מתמטיקה אהובתי

הוא התפלח כנער לסמינרים באוניברסיטת מוסקווה והתקבל לדוקטורט בהרווארד בלי תואר ראשון. אדוארד פרנקל רוצה שכולם יחלקו איתו את אהבתו למתמטיקה -- וכן, הוא גם עובד על הנוסחה לאהבה
X זמן קריאה משוער: רבע שעה

מי שלמד מתמטיקה ברמות גבוהות לא יהסס לדבר עליה במונחים של יופי. יופי מתמטי, בדומה ליופיו של קוורטט מאוחר של בטהובן, נובע מהשילוב בין המוזר לצפוי. אבסטרקציות פשוטות חושפות חריגות ומורכבויות משונות. קשרים מסתוריים בין מבנים שלכאורה אינם קשורים זה לזה. דפוסים מופלאים נחשפים, ונותרים מופלאים גם לאחר שהם שורדים את מבחניו המחמירים של ההיגיון.

הרשמים האסתטיים האלה כה חזקים, עד שמתמטיקאי דגול, ג. ה. הארדי, הכריז שיופי, לא יעילות, הוא ההצדקה האמתית למתמטיקה. בשביל הארדי, מתמטיקה היא מעל לכול אמנות יצירתית. "תבניותיו של המתמטיקאי, כמו אלה של הצייר או המשורר, חייבות להיות יפות," הוא כתב בספרו הקלאסי משנת 1940, "התנצלותו של מתמטיקאי". "יופי הוא המבחן הראשון: אין מקום קבוע בעולם למתמטיקה מכוערת."

ומהי התגובה המתאימה כשנתקלים ביופי מתמטי? הנאה, כמובן; אולי התפעלות. תומס ג'פרסון כתב בגיל 76 שההרהור באמיתות המתמטיקה עזר לו "להוליך שולל את הלֵאוּת המתלווה לשקיעת החיים." בשביל ברטרנד ראסל – שטען באוטוביוגרפיה שלו במלודרמטיות כי תשוקתו לדעת עוד על מתמטיקה היא הדבר שמנע ממנו להתאבד – יופייה של המתמטיקה הוא "קר וחמור, כמו זה של פסל. טהור ונעלה, ומסוגל לשלמות נוקשה." אצל אחרים עלול יופי מתמטי לעורר תחושות חמות הרבה יותר. אלה הולכים בעקבות "המשתה" של אפלטון. בדיאלוג זה מספר סוקרטס לאורחים שהתאספו במשתה כיצד כוהנת בשם דיוטימה חשפה בפניו את המסתורין של ארוס – השם היווני לתשוקה בכל צורותיה.

צורה אחת של ארוס היא התשוקה המינית המתעוררת בעקבות יופי פיזי של אדם אהוב מסוים. לפי דיוטימה, זוהי הצורה הנחותה ביותר. אך בעזרת עידון פילוסופי אפשר לרומם את הארוס אל מטרות נעלות יותר ויותר. המטרה לפני האחרונה – רגע לפני הרעיון האפלטוני של היופי בעצמו – היא יופי מושלם ועל-זמני המתגלה בעזרת המדעים המתמטיים. יופי זה מעורר באלה המסוגלים לתפוס אותו את הרצון להתרבות – לא ביולוגית, אלא אינטלקטואלית, על-ידי יצירת עוד "רעיונות ותיאוריות יפים להפליא." מבחינת דיוטימה, ולכאורה גם מבחינתו של אפלטון, התגובה ההולמת את היופי המתמטי היא הארוס שאנו מכנים אהבה.

אנשים משכילים רבים יודו בבורותם בכל הנוגע למתמטיקה. הבעיה, אומר פרנקל, היא שהם מעולם לא נחשפו ליצירות המופת שלה

אדוארד פרנקל, עילוי מתמטי רוסי שהפך למרצה בהרווארד בגיל 21 וכיום מלמד בברקלי, הוא פלטוניסט חסר בושה. הארוס מציף את הביוגרפיה החדשה והכובשת שלו, "Love and Math". כנער, יופייה של המתמטיקה פגע בו כרעם ביום בהיר. עוד בגיל ההתגברות הוא גילה תגלית מתמטית, ובשבילו זה היה "כמו נשיקה ראשונה." גם כשנראה שהאנטישמיות הסובייטית תחסל את תקוותיו המקצועיות, הוא שאב כוחות מ"התשוקה והאושר שבמתמטיקה." והוא רוצה שכולם יחלקו איתו את התשוקה והאושר האלה.

וכאן טמון האתגר. מתמטיקה היא מופשטת וקשה; היופי שלה נראה לרובנו בלתי נגיש. כפי שציין המשורר הגרמני הנס מגנוס אנצנסברגר, מתמטיקה היא "שטח מת בתרבות שלנו – טריטוריה זרה שרק העילית, אותה קבוצה קטנה שהוכנסה בסוד העניינים, הצליחה להתחפר בה." אנשים משכילים רבים יודו בבורותם בכל הנוגע למתמטיקה. הבעיה, אומר פרנקל, היא שהם מעולם לא נחשפו ליצירות המופת שלה. המתמטיקה שלומדים בבית הספר, ואפילו באוניברסיטה (בקורסי מבוא, למשל), היא ברובה בת מאות או אלפי שנים, וכוללת בעיקר פתרון של בעיות שגרתיות בעזרת חישובים מעיקים.

זה רחוק מאוד ממה שרוב המתמטיקאים עושים כיום. בסביבות המאה התשע עשרה התרחשה במתמטיקה מעין מהפכה: הדגש עבר מחישובים הכבולים במדע ליצירה חופשית של מבנים חדשים, שפות חדשות. הוכחות מתמטיות, על כל הלוגיקה הדקדקנית שבהן, התחילו להיראות כנרטיבים, עם עלילות ועלילות משנה, פיתולים ופתרונות. וזה בדיוק סוג המתמטיקה שאנשים לא מכירים. נכון, היא עלולה להיות מבהילה. אבל יצירות אמנות גדולות, גם כשהן מאתגרות, מאפשרות לא פעם לפשוטי העם להציץ ביופיין. לא צריך לדעת את התיאוריה של הקונטרפונקט כדי להתרגש מפוגה של באך.

כדי לספק לקורא הצצה דומה ביופייה של המתמטיקה המתקדמת, פרנקל ניגש ישר להתפתחות המתמטית המלהיבה ביותר של חצי המאה האחרונה: תוכנית לנגלנדס. התוכנית נהגתה בשנות השישים על-ידי רוברט לנגלנדס (Langlands), מתמטיקאי קנדי במכון למחקר מתקדם בפרינסטון (ומי שירש את המשרד הישן של איינשטיין שם), ומטרתה להוות תיאוריה מאוחדת גדולה של מתמטיקה. ובכל זאת, מחוץ לקהילה המדעית היא כמעט לא ידועה. אפילו רוב המתמטיקאים המקצועיים לא הכירו את התוכנית עד שנות התשעים, אז היא מילאה תפקיד בהוכחה הידועה של המשפט האחרון של פרמה.

מאז, היקפה התרחב מעבר למתמטיקה והגיע לפיזיקה התיאורטית. למיטב ידיעתי, פרנקל הוא הראשון שניסה להסביר את תוכנית לנגלנדס – מבחינתו, "קוד המקור של המתמטיקה" – לקוראים ללא רקע מתמטי. ספרו, אם כן, הוא שלושה דברים: מכתב אהבה אפלטוני למתמטיקה; ניסיון לתת להדיוטות מושג על הדרמה הנהדרת ביותר המתרחשת בתחום כיום; ואוטוביוגרפיה משעשעת ומעוררת השראה שבה מתואר כיצד הסופר עצמו הפך לשחקן מפתח בדרמה הזו.

חפשו את האישה

פרנקל גדל בעידן ברז'נייב בעיר התעשייתית קולומנה השוכנת כ-100 קילומטר ממוסקבה. "שנאתי מתמטיקה בבית הספר," הוא מספר לנו. "מה שבאמת הלהיב אותי הוא פיזיקה – במיוחד תורת הקוונטים." בשנות העשרה המוקדמות שלו הוא קרא באדיקות ספרי פיזיקה פופולארית שכללו אזכורים מסעירים של חלקיקים תת-אטומיים כגון "האדרונים" ו"קווארקים". הוא שאל את עצמו מדוע החלקיקים היסודיים של הטבעי קיימים במגוון מפליא כזה? למה הם מתחלקים למשפחות בגדלים שונים? רק כשהוריו (שניהם מהנדסים תעשייתיים) סידרו לו פגישה עם חבר ותיק שלהם, מתמטיקאי, השתנו הדברים. מה שמביא סדר והיגיון לאבני הבניין של החומר, הסביר לו המתמטיקאי, הוא משהו שנקרא "חבורת סימטריות" – חיה מתמטית שפרנקל מעולם לא פגש בבית הספר. "זה היה רגע של התגלות," הוא נזכר, חזון של "עולם שונה לחלוטין."

רעיון החבורות הוא אולי הוורסטילי ביותר במתמטיקה ומבהיר דברים מסתוריים רבים. "כשיש ספק," ייעץ אנדרה וייל הדגול, "חפשו את החבורה!" זו המקבילה המתמטית לביטוי "חפשו את האישה"

בשביל מתמטיקאי, "חבורה" היא קבוצה של פעולות שמציירות יחד תמונה עקבית. סוג אחד של חבורה – הראשון שפרנקל נתקל בו – הוא חבורת סימטריות. נניח שבמרכז חדר עומד שולחן קלפים בצורת ריבוע. באופן אינטואיטיבי, הוא סימטרי בדרכים מסוימות. כיצד אפשר לחדד את הטענה הזו? אם נסובב את השולחן בתשעים מעלות בדיוק, הופעתו לא תשתנה; אף אחד שהיה מחוץ לחדר בזמן שסובבנו את השולחן לא יבחין בהבדל כשיחזור (בהנחה שאין עליו כתמים או שריטות). הדבר יהיה נכון גם אם נסובב את השולחן ב-180, 270, או 360 מעלות – כאשר האפשרות האחרונה שקולה לכך שלא נסובב את השולחן בכלל.

הפעולות האלה מרכיבות את חבורת הסימטריות של שולחן הקלפים. מכיוון שיש רק ארבע מהן, החבורה סופית. לו היה השולחן עגול, חבורת הסימטריות שלו היתה אינסופית מכיוון ששום סיבוב – של מעלה אחת, 45 מעלות, 132.32578 מעלות, או כל דבר אחר – לא ישנה את הופעתו. לכן חבורות הן דרך למדידת הסימטריות של אובייקט: שולחן מעגלי, עם חבורת הסימטריות האינסופית שלו, סימטרי יותר מאשר שולחן בצורת ריבוע, שחבורה הסימטריות שלו כוללת רק ארבע פעולות.

אבל (למרבה המזל) הדברים נעשים מעניינים יותר מזה. חבורות לוכדות סימטריות שמגיעות מעבר לגיאומטריה – כמו הסימטריות החבויות במשוואה, או במשפחה של חלקיקים תת-אטומיים. הכוח האמתי של תורת החבורות הודגם לראשונה בשנת 1832, במכתב שסטודנט ופעיל פוליטי פריזאי בן עשרים, אווריסט גלואה, שרבט בחופזה מאוחר בלילה לפני שיצא למות בדו-קרב (על כבודה של אישה, ייתכן שמול סוכן חשאי של הממשלה).

גלואה זיהה דרך יפה ביותר להרחיב את מושג הסימטריות לממלכת המספרים. בעזרת תורת החבורות שלו הוא הצליח לפתור בעיה קלאסית באלגברה שטרדה את מנוחתם של מתמטיקאים במשך מאות שנים – והוא עשה זאת בצורה בלתי צפויה לחלוטין ("גלואה לא פתר את הבעיה," כותב פרנקל. "הוא פרץ אותה.") חשיבות התגלית של גלואה התעלתה על הבעיה עצמה. כיום הספרות המתמטית מלאה ב"חבורות גלואה". רעיון החבורות הוא אולי הוורסטילי ביותר במתמטיקה ומבהיר דברים מסתוריים רבים. "כשיש ספק," ייעץ אנדרה וייל הדגול, "חפשו את החבורה!" זו המקבילה המתמטית לביטוי "חפשו את האישה".

מרגע שנשבה פרנקל הצעיר בקסמי המתמטיקה, הוא החל ללמוד עליה באובססיביות כל מה שהיה יכול ("זה מה שקורה כשמתאהבים"). בגיל 16 הגיע זמנו לנסות להתקבל לאוניברסיטה. הבחירה האידיאלית שלו הייתה ברורה: אוניברסיטת מוסקווה, שמחלקת המכניקה והמתמטיקה שלה, המכונה בקיצור מכ-מט, הייתה אחד המרכזים הגדולים בעולם למתמטיקה טהורה. אבל השנה הייתה 1984, שנה אחת לפני שגורבצ'וב עלה לשלטון, והמפלגה הקומוניסטית עדיין חלשה על כל היבטי החיים ברוסיה, כולל הקבלה לאוניברסיטאות. אביו של פרנקל יהודי, וזה כנראה הספיק כדי לסכל את קבלתו לאוניברסיטת מוסקווה (הרציונל הבלתי רשמי להדרת יהודים מתחומי אקדמיים הקשורים לפיזיקה היתה שהם עלולים לרכוש מיומנות גרעינית ואז להגר לישראל). אך בכל זאת נשמרה מראית עין של הוגנות. הרשו לו להשתתף במבחן הכניסה – שהפך לסיוט סדיסטי בן חמש שעות מתוך "אליס בארץ הפלאות" (הבוחן: "איך תגדיר מעגל?" פרנקל: "מעגל הוא אוסף הנקודות במישור הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה." בוחן: "טעות! זה אוסף כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה.")

בגיל 21 הפך פרנקל לחוקר אורח בהרווארד, בלי שום מחויבות רשמית מלבד העברת הרצאות מזדמנות על עבודתו

פרס הניחומים של פרנקל היה קבלה למכון לנפט וגז במוסקווה (המכונה בציניות קרוסינקה), שהפך למקלט לסטודנטים יהודים. אבל תשוקתו למתמטיקה טהורה הייתה עזה כל כך, הוא מספר לנו, עד שהוא טיפס על גדר בגובה שישה מטרים בבניין המכ-מט המאובטח היטב כדי להסתנן לסמינרים שם. תוך זמן קצר זוהתה יכולתו יוצאת הדופן על-ידי דמות בולטת בחוגי המתמטיקה בבירה הרוסית, והוא קיבל משימה, לעבוד על בעיה שעדיין לא נפתרה. הבעיה הזו כילתה את זמנו במשך כמה שבועות, וכמעט הביאה אותו לנדודי שינה. "ואז, לפתע, הצלחתי," הוא נזכר. "בפעם הראשונה בחיי, היה ברשותי דבר שאין לאף אחד אחר בעולם." הבעיה שהוא פתר עסקה בסוג אחר של חבורה מופשטת, המכונה "Braid Group" (חבורה הצמות) מכיוון שמקורו במערכות של פיתולים שזורים שנראים ממש כמו צמה קלועה.

למרות פריצת דרך זו ואחרות שניפק פרנקל בשנות העשרה המאוחרות שלו, עתידו האקדמי כקוואזי-יהודי לא נראה מבטיח. אבל מתמטיקאים בחו"ל התוודעו לכישרונו. בשנת 1989 הגיע בדואר מכתב בלתי צפוי מדרק בוק, נשיא הרווארד. במכתב הוא פנה לפרנקל כ"דוקטור" (אף על פי שעדיין לא היה לו תואר ראשון) והזמין אותו לבוא להרווארד כעמית. "שמעתי על אוניברסיטת הרווארד לפני כן," כותב פרנקל, "אף על פי שאני חייב להודות שלא הבנתי בזמנו את מעמדה בעולם האקדמי." בגיל 21 הוא הפך לחוקר אורח בהרווארד, בלי שום מחויבות רשמית מלבד העברת הרצאות מזדמנות על עבודתו. מה שהדהים אותו לא פחות הוא אשרת היציאה הסובייטית שקיבל תוך חודש. עזיבתו היתה הסנונית הראשונה באקסודוס של מתמטיקאים יהודים בעידן הפרסטרויקה.

הסתגלותו של פרנקל לחיים האמריקאים היתה חלקה למדי. הוא התפעל מ"השפע הקפיטליסטי" שראה בסופרמרקט בבוסטון; הוא קנה את "הג'ינס הכי מגניב ווקמן של סוני"; הוא התאמץ ללמוד את הניואנסים האירוניים של האנגלית ולשם כך הפך לצופה אדוק בתוכנית של דייוויד לטרמן כל ערב בטלוויזיה. וחשוב מכול, הוא פגש בהרווארד מהגר רוסי-יהודי נוסף שהציג בפניו את תוכנית לנגלנדס.

הכל התחיל במכתב

כמו התיאוריה של גלואה, גם תוכנית לנגלנדס נולדה במכתב. הוא נכתב בשנת 1967 על-ידי רוברט לנגלנדס (אז בתחילת שנות השלושים לחייו) ונשלח לאחד מעמיתיו במכון למחקר מתקדם, אנדרה וייל. במכתבו מעלה לנגלנדס אפשרות לאנלוגיה עמוקה בין שתי תיאוריות ששוכנות לכאורה בקצוות שונים של היקום המתמטי: תורת החבורות של גלואה, שעוסקת בסימטריות בממלכת המספרים; ו"ניתוח הרמוני", שעוסקת באופן שבו גלים מורכבים (למשל, צלילי סימפוניה) נבנים מתוך הרמוניות פשוטות (למשל, כלים בודדים). מבנים מסוימים בעולם ההרמוני, הנקראים תבניות אוטומורפיות, "ידעו" איכשהו על התבניות המסתוריים שבעולם המספרים. ולכן ייתכן שיהיה אפשר להשתמש בשיטות של עולם אחד כדי לחשוף הרמוניות נסתרות באחר – כך שיער לנגלנדס. אם האינטואיציות שבמכתב לא ישכנעו את וייל, הוסיף לנגלנדס, "אני בטוח שלא תתקשה למצוא פח אשפה."

בדוקטורט שלו הוכיח פרנקל משפט שעזר לפתוח פרק חדש בתוכנית לנגלנדס ולהרחיב אותה מעולם המספרים לעולם הגיאומטרי של המשטחים העקומים, כמו אלה של כדור או דונאט

אבל וייל, דמות רבת סמכות בעולם המתמטי של המאה העשרים (הוא מת בשנת 1998 בגיל 92), קיבל את טענותיו של לנגלנדס. במכתב שכתב בשנת 1940 לאחותו, סימון וייל, הוא תיאר בססגוניות את חשיבות האנלוגיה במתמטיקה. ברמיזה ל"בהגאוואד-גיטה" (הוא היה גם מלומד של סנסקריט), הסביר אנדרה לסימון שבדיוק כפי שלישות ההינדית וישנו יש עשרה אווטארים שונים, גם משוואה מתמטית פשוטה לכאורה עשויה להתגלות במבנים מופשטים שונים בתכלית. האנלוגיות העדינות בין מבנים כאלה הן כמו "קשרים אסורים," הוא כתב; " דבר לא מסב הנאה רבה יותר למומחה בתחום." וייל כתב לאחותו מכלא בצרפת, שם הוא נכלא זמנית על עריקה מהצבא (לאחר שכמעט הוצא להורג כמרגל בפינלנד).

תוכנית לנגלנדס היא אוסף השערות שיהפכו אנלוגיות היפותטיות כאלה לגשרים לוגיים איתנים המקשרים בין איים מתמטיים שונים ברחבי ים הבורות. ואפשר לתפוס אותה גם כאבן רוזטה שתאפשר לשבטים המתמטיים שבאיים האלה – תיאורטיקנים של מספרים, טופולוגים, גיאומטרים אלגבריים – לדבר זה עם זה ולאגד את משאביהם הקונספטואליים. ברובן, השערות לנגלנדס לא הוכחו עד כה. האם הן בכלל נכונות? ישנו ביטחון אפלטוני כמעט בקרב מתמטיקאים שכך חייב להיות. כפי שאמר איאן סטיוארט, תוכנית לנגלנדס היא "מתמטיקה שחייבת להיות נכונה כי היא כל כך יפה." האחדות שהיא עשויה להביא למתמטיקה הגבוהה תוכל להזניק אותנו לתור זהב חדש שבו אולי נגלה סוף סוף, כפי שאומר פרנקל, "מהי בעצם מהותה של המתמטיקה."

מכיוון שלפרנקל לא היה תואר מתקדם, הוא נאלץ "לרדת בדרגה" באופן זמני, ממרצה בהרווארד לדוקטורנט, עד שישלים את הדוקטורט – דבר שעשה תוך שנה אחת בלבד (בטקס הסיום שלו בשנת 1991, הוא שמח לשמוע שבחים אישיים מהנואם האורח, אדוארד שוורדנדזה, אחד מאדריכלי הפרסטרויקה). בדוקטורט שלו הוכיח פרנקל משפט שעזר לפתוח פרק חדש בתוכנית לנגלנדס ולהרחיב אותה מעולם המספרים לעולם הגיאומטרי של המשטחים העקומים, כמו אלה של כדור או דונאט. זה דרש ממנו לעקם, ואף לנפץ, רעיונות מתמטיים בסיסיים רבים – כמו המספרים המשמשים אותנו כשאנו סופרים.

נביט לדוגמה בספרה 3. היא משעממת; אין לה מבנה פנימי. אבל נניח שנחליף את המספר 3 עם "מרחב וקטורי" בן שלושה ממדים – קרי, מרחב שבו כל נקודה מיוצגת על-ידי שלשה של מספרים, עם חוקים משלו לחיבור והכפלה. עכשיו יש לנו משהו מעניין: מבנה עם יותר סימטריות מאשר מקדש יווני. "במתמטיקה המודרנית אנו יוצרים עולם חדש שבו מספרים מתעוררים לחיים כמרחבים וקטוריים," כותב פרנקל. ומושגים בסיסיים אחרים מועשרים גם כן. "פונקציות" שאולי נתקלנו בהם בשיעורי המתמטיקה בתיכון (לדוגמה y=f(x)) הופכות ליצורים אקזוטיים הנקראים "אלומות".

הצעד הבא היה להרחיב את תוכנית לנגלנדס מעבר לגבולות המתמטיקה עצמה. בשנות השבעים התגלה שאחד מרכיבי המפתח שלה – "החבורה הדואלית של לנגלנדס" – צצה גם במכניקת הקוונטים. זאת היתה הפתעה. האם ייתכן שלאותם דפוסים שאפשר לראות במעורפל בעולמות המספרים והגיאומטריה, יש מקבילים בתורה שמתארת את הכוחות הבסיסיים בטבע? פרנקל נדהם מהקשר האפשרי בין מכניקת קוונטים לתוכנית לנגלנדס, והחליט לחקור אותה – בעזרת מענק של מיליוני דולרים רבים שהוא וכמה עמיתים קיבלו בשנת 2004 ממחלקת ההגנה, המענק הגדול ביותר עד היום לכל מחקר במתמטיקה טהורה (בנוסף לכך שהיא נקייה ועדינה, מתמטיקה טהורה היא גם זולה: כל העוסקים במלאכה צריכים רק גיר ומעט כסף לנסיעות. היא גם פתוחה ושקופה מכיוון שאין המצאות שצריך להוציא עליהן פטנטים).

פרופ' אדוארד ויטן

פרופ' אדוארד ויטן

זה הוביל אותו לשיתוף פעולה עם אדוארד ויטן, שנחשב בעיני רבים לפיזיקאי המתמטי הגדול ביותר שחי כיום (וכמו לנגלנדס עצמו, חבר במכון למחקר מתקדם בפרינסטון). ויטן הוא וירטואוז של תורת המיתרים, מאמץ מתמשך של פיזיקאים לאחד את כל כוחות הטבע, כולל כוח הכבידה, באריזה מתמטית נאה אחת. הוא עשה על פרנקל רושם רב עם ה"לוגיקה הבלתי שבירה" וה"טעם המצוין" שלו. ויטן הוא האדם שהבין כי הממברנות שמציעים אנשי תורת המיתרים עשויות להיות אנלוגיות ל"אלומות" שהמציאו המתמטיקאים. כך נפתח דיאלוג עשיר בין תוכנית לנגלנדס, שמטרתה לאחד את המתמטיקאים, לתורת המיתרים, שמטרתה לאחד את הפיזיקאים. אף על פי שהאופטימיות לגבי תורת המיתרים דעכה במידת מה מכיוון ש(עד כה) היא לא הצליחה לספק תיאור יעיל של היקום שלנו, הקשר ללנגלנדס הניב תובנות עמוקות בתחום פיזיקת החלקיקים.

"כלבו של ויטן" בסדרה פיוצ'רמה

"כלבו של ויטן" בסדרה פיוצ'רמה

זו אינה הפעם הראשונה שקונספטים מתמטיים שנחקרו על שום יופיים הטהור שופכים אור על העולם הפיזי. "כיצד ייתכן," שאל איינשטיין בפליאה, "שמתמטיקה, תוצר של מחשבה אנושית המנותק מן הניסיון, הולמת באופן מופלא כל כך את האובייקטים של המציאות?" פרנקל רואה את הדברים בצורה שונה מאוד מאיינשטיין. מבחינתו, מבנים מתמטיים הם "אובייקטים של המציאות"; הם אמתיים לא פחות מכל דבר אחר בעולם הפיזי או המנטלי.

יתרה מזו, הם אינם תוצר של מחשבה אנושית; הם על-זמניים, מצויים בממלכה אפלטונית משלהם, ממתינים למתמטיקאים שיגלו אותם. האמונה שלמתמטיקה יש מציאות משלה המתעלה מעל המחשבה האנושית, אינה נדירה בקרב העוסקים במלאכה, ובמיוחד בקרב מתמטיקאים דגולים כמו פרנקל ולנגלנדס, סר רוג'ר פנרוז וקורט גדל. היא נובעת מהאופן שבו תבניות וקשרים מוזרים מתגלים לפתע ורומזים על משהו חבוי ומסתורי. מי שם את התבניות האלה שם? בהחלט לא נראה שהם מעשה ידינו.

הבעיה בתפיסה האפלטונית הזו של המתמטיקה – זו שפרנקל, הכותב על הנושא ברוח מסתורית, כלל לא מזהה כבעיה – היא שהידע המתמטי הופך לנס. אם האובייקטים של המתמטיקה קיימים בנפרד מאיתנו, שוכנים בגן עדן אפלטוני המתעלה מעל העולם הפיזי של המרחב והזמן, כיצד יצליח המוח האנושי "ליצור קשר" איתם וללמוד על תכונותיהם ומערכות היחסים שלהם? האם למתמטיקאים יש תפישה על-חושית? הבעיה עם פלטוניזם, כפי שציין הפילוסוף הילרי פטנאם, "היא שנראה כי הוא סותר לחלוטין את העובדה הפשוטה שאנו חושבים עם מוחותינו, ולא עם נפשותינו הבלתי גשמיות."

ואולי צריך לאפשר לפרנקל להחזיק בפנטזיה האפלטונית שלו. אחרי ככלות הכול, לכל אדם מאוהב יש אשליות רומנטיות לגבי מושא אהבתו. בשנת 2009, כשפרנקל שהה בפריז על תקן ה-Chaire d’Excellence של המכון למדעי המתמטיקה, הוא החליט להכין סרט קצר המביע את תשוקתו למתמטיקה. בהשראת "Rite of Love and Death" של יוקיו מישימה הוא קרא לסרט "Rites of Love and Math". באלגוריה האילמת הזו ברוח תיאטרון הנו, פרנקל מגלם מתמטיקאי שיוצר נוסחה לאהבה. כדי שהנוסחה לא תיפול לידיים זדוניות, הוא מחליט להחביא אותה: הוא מקעקע אותה בעזרת מקל במבוק על גופה של אהובתו, ואז מתכונן להקריב את עצמו כדי להגן עליה.

מיד עם הקרנת הבכורה של הסרט בפריז, בשנת 2010, כינה אותו הלה מונד, "סרט קצר עוצר נשימה" אשר "מגיש מבט רומנטי יוצא דופן על מתמטיקאים." נוסחת האהבה המופיעה בסרט היא זו שפרנקל עצמו גילה (כשחקר את היסודות המתמטיים של תורת השדות הקוונטית). היא יפהפייה, אך מאיימת. המספרים היחידים בה הם אפס, אחד ואינסוף. האין זו אהבה?

ספרו האחרון של ג'ים הולט הוא Why Does the World Exist? An Existential Detective Story (2013).

מאמר זה התפרסם באלכסון ב על־ידי ג'ים הולט, New York Review of Books .


תגובות פייסבוק

> הוספת תגובה

10 תגובות על מתמטיקה אהובתי

04
מאמר של א.עצבר

המתמטיקה בתוך עצמה, היא מופלאה מאין כמוה.
בחריגתה אל התחום הגיאומטרי של קו ישר, כבר מתגלה נחיתותה.
למתמטיקה אין מספר המסוגל לשקף את אורך אלכסון הריבוע.
בחריגתה אל התחום הגיאומטרי של קווים עגולים, היא נכשלת לחלוטין.
http://www.tapuz.co.il/forums2008/ViewMsg.aspx?ForumId=2017&MessageId=172540878

    05
    יונתן אחיטוב

    ב"ה
    זוהי השקפה פיתגוראית בת כ-2500 שנים, לפיה המושג 'מספר' כולל רק את הטבעיים (...,1,2,3) ואת היחסים בין מספרים טבעיים, כלומר, שברים חיוביים. בגלל אמונתם נאלץ אחד מתלמידי פיתגורס להתאבד, כי גילה את העובדה המראה בדבר "העדר יחס" בין היתר לניצב של משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. (לפי גירסה אחרת הוא הוטבע בנהר.) הנזק הגדול יותר היה, שעד סוף ימי הביניים נחשבו האלגברה והגיאומטריה לשתי ממלכות זרות. אבל במקביל הורחב מושג המספר פעמים אחדות. כל ילד בחטיבת הביניים לומד על מספרים שליליים, ובהמשך על קיומם של מספרים ממשיים שאינם רציונלים, כדוגמת רוב השורשים של מספרים טבעיים או המספר פיי - יחס היקף המעגל לקוטרו. כל אלה מספרים אמיתיים בדיוק כמו הטבעיים. בוגרי 5 י"ל במתמטיקה יודעים גם על קיומם של מספרים שאינם ממוקמים לאורך ציר המספרים, אלא במישור. אלה הם המספרים המרוכבים. ויש עוד, באוניברסיטה. בימי חנוכה אלו נעים להיזכר שהיו גם יוונים טובים, כמו פיתאגורס, אבל הם ידעו רק חלק מהאמת המופשטת הקרויה מתמטיקה. התקדמנו, ברוך ה'.

09
מאיר ג.

למעוניינים בקצת יותר על תורת החבורות, ראו את ספרו של פרופ' מריו ליביו "שפת הסימטריה - המשוואה שלא נמצא לה פתרון", תורגם מאנגלית על ידי עמנואל לוטם, אריה ניר הוצאה לאור. זהו ספר להדיוטות ותענוג לקוראו, אם כי יש להבין כל צעד בהצגה לפני שממשיכים לצעד הבא.