סכום חלקינו

אני רוצה לתאר כיצד חשיבה על גאומטריה עזרה לי להבין צער וכיצד חשיבה על צער עזרה לי להבין גאומטריה.

אם הרגשות שלכם כלפי גאומטריה שונים משלי, הרי שהפרטים הספציפיים של הגישה שלי עשויים לא להתחבר מבחינתכם. אולי תוכלו לחשוב על הרעיונות הללו במסגרת אחרת, למשל במונחים של משהו שאתם אוהבים. אני אצמד לגאומטריה, שאהובה עלי מאז שאני זוכר את עצמי.

הגאומטריה הראשונה שהותירה אותי חסר נשימה הייתה ההוכחה של משפט פיתגורס. ברגע שמבינים את הרעיון המרכזי, השלבים כל כך בהירים והתוצאה מוחלטת. אפילו כילד קטן, ידעתי שהזזת הצורות הללו ממקום למקום הראתה משהו על המנגנונים של רעיונות. לפניי התגלה דבר שהוא נכון ביחס למבנה החלל, ללא קשר או תלות בבני-אדם, בחתולים או בעננים.

בסופו של דבר הבנתי שאפשר להבין משהו בפעם הראשונה רק פעם אחת. עבורי, ואני מתאר לעצמי שעבור רוב המתמטיקאים, להבנה יש שני צדדים, צד אינטלקטואלי וצד רגשי. שניהם חשובים

למחרת, שחזרתי את שלבי ההוכחה, ועל אף שההיגיון היה בהיר כמו בפעם הראשונה, הרגש היה הרבה פחות עז. מדוע לא הרגשתי שוב את ההשתאות העמוקה שהרגשתי אתמול? בסופו של דבר הבנתי שאפשר להבין משהו בפעם הראשונה רק פעם אחת. עבורי, ואני מתאר לעצמי שעבור רוב המתמטיקאים, להבנה יש שני צדדים, צד אינטלקטואלי וצד רגשי. שניהם חשובים.

תהנו גם אתם, ואתן: "ההיגיון הוא בן אלמוות, כל היתר - בן מוות", פיתגורס.

אם עדיין לא לגמרי ברור לכם מהי הוכחה, חשבו על כך באופן הבא. נניח שאתם מרכיבים פאזל תלת ממדי מחלקי פלסטיק שקופים. כשתסיימו את ההרכבה, יהיה לכם פסל שקוף ויפהפה. אם תביטו עליו מכיוונים שונים, הוא ישבור את האור לקשתות בצורות לא צפויות.

ובכן, דמיינו שהפסל אינו נמצא בחלל הפיזי אלא בחלל הרעיונות. כמו חלקי הפאזל הפיזי, גם על המחשבות האלו להתאים זו לזו. וכשהמכלול מורכב, יש לנו תבנית של רעיונות. הוכחה היא תבנית כזאת. כשאנו מביטים בה מנקודות מבט שונות, היא מאירה רעיונות אחרים בדרכים חדשות. והיא מגלה משהו אוניברסלי על האופן שבו שכלנו יוצר דגם של העולם. כשהוכחה מתאימה ומסתדרת בדיוק בראש שלכם, כשאתם מבינים לראשונה כיצד היא עובדת ומדוע, אתם זוכים להבזק של שמחה, הבזק עדין מעבר לכל מידה מקובלת.

אנחנו יכולים לשכוח הוכחות. אך כשאנחנו רואים את ההוכחה שוב, התחושה קרובה יותר לזאת שאנו חווים כשאנחנו פוגשים חבר ותיק מאשר כשמכירים לנו אדם חדש. הבנה ראשונה של הוכחה היא דבר בלתי הפיך

כמובן, אנחנו יכולים לשכוח הוכחות. כמעט כל מי שלמד למבחן במתמטיקה יודע את זה. אך כשאנחנו רואים את ההוכחה שוב, התחושה קרובה יותר לזאת שאנו חווים כשאנחנו פוגשים חבר ותיק מאשר כשמכירים לנו אדם חדש. הבנה ראשונה של הוכחה היא דבר בלתי הפיך. אתם יכולים להיזכר בהוכחה, או להבין הוכחות אחרות בפעם הראשונה, אך כל אחת מהן עדיין תוכלו להבין לראשונה רק פעם אחת.

בערך באותה עת שבה הבנתי את ההוכחה למשפט פיתגורס, הלכה לעולמה דודתי רותי. היא הייתה אחותו הבכורה של אבי. לרותי, שהייתה בעלת סקרנות אינסופית, הייתה סבלנות לילדים קטנים, היא באמת רצתה להקשיב למה שאמרנו ותמיד ידעה להמליץ לנו על ספרים. רותי אחראית באורח ישיר יותר מכל אדם אחר לכך שהפכתי לאיש מדע. כשהייתי בן 11, היא לקתה בלימפומה על שם הודג'קין, מחלה שכיום ניתן לטפל בה אך בראשית שנות השישים הדבר לא היה בדיוק כך. אבא אמר לי שרותי חולה ושמצבה לא עתיד להשתפר. למעשה, הוא אמר לי: היא תמות בקרוב. "למה רותי חלתה? היא עשתה משהו לא בסדר?", "לא, בני, יש אנשים שפשוט חולים. לפעמים קורים דברים טובים, ולפעמים קורים דברים רעים. אבל בנוגע להרבה מהדברים שקורים לנו, אין לנו מה לעשות". "אבא, זה ממש מפחיד". "כן, זה ממש מפחיד".

ולפעמים כך אנחנו מרגישים, כמו בטבעת מביוס: שוב ושוב חוזרים לנקודה, ללא מוצא. תצלום: פלאביו סרפיני

אז החלטתי שאציל את רותי. חסל סדר משחקי תופסת או מחבואים, וגם לא צפייה בגחליליות בין ערביים. החלטתי לעבוד קשה, וללמוד את כל המדע שאוכל ללמוד. לסיים את בית הספר התיכון, את הקולג' ואת הלימודים הגבוהים, עד סיום בית הספר לרפואה, ובמהירות. אעבוד במעבדת מחקר ואגלה תרופה ללימפומה על שם הודג'קין, וכך אציל את רותי. סיפרתי לאמא על התכניות שלי, אך במקום לשמוח היא נראתה עצובה מאוד. היא אמרה לי שאסור לי לספר את זה לרותי, כי לא כדאי שאעורר בה אשליות. העצה הייתה נכונה, גם אם הסיבה לא הייתה נכונה, אבל הבנתי.

ואז רותי מתה. אבא היה בבית החולים לצדה, הוא החזיק בידה. כולם בכו, חוץ ממני. נעשיתי נחוש באורח עגמומי. גם אם לא יכולתי להציל את רותי, עדיין אוכל להציל אנשים אחרים. הצער שלי דחף אותי לפעולה.

זמן לא רב לאחר מכן, הפתרון המכני וחסר ההשראה שלי לבעיה במתמטיקה גרם לי להבין שאיני חכם מספיק כדי למצוא תרופות למחלות. לא ראיתי, ואולי לעולם לא אראה, את הדילוג הפשוט מהגישה המסורבלת שלי לפתרון האלגנטי של המורה. בלי הניצוץ הזה, לא היה לי סיכוי להגיע לחידושים ברפואה. מסלול חיי קרס. בסופו של דבר למדתי פיזיקה ומתמטיקה, לימדתי בכמה קולג'ים, ותודות למזל, ותו-לא, התגלגלתי ללמד באוניברסיטת ייל ולעבוד לצדו של איש האשכולות בנואה מנדלברוט.

האובדן הבלתי הפיך של כל אדם, יצור או דבר שיש לו משקל רגשי גדול, יגרום לצער. כל אובדן מגלה פרטים חדשים על האופן שבו אנו חווים צער, על האופן שבו אנו מטמיעים אותו בחיינו

באותו שלב כבר למדתי הוכחות רבות, וגם איבדתי הרבה חברים, קרובי משפחה וחתולים. ובכל זאת, לא ראיתי את הקשר בין אובדן של מישהו קרוב ובין ההבנה הראשונה של הוכחה. זכיתי למספר הבזקים של תובנה באשר לאופן שבו הגאומטריה יכולה לבנות מודל של הרגשות, אך לא היה לי שום דבר ממשי בעניין עד שקטע ברומן משנת 2016 של איתן קאנין (Canin), שכותרתו A Doubter’s Almanac, ושיחה עם חברי ג'ו קלאמיה (Calamia), העורך שלי בהוצאת הספרים של אוניברסיטת שיקגו, עזרו לי למקד את העניין. האובדן הבלתי הפיך של כל אדם, יצור או דבר שיש לו משקל רגשי גדול, יגרום לצער. כל אובדן מגלה פרטים חדשים על האופן שבו אנו חווים צער, על האופן שבו אנו מטמיעים אותו בחיינו.

הפרקטלים של מנדלברוט, שבהם כל מקטע כולל את כל המכלול, מציעים צורה חדשה ומועילה לחשוב על חיינו ועל כל מה שמתרחש בהם. תצלום: קווין דולי

שני סוגי האובדן – של מישהו אהוב, או של הבנה ראשונה של הוכחה – מאותתים על אי-רציפות, על קטיעה פתאומית, על שבר. כדי לדמיין את המצב באורח חזותי, יהיה עלינו לפשט את הדברים, להתמקד בחתיכות אחדות בלבד של הייצוג המנטלי שלנו.

הנה ניסוי שבכוחו להדריך אותנו. עמדו ליד אור חזק ותחזיקו את ידכם השמאלית באורח אופקי, ופשטו את אצבעותיכם. הצלליות של האצבעות שלכם אמורות להיות מופרדות היטב. כעת הטו את ידכם השמאלית. על פי זווית הנטייה, צלליות האצבעות שלכם שוב יתקרבו אלה לאלה.

אם נוכל למצוא דרך מתאימה למקד את תשומת לבנו, נוכל להפחית את ממדי אי-הרציפות, הקטיעה, ובכך לעמעם את הכאב שאנו חווים

ממדי אי-הרציפות יכולים לייצג את המשקל הרגשי של השינוי הבלתי הפיך. אין ספק שלאובדנים מסוימים יש השפעה גדולה יותר מאשר לאחרים. ההטיות השונות של ידכם מייצגות היטלים לחללים אחרים, כלומר את מיקוד תשומת הלב שלנו בהיבטים שונים של חיינו. כך שאם נוכל למצוא דרך מתאימה למקד את תשומת לבנו, נוכל להפחית את ממדי אי-הרציפות, הקטיעה, ובכך לעמעם את הכאב שאנו חווים.

כדי להוסיף מעט פרטים, חשבו על כל הממדים שמתארים את חייכם. התחילו במובנים מאליהם, שלוש קואורדינטות המרחב (אורך, רוחב וגובה) וזמן. כעת חשבו על המצב הרגשי שלכם – המקום שבו אתם נמצאים על הציר שמח-עצוב, על הציר רוגע-חרדה וכן הלאה. בכל רגע נתון, אתם מתוארים על ידי נקודה במרחב בממד גבוה ביותר שמאפיינת את המצב המנטלי שלכם. אם קשה לכם לדמיין את המרחב הזה, פשוט חשבו עליו כעל רשימה של מאפיינים של המצב המנטלי שלכם. ככל שהזמן מתקדם, אתם מתווים מסלול במרחב הזה, מסלול בתוך הרשימה הזאת. אי-הרציפות בעקבות שינוי בלתי הפיך נראית כקפיצה, כשבירה, במסלול הזה.

בכל רגע נתון, אינכם יכולים להתייחס לכל הקואורדינטות הללו, לכל הרכיבים במצב הרגשי, הפיזי והאינטלקטואלי שלכם. אתם מודעים לא למיקום שלכם במרחב כולו, אלא רק להיטל אחד, לצללית במרחב בממדים הרבה יותר מצומצמים. המרחב בממדים המצומצמים יותר הללו הוא רשימת ההיבטים בחייכם שתופשים את תשומת הלב שלכם כרגע.

אני חושש שאם נסלק את הצער נסלק גם את האהבה. איני מוכן לחיות חיים ללא אהבה כדי להינתק מן הלהט המאכל ומלא הזעם של הצער. אנו יכולים לשכך את הכאב, אך אל לנו לבטלו, לעולם

כעת חזרו לדימוי של הצל של ידכם. באמצעות הטיה נכונה של היד, המרחק בין צלליות האצבעות שלכם יכול להיעלם לחלוטין. אך אני חושב שאת זה אנחנו איננו רוצים לעשות, כי אני חושש שאם נסלק את הצער נסלק גם את האהבה. איני מוכן לחיות חיים ללא אהבה כדי להינתק מן הלהט המאכל ומלא הזעם של הצער. אנו יכולים לשכך את הכאב, אך אל לנו לבטלו, לעולם.

כיצד נוכל למצוא היטל אפקטיבי? גם כאן הגאומטריה יכולה לעזור לנו. למיטב הבנתי, צער בא לידי ביטוי בעוצמות שונות, אך ברמה הבסיסית כל צער דומה לכל צער אחר. יתרה מכך, כל צער עשוי מיחידות קטנות יותר של צער, וגם אלו עשויות מצדן מיחידות עוד יותר קטנות של צער. צער הוא בעל תכונה של דמיון-לעצמו, הוא פרקטלי. כיצד הדבר עוזר לנו?

אנחנו תמיד רואים רק חלק, היטל, פרספקטיבה, ויכולים לשנות את נקודת המבט. תצלום: אקירה הוג'ו

בכל פעם שאני עוזר בסילוק השלג מהמדרכה של השכנים שלנו, או כשאני עוזר לווטרינרית שלנו לעבד בשיחה את היום הקשה שעבר עליה, אני נזכר בעבודה של אבא, ולצער שלי יש סבטקסט של אושר. החלק הזה בחייו של אבא נמשך

אשתמש כדוגמה במותו של אבי בינואר 2016. אני מתגעגע לאופן שבו הוא השווה כל נשיא אמריקני להארי טרומן (ואף אחד מהם לא יצא טוב בהשוואה). אני מתגעגע לאופן שבו בערך 20 דקות לאחר תחילת כל ביקור, הוא היה מתחיל להריץ מערבון ונרדם. אך בעיקר אני מתגעגע לסיפורים שלו. סיפורים על ילדותו ברוזדייל, מערב וירג'יניה, על השירות שלו בצי האמריקני באוקיינוס השקט במלחמת העולם השנייה ועל עבודתו בתיקונים ביתיים ובשיפוצים עבור קרובי משפחה וחברים. כל פיסה כזאת של צער היא מעבדה לבחינה של מיני צער גדולים יותר. אני חושב על האופן שבו אבא עזר לשכנים, ואני מטיל את הצער שלי על המרחב של עזרה לאנשים. אני רואה את העבודה של אבא כחלק מתבנית גדולה יותר. בכל פעם שאני עוזר בסילוק השלג מהמדרכה של השכנים שלנו, או כשאני עוזר לווטרינרית שלנו לעבד בשיחה את היום הקשה שעבר עליה, אני נזכר בעבודה של אבא, ולצער שלי יש סבטקסט של אושר. החלק הזה בחייו של אבא נמשך.

כעת עשו "זום אאוט" וחשבו על דברים אחרים שחסרים לי מאז מותו של אבא. הלקח מהמעבדה של העזרה לאנשים אינו שעלינו לזכור, אלא שעלינו לפעול. כשאני נזכר בשירות הצבאי של אבא, אני מדבר עם חילים לשעבר בצי ובחיל הנחתים, אני מקשיב לסיפורים שלהם, חולק איתם סיפורים על אבא. אבא גדל כ״הילבילי״, ובכל פעם שיצא ממערב וירג'יניה, הוא סבל מהסטיגמות הנוגעות לאנשים מהמוצא שלו, סטיגמות שהופצו על ידי חברות להפקת עץ ופחם במאה ה-19. וכך, הדודנית שלי פטי ריד ואני כותבים ספר על תרבות ההילבילי, כדי להציג תמונה מדויקת יותר. אבא לא היה איזה טמבל כפרי בעל לסת שמוטה. וגם רבים מאנשי הרי האפלצ׳ים אינם כאלו. היעדרו מחיי מסייע לי למצוא ולנסח הסבר בהיר יותר לכך.

הגאומטריה לימדה אותי לקח בנוגע לצער: התמקדו בהיבט אחד (זהו ההיטל), מצאו דרך להוציא אותו אל העולם, וישמו את אותה האסטרטגיה עבור כל ההיבטים של הצער. הגאומטריה הראתה לי שצער הוא רישיון לפעולה.

ומה לימד אותי הצער על הגאומטריה? שרגעים רבים של הבנה ראשונה נעלמו ממני לבלי שוב, אך אני יכול לסייע לאחרים לחוות רגעים כאלו. לימדתי מתמטיקה במשך 43 שנה. כעת אני מבין שהייתה לכך סיבה נוספת, עמוקה יותר.

מייקל פריים (Frame) פרש ב-2016 מתפקידו כפרופסור למתמטיקה באוניברסיטת ייל. ספרו האחרון עד כה "Geometry of Grief: Reflections on Mathematics, Loss and Life", ראה אור ב-2021.

AEON Magazine. Published on Alaxon by special permission. For more articles by AEON, follow us on Twitter.

תורגם במיוחד לאלכסון על ידי אדם הררי

תמונה ראשית: שבור, שלם. תצלום: cdd20, ב-unsplash.com