לקפוץ על עיוור?

דניאל אלסברג, שהלך לעולמו ב-23 ביוני 2023 בגיל 92, לא היה רק המדליף המפורסם של מסמכי הפנטגון. אלסברג היה גם מי שגילה פרדוקס חשוב בתורת קבלת ההחלטות והבחירה החברתית, פרדוקס הנושא את שמו.

השאלה

נניח שיש לכם תיבה ובה תשעים כדורים. שלושים מהם אדומים, וששים האחרים הם שחורים או צהובים. אינכם יודעים כמה מהכדורים הם שחורים וכמה צהובים; יתכן שאין בתיבה כלל כדורים שחורים ויש בה שישים צהובים, או אולי יש בה כדור שחור אחד ו-59 צהובים, או להפך, וכל דבר ביניהם. אם תנחשו נכון את צבע הכדור שתוציאו מהתיבה, תזכו בפרס.

אך לפני שאתם מוציאים כדור, עליכם להשיב על השאלה: האם אתם מעדיפים להמר על כדור אדום או על כדור שחור?

אין תשובה נכונה, כמובן, ויש מי שיאמרו "שחור", אבל באופן כללי, רוב הנשאלים יאמרו "אדום".

לפני שיוציאו כדור מהתיבה, תישאל שאלה שנייה, אך היא מופנית רק למי שהשיבו "אדום" לשאלה הראשונה: האם תעדיפו להמר שהכדור יהיה "אדום או צהוב" או שהוא יהיה "שחור או צהוב"? שוב, אין תשובה נכונה. יש מי שיבחרו בתשובה אחת, אחרים יבחרו בתשובה אחרת, אבל בניסויים שנערכים הרוב מעדיפים להשיב "שחור או צהוב".

הפרדוקס

הקבוצה האחרונה – בין אם מדובר ברוב או רק בהרבה אנשים – מציגה פרדוקס. "אם אתם ב[קבוצה הזאת], אתם כעת בצרות...", אמר דניאל אלסברג, מחבר הפרדוקס. על ידי מתן תשובה "אדום" לשאלה הראשונה, ולאחר מכן "שחור או צהוב" לשאלה השנייה, המשיבים הללו סותרים את עצמם.

מה הבעיה? ובכן, על ידי מתן התשובה "אדום" לשאלה הראשונה אנשים הצביעו על האמונה הסובייקטיבית שלהם שבתיבה יש פחות מ-30 כדורים שחורים. (יש בתיבה בין אפס ל-60 כדורים שחורים. כך שאם אתם משיבים "אדום", והרי יש בדיוק 30 כדורים אדומים, בכך גיליתם במשתמע שמספר הכדורים השחורים בתיבה הוא פחות מ-30).

ממש לא רלוונטי כמה כדורים שחורים או צהובים יש בפועל התיבה. אנחנו מדברים כאן רק על האמונות הסובייקטיביות של הנשאלים

שימו לב שממש לא רלוונטי כמה כדורים שחורים או צהובים יש בפועל התיבה. אנחנו מדברים כאן רק על האמונות הסובייקטיביות של הנשאלים.

ובכן, היות שהם מאמינים שיש פחות מ-30 כדורים שחורים, מובן מאליו שהם מאמינים שיש בתיבה יותר מ-30 כדורים צהובים. (זכרו שהשחורים והצהובים יחד מונים 60 כדורים). בהתאם, יחד עם 30 הכדורים האדומים הכדורים שהם "אדומים או צהובים" הם בסך הכול יותר מ-60. לכן, האנשים שלאחר שהשיבו "אדום" לשאלה הראשונה – השיבו "שחור או צהוב" לשאלה השנייה פעלו בניגוד לאמונה שלהם עצמם! בתשובה השנייה הם סתרו את ההערכה שלהם בשאלה הראשונה.

הנה יש לנו פרדוקס!

תולדות העניין

השם דניאל אלסברג אכן עשוי להישמע מוכר לאחדים מכם, אם כי בהקשר שונה לגמרי. אלסברג הוא מי שהדליף את מסמכי הפנטגון הידועים לשמצה לעיתון הוושינגטון פוסט ב-1971.  אלסברג, שנולד בשיקגו ב-1931, בלט כבר בילדותו בכישרונו... כווירטואוז בנגינה בפסנתר. אך הוא היה מוכשר לא רק בנגינה, וקיבל מלגת פפסי-קולה כדי ללמוד כלכלה באוניברסיטת הרווארד, לימודים שאותם סיים בהצטיינות יתרה. ב-1954 הוא התגייס למרינס ושירת במשך שלוש שנים במפקד מחלקה ולאחר מכן כמפקד פלוגה. עם שובו להרווארד ב-1962 הוא השלים דוקטורט בכלכלה. כותרת עבודת הדוקטור שלו הייתה "סיכון, דו-משמעות והחלטה".

דניאל אלסברג, איש אמיץ ומצפוני, שידע לקבל החלטות וגם לקדם את המחשבה עליהן (דיוקן משנת 2020), תצלום: Cmichel67, ויקיפדיה

אלסברג החל לעבוד במחלקת המדינה [האמריקנית] במהלך שנת 1965. לאחר מכן, בארגון RAND הוא עבד על מחקר סודי ביותר מטעם שר ההגנה מקנמארה שכותרתו הייתה "קבלת ההחלטות של ארצות הברית בווייטנאם, 1945-1968". אלסברג הזדעזע קשות כשנודע לו על ההונאה שהממשל נקט ועל קבלת החלטות קלוקלת, עטופה במעטה של סודיות, בשנות כהונתם של ארבע נשיאים. לאחר שלא עלה בידו לשכנע את הקונגרס לחקור את הנושא, הוא צילם את כל המחקר, שהכיל 7,000 עמודים, והדליף אותו בסתיו של 1969, ראשית לניו יורק טיימס ולאחר מכן לוושינגטון פוסט, ובהמשך לעוד 17 עיתונים.

אלסברג עמד לדין על 12 עבירות פדרליות, אך בעקבות עבירות איומות מצד הממשל בניהול התיקים, השופט ביטל את המשפט.

שנים אחדות לפני שהוא התפרסם בשל הדלפת מסמכי הפנטגון, אלסברג קנה לעצמו שם בהקשר שונה לחלוטין. בעודו משמש עמית מחקר בהרווארד, הוא פרסם מאמר שהראה כי הדרך שבה בני-אדם מתנהלים בכל הקשור להסתברויות היא בעייתית. "סיכון, דו-משמעות ואקסיומות Savage", שפורסם בכתב העת The Quarterly Journal of Economic, נחשב לאבן דרך בתורת קבלת ההחלטות.

עיקרו של המאמר היה מבחן שאלסברג עיצב וגם בדק על עמיתיו. המבחן כלל את שתי השאלות שתיארתי לעיל.

פתרון הפרדוקס

כשאנו בוחרים באחת משתי אפשרויות, הוספת אפשרות שלילית, שאינה רלוונטית, אינה אמורה לשנות את הבחירה

הבחירות הפרדוקסליות נוצרות כיוון שאנשים מפרים את מה שמכונה אקסיומת עצמאות הברירות הלא-רלוונטיות (IIA). האקסיומה, שנוסחה בשנות החמישים של המאה ה-20 על ידי קנת' ארו (Arrow), חתן פרס נובל בכלכלה לשנת 1972, קובעת שכשאנו בוחרים באחת משתי אפשרויות, הוספת אפשרות שלילית, שאינה רלוונטית, אינה אמורה לשנות את הבחירה. למשל, נניח שאדם מעדיף לימונדה על מיץ תפוזים. אם נוסיף כוס חלב כאפשרות שלישית, האדם אינו אמור להעדיף פתאום דווקא מיץ תפוזים. הוספת כוס החלב לא הייתה רלוונטית ויש להתעלם ממנה.

נזכור כעת שהשאלה הראשונה ביקשה מכם לבחור בין "אדום" ו"שחור". השאלה השנייה ביקשה מכם לבחור בין "אדום או צהוב" ו"שחור או צהוב". האדם הרציונלי, ולא משנה במה הוא מאמין בנוגע למספר הכדורים השחורים, אמור להשוות בין "אדום או צהוב" ו"שחור או צהוב" באותו האופן שבו הוא משווה בין "אדום" כשלעצמו ו"שחור" כשלעצמו. הוספת "צהוב" לשאלה אינה אמורה להשפיע על הבחירה כלל. בשאלונים של אלסברג, כל מי שבחרו בתחילה "אדום" אך הפכו את החלטתם כשנוספה האפשרות "צהוב" הפרו את אקסיומת IIA.

הסבר טכני

מתמטיקאים וסטטיסטיקאים אחדים העלו את האפשרות שאי-אפשר לראות בהסתברויות מהויות אובייקטיביות, ושבני-אדם מתנהגים כאילו שהם מחילים את ההערכות הסובייקטיביות שלהם על אירועים של חוסר ודאות. באמצעות המבחן שלו, אלסברג הראה שאפילו הסתברויות סובייקטיביות אינן מסתדרות.

האם אנשים שמתנהגים כך צריכים להיחשב ללא רציונליים? הדבר תלוי בהגדרה של רציונליות. בכל אופן, ההתנהגות שלהם אינה עולה בקנה אחד עם האקסיומות של השערת התועלת הצפויה (Expected utility hypothesis) שפותחה על ידי ג'ון פון ניומן ואוסקר מורגנשטרן.

נראה שבני-אדם מעדיפים ליטול סיכון במצבים שבהם הם יודעים את הסיכויים ולא במצבים שבהם הסיכויים אינם חד משמעיים

אלסברג בא חשבון עם עמיתיו, שרבים מהם היו בכירים ממנו, לאור העבודה התאורטית שלהם או כיוון שהם השתתפו בניסוי שלו ובחרו בתשובות סותרות. "יש מי שאינם מפרים את האקסיומות, או אומרים שהם לא יפרו אותן, אפילו במצבים הללו... אחדים מפרים את האקסיומות ברוב שמחה, אפילו בעונג... אחרים עושים זאת בעצב אך בעקביות, לאחר שערכו חשבון נפש פנימי, גילו סתירות ביחס לאקסיומות והחליטו... לספק את ההעדפות שלהם ולתת לאקסיומות לספק את עצמן. ואילו אחרים... נוטים, אינטואיטיבית, להפר את האקסיומות אך חשים אשמים בשל כך וחוזרים לבצע ניתוח נוסף... אחדים שאינם רק מתוחכמים אלא גם הגיוניים מחליטים שהם רוצים לדבוק בבחירותיהם". אלסברג מציין שהקבוצה האחרונה כוללת אנשים שהיו מחויבים לאקסיומות והופתעו, אפילו נדהמו ונבוכו, לגלות שכשהם נבחנו בפועל, הם הפרו אותן.

אלסברג האמין שהבחירות של האנשים הללו מונעות על ידי סלידה מדו-משמעות: נראה שבני-אדם מעדיפים ליטול סיכון במצבים שבהם הם יודעים את הסיכויים ולא במצבים שבהם הסיכויים אינם חד משמעיים. כשהם בוחרים "שחור או צהוב" הם יודעים שיש 60 כדורים. בעת הבחירה "אדום או צהוב" מספר הכדורים היה יכול להיות כל מספר בין 30 ו-90.