמות הייתה מהירה ומרשימה, ועד סוף 1927 למעשה כבר קיבלה מכניקת הקוונטים החדשה את הניסוח הפורמלי הסופי שלה. עבודת ההכנה (שנמשכה עשרים וחמש שנים, מ-1900 עד 1925) התאפשרה בדיוק בזכות האינטואיציה החזקה לגבי אופן הארגון של המערכת הפיזיקלית. זאת הייתה אינטואיציה שונה מאוד מזו של המתמטיקאים, והיא הוליכה לעבודות שקידמו את הפיזיקה למרות הטיעונים השגויים לעיתים קרובות.

אתה חייב להכיר את מערך הניסוי שלך, את המערכת שאתה מודד, את התופעות שאתה מסתכל עליהן, ברמה כזאת שתוכל לענות את התשובה הנכונה בלי לחשוב. אם שואלים אותך (או שאתה שואל את עצמך), אתה חייב לענות את התשובה הנכונה מיד, ואחר כך, לאחר מחשבה, להיות מסוגל להסביר מדוע התשובה הייתה נכונה

ועוד בנושא האינטואיציה; חבר שלי, פיזיקאי ניסיוני של טמפרטורה נמוכה, אמר לי, "בסופו של דבר, אתה חייב להכיר את מערך הניסוי שלך, את המערכת שאתה מודד, את התופעות שאתה מסתכל עליהן, ברמה כזאת שתוכל לענות את התשובה הנכונה בלי לחשוב. אם שואלים אותך (או שאתה שואל את עצמך), אתה חייב לענות את התשובה הנכונה מיד, ואחר כך, לאחר מחשבה, להיות מסוגל להסביר מדוע התשובה הייתה נכונה." ג'ובאני גָלָבוֹטי, בהקדמה לספר המכניקה היפה שלו, אומר שסטודנט טוב חייב להרהר בהוכחה של משפט עד שהמשפט נראה לו ברור, וההוכחה, כתוצאה מכך, מיותרת.

האינטואיציה תלויה במידה רבה בתחום; למשל, יש מקרים שהאינטואיציה מבוססת על ניסוח פורמלי מתמטי. ניסוח פורמלי הוא כלי חזק מאוד, והוא מתחזק עוד יותר אם הלא-מודע עצמו מתחיל להתרגל לשימוש בהליכים אלגוריתמיים. כפי שראינו, כשערכתי את המחקר הראשון שלי על זכוכית ספין השתמשתי בשיטת השכפול, ניסוח פורמלי פְּסֵאוּדוֹ-מתמטי (שכן התוקף המתמטי של מה שעשיתי הוכח רק כמה שנים מאוחר יותר), שאיפשר לי להגיע לתוצאה הסופית בלי להבין מה אני עושה, ואז נדרשו עוד שנים כדי להבין את המשמעות הפיזיקלית של התוצאות שלי. בניתי באופן לא מודע סדרה של חוקים, שהשתמשתי בהם כדי להבין את הכיוון שיש להתקדם בו בחישובים, חוקים שלעולם לא הייתי יודע לנסח פורמלית.

התקדמות לא מודעת אינה הליך אופייני רק לבעיות מדעיות. סופרת גדולה בת המאה העשרים, לוּצֵ'ה דֵ'ראמוֹ, סיפרה שנהגה לכתוב רומנים כך: היא היתה קוראת מחדש כל מה שכתבה עד אותו רגע, ואז מחליטה איך תתחיל הסצנה הבאה. בשלב זה היא אספה בראשה את הדמויות, הכניסה אותן לפעולה בסצנה והתבוננה בהן: "אני לא מחליטה מה הן צריכות לעשות, אבל אני מדמיינת אותן ומתבוננת בהן בזמן שהן מדברות ופועלות: אני רושמת מה הן עושות." הדמיון לנוהל שתיארו פואנקרה ואדמר בולט לעין.

ידיעת המסקנה

ברצוני להציג כעת טיעון אחרון המצביע על כך שדרך החשיבה שלנו מורכבת יותר מכפי שאנחנו חושבים. תמיד הדהים אותי הקושי להוכיח או להפריך טענה כשאין לנו רמזים לגבי התוצאה הסופית. אם קיימים נימוקים היוּריסטיים חזקים המרמזים שטענה כלשהי נכונה (או שקרית), לעיתים קרובות (אבל לא תמיד) קל הרבה יותר למצוא את ההוכחה. במקרה ההפוך, כשאין רמזים לגבי התוצאה, ניתן לצפות שנגיע לתוצאה הסופית בפרק זמן כפול לכל היותר: מחצית הזמן אנחנו חושבים כאילו אנחנו יודעים שהתוצאה נכונה, ובמחצית האחרת כאילו אנחנו יודעים שהתוצאה שקרית. קל לומר, אבל לא קל לעשות; בפועל, מישהו מנסה למצוא טיעונים כדי להוכיח את אמיתות הטענה, ואם אינו מצליח, הוא מנסה להפריך אותה, וכך הוא מתנדנד בין שתי הגישות בלי להתקדם הרבה. אנחנו יכולים אולי לעבור במודע מהשערה אחת להשערה ההפוכה, אבל הלא-מודע נשאר מבולבל.

אפשר להדגים את התפקיד המשמעותי של תוספת מידע קטנה באמצעות מקרה מדהים שהתנסיתי בו. תכונה מעניינת מאוד (למען הפשטות אקרא לה X) אומתה בהקשר של מודלים פשוטים מאוד, ולצורך פיתוח התיאוריה מן ההכרח היה להבין אם ניתן להוכיח את התכונה במקרה של מערכות ממשיות. אני וחברַי דיברנו על כך שנים: לאף אחד לא היה מושג איך להתמודד עם ההוכחה, ונוסף על כך, פיקפקנו בעצם האפשרות להוכיח את התכונה, בהנחה שהיא נכונה.

המידע הפשוט, שלפיו התכונה X ניתנת להוכחה מתוך מאגר הידע הנפוץ, הספיקה לו כדי להגיע להוכחה המבוקשת בתוך פחות מעשר שניות

יום אחד, ידידי סילביו פרנץ סיפר לי שהוכיח את תכונה X, בשיתוף עם לוקה פֵּליטי, תוך שימוש ברעיון פשוט מאוד אך ממולח ביותר. הייתי מרוצה; נסעתי לפריז והכרזתי בכנס שאני מאמין כי ניתן להוכיח את התכונה X. לא הכרזתי מה התוצאה כי רציתי לחכות שחברי יכתוב את ההוכחה. לאחר הכנס אמר לי חבר אחר, מרק מזארד, בשעה שהיינו על מדרגות ה"אֵקוֹל נוֹרְמַל": "סליחה, ג'ורג'ו, מדוע אמרת שאתה בטוח שאפשר להוכיח את תכונה X? אתה יודע היטב שאין לנו שום דרך להוכיח אותה." עניתי לו, "מרק, סילביו פרנץ ולוקה פליטי הוכיחו לא מזמן את תכונה X: הם פירטו באוזני את ההוכחה, והיא נכונה." להפתעתי, אמר מזארד מיד, "אה, כן, אני רואה את ההוכחה," ובו במקום נתן לי בראשי פרקים את ההוכחה הנכונה. המידע הפשוט, שלפיו התכונה X ניתנת להוכחה מתוך מאגר הידע הנפוץ, הספיקה לו כדי להגיע להוכחה המבוקשת בתוך פחות מעשר שניות.

כשיודעים את התוצאה, קל יותר להבין מה קורה ולהוכיח את הדרך לשם. תצלום: ביטין ראג'.

מדהים להיווכח שמקורן של תיאוריות כבידה תמיד קשור למשהו שנופל: תפוח אצל ניוטון, וסייד אצל איינשטיין

מרשים לראות איך לפעמים די במידע מזערי להתקדמות מהותית בתחום שהוקדשה לו מחשבה רבה. לדוגמה, איינשטיין אמר שב-1907 הוא הירהר רבות בכבידה, ויום אחד הייתה לו "האינטואיציה המאושרת ביותר בחייו": כשאנחנו צוללים בנפילה חופשית איננו מרגישים יותר את הכבידה, הכבידה סביבנו נעלמת; כוח הכבידה תלוי במערכת הייחוס, ועל ידי בחירה במערכת ייחוס מתאימה ניתן לבטל אותו, לפחות באופן מקומי. הוא יצא לדרך מן ההתבוננות הזאת, ובנה את תורת היחסות הכללית, שהיא אולי תרומתו המשמעותית ביותר, ואשר הקדימה את זמנה יותר מכל עבודה אחרת שלו.

אומרים שהאינטואיציה של איינשטיין הופיעה בעקבות מקרה מוזר (אני לא בטוח שהסיפור נכון, אבל גם אם הוא לא נכון, הוא יפה). סייד סִייד את הבניין של איינשטיין ועבד בקומה השלישית, בישיבה על כיסא על פיגום. יום אחד הוא רכן יותר מדי, איבד את שיווי המשקל וצנח מטה, כשהוא עדיין יושב על הכיסא. למרבה המזל, הוא רק שבר כמה עצמות. כמה ימים לאחר מכן, בשיחה עם שכן, תהה איינשטיין, "מי יודע מה חשב הסייד המסכן בזמן שנפל," והשכן ענה, "דיברתי איתו, והוא אמר לי שבזמן הנפילה הוא לא הרגיש שהוא יושב על הכיסא שלו, כמעט כאילו נעלמה הכבידה." בשלב הזה קלט איינשטיין מיד את האבחנה של הסייד והמריא איתה עד לניסוח תורת היחסות הכללית. מדהים להיווכח שמקורן של תיאוריות כבידה תמיד קשור למשהו שנופל: תפוח אצל ניוטון, וסייד אצל איינשטיין.

מתוך "מעוף הזרזירים: יופיין של מערכות מורכבות בעיניו של פיזיקאי", מאת ג'ורג'ו פריזי (Parisi), זוכה פרס נובל לפיזיקה. מאיטלקית: שירלי פינצי לב. ראה אור בהוצאת "כתר", 2023.

תמונה ראשית: לראות קצת אחרת, לנער את הקבעונות. תצלום: מרטין סנצ'ס, unsplash.com

Photo by Martin Sanchez on Unsplash